多元函数微分学PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学例例1 1 求求 的定义的定义域域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 第1页/共31页 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一

2、一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.第2页/共31页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第3页/共31页xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:第4页/共31页 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域

3、域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 第5页/共31页（2）内点）内点.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集（3）开集）开集第6页/共31页的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也

4、有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD （4）边界点和边界）边界点和边界（5）连通）连通性性第7页/共31页连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如

5、，例如，xyo（6）区域）区域第8页/共31页0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx（7）有界点集与无界点集）有界点集与无界点集第9页/共31页第10页/共31页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极

6、限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第11页/共31页例例2 2 求极限求极限 解解2222001sin)(limyxyxyx 01sin)(lim222200 yxyxyx第12页/共31页例例3 3 求极求极限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2

7、第13页/共31页例例4 4 求极求极限限 .1sin1sin)(lim00yxyxyx 解解. 0 yxyxyx1sin1sin)(lim00 第14页/共31页例例5 5 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第15页/共31页（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近

8、方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第16页/共31页n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有第17页/共31页 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不

9、连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.定义定义第18页/共31页例例6 6 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.222222)0, 0(),()0, 0(),(lim),(limyxyyyxxxyxfyxyx 0 第19页/共31页例例7 7 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk

10、其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第20页/共31页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定）最大值和最小值定理理（2）介值定理）介值

11、定理第21页/共31页多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第22页/共31页例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 第23页/共31页多元函数极限的

12、概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义第24页/共31页 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题第25页/共31页思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但

13、是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41第26页/共31页一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题第27页/共31页 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .第28页/共31页三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .第29页/共31