2026东北三省三校高三下学期一模考试数学试卷和答案

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20263618分.60分3515分

41 41

，11

92 3n577n15（3则根据正弦定理有a2c2(bc)b，即a2b2c2bc 2又由余弦定理有a2b2c22bccosA，得2cosA 4所以在ABC中，得Aπ 60C

ππ由ABC为锐角三角形，且A3，则有 π，得C, 80 C

62 即tanC3,，即 0,3， 10

sinπC 3cosC1sinCsin

13 ,2sin

sin

sin

16（5（1） 2 3 3001205010030 2 6.8186.635

522080150

根据小概率值0.01的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 6分 7 8 PX03 ，PX135 PX235 ，PX35 XX的数学期望EX1152153515 15

13 17（5（1）证明：因为C90ACBCDEBCACDE，将ADEDE折起到A1DEDEA1DDECD，因为 2且A1CCD，CD DED，CD,DE平面BCDE，所以A1C平面BCDE. 4分 5（2）由（1）A1CCDCBDEBC，且CD2，AD4DEAD42DE2BC2， AD2AD2

4242所以以C为原点，直线CD，CB，CA1分别为x，y，z轴建立 6分 ,,BMC的法向量mxyz，则mCMx1

3z1 1

3z1令z1 7 设平面BME的法向量 x2,y2,z2，则nBE2x2y2

3z2 5令x21，则y22，z2 ，可得n1, 3 8 设平面CMBMBE夹角为m310323m3103235所以平面CMB与平面MBE夹角的余弦值为10 10pBA13y323z3 pBE2x3y3令x31，则y32，z3 11

23， 12BMA1BE所成角为pp,BMpp,BMp1622421162242124217 422 当且仅当7时，等号成立，sin取最大值 14 3AM7AD得，点MBCE33

=133333

4

M

所以三棱锥VMBCE的体积为33 1518.（17分c （1）a2b2x2y2

a2b 3

4（2（i）设C(xy，则k

，k

kk

2x0 6

x0

x0

x0

x2设A(x,y),B(x,y)， :xty1， :xty1，其中t1,t1

x，得(3t24y26ty90

4

9

9

则y1y0

0 0y1

3x24y26x

6x

2x

2x 3x01 xty1x013y015x0 1

2x0

2x0同理，可得y ，x5x02x0

k y1y2 2x0 2x0 x 5x085x0

2x 2x

8 3y0(2x052x0 3x0(5x8)(2x5)(5x8)(2x 5(x2 kkk成等差数列，得kk2k2x0y023x0

x2 5(x2解得x0，或y0（舍，或x2174（舍 相应的，y2 所以点C的坐标为(0,3) 10（ii）设C(x0y0A(x1y1)，B(x2y2AB的斜率不存在时，易得C20ABx1，或C20ABx1x1y3 所以ABC的面积S33 11 ABABMx0y0

3x0（点差法可得 2 4 AByy03x0xx0 4y 20 3 y2 即y

00 0x

124

2y0 3 4

22令x0，可得直线AB在y轴上的截距为3，则 1 xx 132y3x0x

212y2

2 4

2

04

0x

1203x23x0x

34

34

，则x1x2x0,x1x2 0 14 x

2|y|x 4xx 4x 19x248y23612y248y2所以 1|3|2|y|3 16 2 又因为O是ABC

9综上，ABC19.（17分

17（1） e 2 x（2（i） 2时，原问题x2e2x2a2有两个不等实根 3

x2e2

x

2， 4则ux

2x2x2e2

2x2xe2当 x1时，ux0，当1x 时，ux,u u1e2,u20,e2ae20a 7法二：gxx2e2x2a2 x 2 4gx2x2e2x2a，gx24e2x2a0，gx在Rx0Rgx0xx0gx0xx0gxg

gxx2x201

5又e2a

e2设txx1xe2

2，则tx1e2当1x1时，tx0，当1x 2时，tx0 txe21e2e2a1a 7 则0ex1aex2a，即0yy,k x2cosx2 令

1

1,20,y2 y2

1 则ln2sin2

ai1,2,是方程a2cosxln2sinx两个根 8 i

2cos12sin12

又k 2

2sin 2sin 2 tan 2 欲证k

3，只需证 31tan12

2 122

4

9

hx2cosxln2sinxx0,

sinx sin

3sin

3sin当0x2hx02xhx0 hx在0,2递减，2,递增 12 设xhxh4x2x

13 下面证明xhxh4x xhxh4x,x2π, cosxπ

3

sinx

sin

πx

sin

sinxπ 3 π π

π

4sinxsinx6sinx3 sinx

6

2sinxsinxπ

6sinxsinxπ 3 3 设xπ,π5π则sin1 6

4sinx