多元函数的极值及其求法1PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法1【定理定理 1】若若)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可导，可导，),(vufz 在 对 应 点在 对 应 点),(vu具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可导， 且其导数可用下列公可导， 且其导数可用下列公式计算：式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 一、多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法【证证】),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1. 【中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数】,21

2、vuvvzuuzz 01 ，02 第1页/共35页tvtutvvztuuztz 21 ,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdztt第2页/共35页 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 【定理定理 2】若若),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(

3、yx具有对具有对x和和y的偏导数，且的偏导数，且),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导数，具有连续偏导数，则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个的两个偏导数偏导数存在，且可用下列公式计算存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz 2. 【中间变量均为多元函数中间变量均为多元函数】链式图如右所示链式图如右所示uvxzxyy第3页/共35页类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、 ),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对 x和和 y的偏导数，的偏导数， 函数函数),(wvufz

4、在对应点在对应点),(wvu处具有连续偏导处具有连续偏导 数，则复合函数数，则复合函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对在对应应 点点),(yx的两个偏导数存在，的两个偏导数存在， 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyxxxyy第4页/共35页,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似函数复合后求偏导函数复合后求偏导外层函数求偏导外层函数求偏导),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz 其其中中3. .【中间变量既有一元又有多元函数的情形中间变量既有一元又有多

5、元函数的情形】zyxuyx【定理定理3 】变量关系为：变量关系为：第5页/共35页则则如如),(),(),(),(yxwwyxvyxuwvufz 4.【多个中间变量且中间变量既有一元又有多个中间变量且中间变量既有一元又有 多元函数的情形多元函数的情形】zwvuyxxxyy第6页/共35页【解解】 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu 自画链式图自画链式图，)cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 第7页/共35页.,arctany

6、zyxvyxuuvz 求求设设uuvuvuv111)1()(1122222 22vuvu 22yxx yvvzyuuzyz 【练习练习】【解解 】【分析分析】链式图法自己做，链式图法自己做，下面介绍下面介绍观察法观察法第8页/共35页【解解】tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 自画链式图自画链式图第9页/共35页【练习练习】【解解】.),sin,cos(dtduvttRtRfu求求设设 ,sin,cosvtztRytRx 令令),(zyxfu 则则,sin,cos,vtztRytRx dtdxxu

7、dtdu dtdyyudtdzzu vftRftRf 321cos)sin(【提示提示】由于含抽象函数由于含抽象函数,一般要一般要先设中间变量先设中间变量. .【注意注意】用观察法可一步写出结果用观察法可一步写出结果.第10页/共35页【解解】令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ; 21fyzf 【分析分析】求抽象函数的偏导数，一般要求抽象函数的偏导数，一般要先设中间变量先设中间变量. .第11页/共35页 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf

8、 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 第12页/共35页.,),cos,(sin2yxzxzeyxfzyx 求求设设xfxzcos1 yxef 3)(2xzyyxz )sin(cos12yfx 13yxef )sin(32yf 33yxef yxe yxef 3【练习练习】【解解】第13页/共35页dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 第14页/共35页).0( , )

9、(, )(2 vvudvvduvudvduudvvuddvduvud【例如例如】udv.vdudvv(uv)duu(uv)v)d(u (2)利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式，求函数的全微分会更简便些式，求函数的全微分会更简便些. .(1)利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，的四则运算公式，.【全微分形式不变性的简单应用全微分形式不变性的简单应用】.【全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质】 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的的函数，它的全微分形式

10、是一样的函数，它的全微分形式是一样的. .zvu、vu、第15页/共35页【解解】, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe【注意注意】此为隐函数的偏导数的计算此为隐函数的偏导数的计算(5)第16页/共35页0),(. 1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式 第17页/共35页公式推导如下（定理中存在性的证明公式推导如下（定理中存在性的证明略略）由于由于0),( yxF)(xfy 则代入得则代入得0)(,( xfxF两端同时对两端同

11、时对x求导求导0 dxdyyFxF0),( 00 yxFFyy连续，且连续，且0),(),(),(00 yFPUyxPU时，时，当当 yxFFdxdy 于于是是【证完证完】第18页/共35页【解解】 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 【方法方法】(1)公式法；公式法；(2)推导法推导法(直接法直接法：两边对两边对x求导求导)（推导法略）（推导法略）第19页/共35页【说明说明】(1)公式法：公式法：求偏导数时各自变量地位等同求偏导数时各自变量地位等同(2)推导法（直接法）：推导法（直接法

12、）：两边同时对自变量两边同时对自变量 x 求求 偏导，注意此时偏导，注意此时 y 是函数是函数 ， x 是自变量是自变量 , , 此此时切记时切记 y = y(x).遇到遇到 y 要先对要先对 y 求导，再乘以求导，再乘以 y 对对 x 的导数的导数. . yxFFdxdy 即对即对 x 求偏导，求偏导，y 要视为要视为常数常数. .反之亦然反之亦然. .最后解出最后解出 即可即可. .dxdy第20页/共35页【解解】yxFFdxdy .xyyx 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxddxyd22 xyy

13、xdxd2)()1)()(1(xydxdyyxxydxdy 322)()(2xyyx 第21页/共35页【隐函数存在定理【隐函数存在定理 2】设函数设函数),(zyxF在点在点,(00 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，的某一邻域内有连续的偏导数，且且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(0000zyxP的某一邻域内恒的某一邻域内恒能唯一能唯一确定一个确定一个连续且具有连续偏导数的函连续且具有连续偏导数的函数数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ， 并有并有 zxFFxz ， zyFFyz .

14、 . 0),(. 2 zyxF第22页/共35页公式推导如下公式推导如下0),( zyxF由由于于),(yxfz 0),( yxfyxF两端分别对两端分别对x和和y求导得求导得0 xzFFzx0 yzFFzy0),( 000 zyxFFzz连续，且连续，且0 ),( 0 zFPU使得使得 于是于是zxFFxz zyFFyz 【证完证完】第23页/共35页【解解】令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 【方法方法】(1)公式法；公式法；(2)推导法推导法

15、(直接法直接法)（推导法略）（推导法略）),(yxzz 第24页/共35页【思路思路】【解解】令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 自画链式图自画链式图第25页/共35页xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 第26页/共35页整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 第27页/共35页【解解】令令则则),(),(xyzzyxfzzyxF ,21yzffFx ,21xzffFy ,121xyff

16、Fz ,12121fxyffyzf yx ,2121fyzffxzf zxFF yzFF xyFF zy .12121fxzffxyf xz 第28页/共35页【说明说明】(1)公公式法：求偏导数时各自变量地位等同式法：求偏导数时各自变量地位等同. .zxFFxz 即对即对 x 求偏导，求偏导，y 、z 要视为常数要视为常数. .反之亦然反之亦然. .zyFFyz (2)推导法（直接法）：两边同时对自变量推导法（直接法）：两边同时对自变量 x(或或 y)求求偏导，注意此时偏导，注意此时 z 是函数是函数 ，x(或或y)是自变量，将是自变量，将 y (或或 x) 看作常看作常 数数 , , 此时

17、切记此时切记 z=z(x,y).最后解出最后解出 ( (或或 ) )即可即可. . xzyz 第29页/共35页1、链式法则链式法则（分三种情况）（分三种情况）3、全微分全微分形式不变性形式不变性（特别要注意课中所讲的（特别要注意课中所讲的特殊特殊情况）情况）（理解其实质）（理解其实质）2、复合函数偏导数存在的复合函数偏导数存在的充分条件充分条件（外层函数（外层函数偏导连续偏导连续、内层函数、内层函数偏导存在偏导存在）第30页/共35页【思考题思考题】【思考题解答思考题解答】 xxvuxdxduufdxdz),(),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 第31页/共35页【补充练习题补充练习题】.)(),(. 1yzyxzxufxyxyfz 可导，求可导，求设设.),(. 2xuxyzxyxfu 求求设设. ),()2(. 32yxzgfxyxgyxfz 二阶偏导数连续，求二阶偏导数连续，求二阶可导，二阶可导，其中其中设设第32页/共35页.)(),(.