多元函数的导数PPT学习教案

1、会计学1多元函数的导数多元函数的导数第一章 多元函数微分学第三节 多元函数的导数正确理解多元函数的全增量、偏增量的概念。正确理解偏导数的概念。了解偏导数的几何意义。熟练掌握偏导数的计算方法。会利用定义计算偏导数。知道二元函数的微分中值定理。第1页/共43页繁啦！烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的 推广，其计算往往是借用一元函数的计算 公式和方法，但实际计算通常较繁。 在推广中有一些东西将起质的变化。 我们通常介绍二、三元函数的情形，所得 结果可以推广到更高元的函数中，一般不 会遇到原则性问题。第2页/共43页一. 偏增量和全增量二. 多元函数的偏增量和全增量三. 多元函数的偏导数请点击四.

2、偏导数的几何意义第3页/共43页偏增量 ),() ,(000yxyxXx或),() ,(0000yxyxxXx , 0则称则称固定固定yy . ),( 00的偏增量的偏增量处关于处关于在点在点为变量为变量xyxX : 2中中空间空间 R第4页/共43页偏增量 ),() ,(000yxyxXy或),() ,(0000yxyyxXy , 0则称则称固定固定xx . ),( 00的偏增量的偏增量处关于处关于在点在点为变量为变量yyxX : 2中中空间空间 R第5页/共43页全增量 : 2中中空间空间 R ),( ),( 00处的全增量为处的全增量为在点在点变量变量yxyxX ),(),(000yxy

3、xXXX或表示为),() ,(0000yxyyxxX . , ,00 xxyxxx其中其中第6页/共43页xyO),(00yyxxX),(00yxxX),(00yyxXXxXy0y0 x),(000yxX第7页/共43页例如:),(),(000000zyxzzyyxxX),(),(000000zyxzyxxXx),(),(000000zyxzyyxXy),(),(000000zyxzzyxXz同学们不难将以上增量形式推广至空间) 3( nRn中.第8页/共43页 函数的增量 的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量 .函数相应于自变量),(yxfz yx 和第9页/共43页 : 2中中

4、空间空间 R),(),(0000yxfyxxfzx函数),(yxfz 在点),(00yx处的偏增量为:及),(),(0000yxfyyxfzy ),(),(000yxfyxfzx ),(),(000yxfyxfzy第10页/共43页OxyzD),(yxfz )0 ,(00yxQ0y),(000zyxP沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量zx第11页/共43页 : 2中中空间空间 R或函数),(yxfz 在点),(00yx处的全增量为: ),(),(00yxfyxfz ),(),(0000yxfyyxxfz第12页/共43页 : 2中中空间空间 R)()(00XfXXfz)()(00Xf

5、XXfzxx)()(00XfXXfzyy函数),(yxfz 在点),(000yxX处的全增量为:函数),(yxfz 在点),(000yxX处的偏增量为:第13页/共43页对于)3( nRn中的函数可仿此进行增量的定义),(21nkxxxxX其中第14页/共43页 , 则则设设zyxu 全增量zyxzyxxux)( 偏增量偏增量zyxzyyxuy)(zyxzzyxuz)(xyzzzyyxxu)()( 例第15页/共43页 函数的连续性能否用函数的全增量描述？想想：能 怎么描述？第16页/共43页且极限内有定义在设 , ), U( ),( 00yxyxfz axzxyxfyxxfxxx000000

6、lim),(),(lim称极限值可偏导处对则称函数在点存在 , ),( ,00axyx记为的偏导数量为函数在该点的关于变 , x , 00axzyyxx , ),(00axyxf , 00azyyxxx , ),(00ayxfx . ),(001ayxf第17页/共43页且极限内有定义在设 , ), U( ),( 00yxyxfz byzyyxfyyxfyyy000000lim),(),(lim称极限值可偏导处对则称函数在点存在 , ),( ,00byyx记为的偏导数量为函数在该点的关于变 , y , 00byzyyxx , ),(00byyxf , 00bzyyxxy , ),(00byxf

7、y . ),(002byxf第18页/共43页变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数),(yxf在点),(00yx处关于),(yxf在点),(00yx处可偏导.在区域 内的任一点若函数),(yxf内可偏导.处均可偏导 , 则称函数),(yxf在区域 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函数在区域上的偏导数.第19页/共43页下面讨论偏导数的计算方法第20页/共43页xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出: 定义xz时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数的定义进行

8、的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf实质上是哇！爽！第21页/共43页求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质上是求忘记了, 请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式第22页/共43页多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .第23页/共43页 . )2 , 1 ( 3 22处的偏导数处的偏导数在点在点求求yxyxz)2, 1(22)2, 1()()3()(xxxyxyxxz)2, 1(22

9、)2, 1()()3()(yyyyxyxyz8)32()2, 1(yx7)23()2, 1(yx 例解第24页/共43页由定义,此例也可用下列方式求解8)46(dd12)2, 1(xxxxxz7)31 (dd22)2, 1(yyyyyz000d),(d0),(xxyxxyxfxz )2 , 1 ( 3 22处处点点yxyxz第25页/共43页 . arctan 的偏导数的偏导数求求yxz xyxyxxz211 , 22yxyyyxyxyz211 . 22yxx将 y 看成常数y1将 x 看成常数2yx 例解第26页/共43页 . )0( 的偏导数的偏导数求求xxzy 1yxyxz )( 1aa

10、xax ln xxyzy ln)( aaaxx将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例解第27页/共43页以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去.进行的, 但其结论可直接推广到三第28页/共43页 . 32的偏导数求zxyxeu ; )1 (232yexuzxyx ; 232yxeyuzxyx . )3(232zezuzxyx 例解第29页/共43页 . )0 , 0( 处的连续性和可偏导性处的连续性和可偏导性在点在点 , 则则取取xky . 1limlim22222002200kkxkxxkyxyxyxyx由 k 的任意性及极限的唯一性

11、可知该极限不存在, 例解 . )0 , 0( ),( 处不连续处不连续在点在点故函数故函数yxf),( yxf讨论函数讨论函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx第30页/共43页但是 , 00lim)0,0()0,(lim00 xxxfxf , 00lim) 0, 0(), 0(lim00yyyfyf, 0)0,0(xf 0)0 , 0( ,) 0( ),( 2222fyxyxxyyxf. 0)0,0(yf , )0 , 0( ),( 且且处可偏导处可偏导在点在点即函数即函数yxf第31页/共43页该例说明了一个重要问题：第32页/共43页对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连

12、续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.第33页/共43页在热力学中, 已知压强 P 、体积 V 和温度 T 之间满足关系 PV = k T ,其中, k为常数, 证明：. 1PTTVVP,VTVP 2k故故从而PTTVVP V P VT2kkk . 1 PVTk 例证VTP TPV kk得得由关系由关系 , VPT , P TV kk类似可得第34页/共43页 警告各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx ,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是第35页/共43页xyzO1T2T. tan ),( 00 0 xyxfyy上上在平面在平面),(0yxfz ),(0yx

13、fz P),(yxfz 0 x0y0P第36页/共43页 ),( 000上的曲线上的曲线就是平面就是平面xxyyxf01 I ),(xxyyxfz . ) ,( , 000处切线的斜率处切线的斜率即点即点在点在点yxyy ),( 000上的曲线上的曲线就是平面就是平面yyxyxf . ) ,( , 000处切线的斜率处切线的斜率即点即点在点在点yxxx 0 I ),(yyxyxfz第37页/共43页 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:第

14、38页/共43页 ),(),(00yxfyxf . ),U(),( ),( 002211yx其中 , ),U( ),( 00则则内可偏导内可偏导在在设函数设函数yxyxfz , 和至少存在一组点),(),U(),(1100yxyx ),(22使得使得)(,()(,(022011yyfxxfyx定理第39页/共43页自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理, 得)( ),( ),(),(010 xxxyfyxfyxf)( ),(),(),(020000yyyxfyxfyxf证第40页/共43页 . , 0 201之间之间与与在在之间之间与与在在yyxx , ) ,() ,( , ) ,() ,( 2022111则则记记x