多元函数全微分PPT学习教案

1、会计学1多元函数全微分多元函数全微分 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差的任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P 对应于自变量改变量对应于自变量改变量yx ,的的全全改变量（全增量）改变量（全增量），记为记为z 全改变量的概念全改变量的概念 即即 z =),(),(yxfyyxxf 第1页/共33页0 x0yx y yx yxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzyxxyyxfzyx 000000000000)()

2、,(),(),(.),(,的改变量为的改变量为矩形面积在点矩形面积在点则面积为则面积为例如：设矩形边长例如：设矩形边长000000),(,),(xyxfyyxfyx 线性主要部分)()(22yxo第2页/共33页可可表表示示为为的的全全改改变变量量在在点点如如果果函函数数),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz )( oyBxAz ,有关有关而仅与而仅与不依赖于不依赖于其中其中yxyxBA 即即记为记为,dzyBxAdzyx ),(00 oxyx y ),(),(,),(),(0000yxyxfzyBxAyxyxfz在点在点称为函数称为函数可微分可微分在点在点则称函数

3、则称函数 .全微分全微分22)()(yx第3页/共33页 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在D内内可可微微分分.y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微连续可微连续z=f(x,y)在某点处：在某点处：可偏导可偏导 可微分连可微分连续续连续连续第4页/共33页 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续.证：证： 事实上事实上),( oyBxAz , 0),(),(limlim0000000 yxfyyxxfzyx 即即),(lim0000yyxxfyx ),(00yxf

4、 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(00yx处连续处连续.1定定理理 22yx . 0, 0, 0, 0)(limlim00 yxoyBxAz 第5页/共33页yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx ),(),( ),( ),(),( ,),(20000),(00000000 存存在在，且且的的两两个个偏偏导导数数则则函函数数）可可微微分分，在在点点（：如如果果函函数数定定理理),(),(0000yxfByxfAoyBxAzyx ，）即可微分定义中即可微分定义中 第6页/共33页证：证：如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yxP可可微微分分, 2

5、20000 ),( ),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时| x ,),(),(0000yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfAx 同理可得同理可得).,(00yxfBy 第7页/共33页y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微可微z=f(x,y)在某点处：在某点处： 可偏导可偏导 可微分可微分例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf第8页/共33页)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则2222)()()()(y

6、xyxyxyx),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 第9页/共33页说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证：证：),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf. ),( ,),(),( ),( ),(30000可可微微分分在在点点则则函函数数连连续续在在点点的的偏偏导导数数：如如果果函函数数定定理理yxfyxyxfyxfyxfzyx 第10页/共33页),(),(0000yyxfyyxxf xyyxxfx ),(010 )10(1 xxyxfx

7、100),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .同理同理),(),(0000yxfyyxf ,),(200yyyxfy ),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx 100010),(),( yxfyyxxfxx且且当当0, 0 yx时时，02 .（无穷小）（无穷小）第11页/共33页xxyxfx 100),( yyyxfy 200),( z 212121 yxyx, 00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处可可微微 22yx . 0, 0, 0yx 全微分记为全微分记为注：习惯上记注：习惯上记,dyydxx yyxfxy

8、xfdzyx),(),(上的全微分记为上的全微分记为在区域在区域上可微，函数上可微，函数在区域在区域则称函数则称函数）都可微，）都可微，上每一点（上每一点（在定义域在定义域如果函数如果函数DfDfyxDyxfz,),( dyyxfdxyxfdzyxyx),(),( 0000),(00 .dyyzdxxzdz 或或第12页/共33页.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元函数全微分的定义可推广到三元函数:.),(dzzudyyudxxuduzyxfu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元

9、函数的微分符合叠加原理也适用于叠加原理也适用于n元函数的情况元函数的情况:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun 212121),(第13页/共33页例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分第14页/共33页例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4

10、(),4(),4( ).74(82 第15页/共33页例例 3 3 计算函数计算函数yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 第16页/共33页例例4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在点在点)0 , 0(1)连续连续; (2)偏导数存在偏导数存在; (3)偏导数在偏导数在点点)0 , 0(不连续不连续; (4)f在点在点)0 , 0(可微可微. 思路思路：按有关定义讨论；对于偏导数

11、需分：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. 第17页/共33页证证则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函数在点函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)第18页/共33页当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy

12、 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0 , 0(),(yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)所以所以),(yxfx 在在)0 , 0(不连续不连续. 第19页/共33页)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微 . 0)0,0( df(4)第20页/共33页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第21页/共33页都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且

13、连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(00000000 00,yyyxxx 令令第22页/共33页.cm, 4 cm, 20 cm, 1 . 0 值值求容器外壳体积的近似求容器外壳体积的近似半径为半径为内内内高为内高为外壳厚度均为外壳厚度均为容器，容器的容器

14、，容器的例：有一无盖的圆柱形例：有一无盖的圆柱形解：设圆柱形容器的半径为解：设圆柱形容器的半径为r,高为高为h，hrV2 外壳体积可看作容器体积外壳体积可看作容器体积V在在r=4,h=20时，时，.1 . 0分分近近似似计计算算时时的的全全增增量量，可可用用全全微微 hr连连续续，2,2rhVrhrV hrrrhhhVrrVdVV 22 )cm(6 .171 . 041 . 0204232 则圆锥体的体积为则圆锥体的体积为第23页/共33页例例4.)99. 1()02. 2(322的近似值的近似值计算计算 .01. 002. 0)2 , 2(),()99. 1()02. 2(,),(:3223

15、22时的函数值时的函数值、处、自变量有增量处、自变量有增量在点在点函数函数可看作可看作则则设设解解 yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(2232223222上上处处处处连连续续在在 yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2 , 2(,31)(32)2 , 2()2,2(3222 yxfyxxf第24页/共33页)01. 0()2 , 2(02. 0)2 , 2()2 , 2()99. 1 ,02. 2( yxffff0033. 201. 03102. 0312 .0033. 2)99. 1()02. 2(322 即即第25页/共33页例例 5 5 计算计算02. 2)04.

16、 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 ).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 第26页/共33页多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区

17、别）（注意：与一元函数有很大区别）第27页/共33页思考题思考题第28页/共33页一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.第29页/共33页二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当

18、当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .第30页/共33页七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yx