线性控制系统理论与方法动态系统模型学习教案

1、会计学1第一页，共128页。 一、基本概念一、基本概念 定义定义 3.1、动态系统指其行为可用时间函数表示的任何过程，这个过程由有限个微分方程（常微分方程组，微分-代数方程组、偏微分方程组、泛函微分方程组或随机微分方程组）确定，如工程系统、生物系统、经济系统和社会系统等。 由微分方程的类型可以把动态系统分为：集中参数系统、奇异系统（Singular System） （或广义系统(General System)、描述系统(Descriptor System)） 、分布参数系统(Distribution Parameter System)、时滞系统(Time-delay System(包括滞后系统

2、（Retarded System）和中立系统（ Neutral System)和随机系统(Stochastic System)等。 3.1系统系统(xtng)模型的建立模型的建立Construction of System Model第1页/共128页第二页，共128页。定义定义 3.2、系统的输入是指由外部源（环境）加到系统上的全部激励，常用 u 表示。 定义定义 3.3、系统的输出是指系统对环境的作用，由能从外部直接观测到的信息组成，常用 y 表示。 定义定义 3.4、系统中除过外部变量，用以刻画系统在每个时刻所处状况的变量是系统的内部变量，常用 x 表示。 通常一个系统可用方块图来表示（

3、见图 3.1） 。 图3.1 系统(xtng)的方框图表示 第2页/共128页第三页，共128页。定义定义3.5、系统模型、系统模型就是反映系统变量间的就是反映系统变量间的第3页/共128页第四页，共128页。图3.2 RLC电路(dinl) 第4页/共128页第五页，共128页。d ( )( )( )dd ( )( )( )d( )( )i tu tLv ttv ti tCy ttv ty tR (3.1) 其中(qzhng)： 0000)(,)(vtviti第5页/共128页第六页，共128页。22d( )1 d ( )11( )( )ddy ty ty tu ttRCtLCRLC (3.

4、2) 选择(xunz)电感电流和电容两端电压为内部变量，则状态空间模型为：d ( )1111( )( )0( )d( )( )1111d ( )( )( )( )0d( )i tv tu ti ttLLLLu tv tv ti tv tCRCCRCt)()(10)(tvtiRty(3.3) 第6页/共128页第七页，共128页。其中( ), ( )y s u s分别是输出和输入的 Laplace 变换量。 2111( )( )( )( )s y ssy sy su sRCLCRLC当111 ,23CF LH R时，我们有 221( )611( )32y sRLCu sssssRCLC2( )6

5、( )( )32y sh su sss称为系统(3.2)的传递函数。 第7页/共128页第八页，共128页。图3.3 车辆(chling)系统 第8页/共128页第九页，共128页。)()(01)()(20)()(6010)(2)(6)()()(tvtytytutvtytutvtvtvty 由以上两例可以看出：I/O模型只是对系统的一种不完全描述，它不能反映系统内部（黑箱）的某些部分信息。而状态空间模型则是基于系统内部结构的分析，由两个微分方程(wi fn fn chn)和一个代数方程组成。我们把反映系统内部变量组与输入变量组之间因果关系的数学表达式(常是差分方程与微分方程(wi fn fn

6、chn)形式)，称为状态方程；另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间的转换关系的代数方程，称为输出方程。 第9页/共128页第十页，共128页。由以上两例可以看由以上两例可以看出：出：I/O模型只是对系模型只是对系统的一种不完全描述，统的一种不完全描述，它不能反映系统内部它不能反映系统内部（黑箱）的某些部分信（黑箱）的某些部分信息。而状态空间模型则息。而状态空间模型则出变量组间的转换关系出变量组间的转换关系的代数方程的代数方程(dish fngchng)，称为输出，称为输出方程。方程。第10页/共128页第十一页，共128页。定义定义 3.6、动态系统的状态定义为完全表达系统时间

7、域行为的一个最 小 内 部 变 量 组 。 这 个 变 量 组 的 变 量 称 为 状 态 变 量 ， 记 为12( ),( ),( )nx txtxt。最小内部变量组10( ),( )( ),Tnx txtx t tt称为系统的状态向量，状态向量取值的向量空间称为状态空间。 为了正确理解状态和状态空间的含义，有必要对其定义作如下几点解释。 只要给定这组变量12( ),( ),( )nx txtxt在0t时刻的值，以及输入变量12( ),( ),( )pu t utut在0tt各瞬时的值，则系统中任何一个变量在0tt时的运动行为就随之确定了。 第11页/共128页第十二页，共128页。第12页

8、/共128页第十三页，共128页。状态变量组在物理上的特征状态变量组在物理上的特征为：若状态变量个数为：若状态变量个数n为有穷正为有穷正整数时，相应的系统称为有穷维整数时，相应的系统称为有穷维系统，且称系统，且称n为系统的阶次；当为系统的阶次；当n第13页/共128页第十四页，共128页。三、两类动态模型的定义：三、两类动态模型的定义： 定义定义 3.7、单变量标量（SISO）线性定常系统的输入输出模型为 ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)( (3.4) 其中，, y u分别是系统的输出和输入量，mn 。假定系统具有零初始条件，即y和y的一阶直到1n阶导

9、数在零点的值为零，且 u 和 u 的一阶直到1m阶导数在零点的值为零, 则此系统的传递函数定义为： 第14页/共128页第十五页，共128页。11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbb sh sa ssasa sa (3.5) 分别把h(s)的分母多项式和分子多项式的根称为(chn wi)系统(3.4)的极点和零点。若一个多项式的所有根均在复平面的开左半平面内（即所有根具有负实部），则称该多项式是稳定的，也称为(chn wi)Hurwitz多项式。若传递函数的所有极点均在复平面的开左半 第15页/共128页第十六页，共128页。第16页/共128页第十七页，共128页

10、。定义定义 3.8、(传递函数矩阵)对于 MIMO 线性定常系统，令输入变量组为12 ,pu uu输出变量组为12,qyyy，且假设系统的初始条件为零，)(sgij表示系统的第 j 个输入端到第 i 个输出端的传递函数，其中1,2, ,jp 1,2,iq，则 )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22112222121212121111susgsusgsusgsysusgsusgsusgsysusgsusgsusgsypqpqqqpppp （3.6） 第17页/共128页第十八页，共128页。)()()()()()()()(1111susGsusg

11、sgsgsgsyqpqp称由上式定义的( )G s为系统的传递函数矩阵，当( )G s至少有一个传递函数中分子分母次数相同时，称( )G s为真有理分式阵，否则称( )G s为严格真有理分式阵。 显然( )G s为qp的一个有理分式矩阵，对于因果系统，当且仅当( )G s为真的或严格真的时，它才是物理上可以实现的。 第18页/共128页第十九页，共128页。当且仅当0)(limsGs或)0()(limDDsGs时，相应的传递函数阵( )G s为严格真的或真的。 将定义3.7推广，得到(d do)动态系统一般化的输入输出模型如下。 第19页/共128页第二十页，共128页。),()()1()(t

12、uuuyyyfymnn(3.7) 其中mn ，f 为 q 维非线性函数向量，称该系统是时变非线性系统；当 f 不显含 t 时，称该系统是时不变非线性系统；当f 是 y，y 的一阶直到1n阶导数和 u，u 的一阶直到 m 阶导数以及 t 的线性函数时， 称该系统是线性系统； 当所有系数矩阵都是常数矩阵时，称该系统是时不变线性系统，否则称为时变线性系统。这里 n 称为系统的阶次。 第20页/共128页第二十一页，共128页。11112211011(,;,; )(,;,; ) (,;,; )npnpnnnpxfxxuutxfxxuutttxfxxuut (3.8) 11112211011(,;,;

13、)(,;,; ) (,;,; )npnpqqnpyg xxuutygxxuutttygxxuut(3.9) 第21页/共128页第二十二页，共128页。0( )( , , ) ( )( , , )x tf x u ttty tg x u t (3.10) 称为(chn wi)系统的状态空间模型。 第22页/共128页第二十三页，共128页。.0,1,2, , ),(),()(),(),() 1(kkkukxgkykkukxfkx线性连续时间(shjin)和离散时间(shjin)系统的状态空间模型为 0( )( ) ( )( ) ( ), ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB

14、 t u ttty tC t x tD t u t.0,1,2, , )()()()()()()()()() 1(kkukDkxkCkykukHkxkGkx(3.11) 第23页/共128页第二十四页，共128页。例 3.3 假设一城市感染了某种流行病，城市人口按时间（天数）分为四类：对疫病敏感人数为1x;目前感染人数为2x;已免疫人数3x和已死亡人数为4x。假设每天敏感者被免疫的百分数为，每天敏感者被感染的百分数为，每天感染者死亡的百分数为，每天感染者治愈而免疫的百分数为，新的敏感者和新的感染者分别按每天1( )u t和2( )u t的比率加到人口中。 第24页/共128页第二十五页，共12

15、8页。111112222123312442(1)( )( )( )( )(1)( )( )( )( )( )(1)( )( )( ),0,1,2,. (1)( )( )0010( )( )0001x tx tx tx tu tx tx tx tx tx tu tx tx tx tx tt x tx tx ty tx t 解：该问题的离散解：该问题的离散(lsn)时间模型为时间模型为连续时间(shjin)模型为 11112221231242( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),0 ( )( )0010( )( )0001x tx tx tu tx tx tx

16、tx tu tx tx tx tt x tx ty tx t 第25页/共128页第二十六页，共128页。例例3.4 考虑如图考虑如图3.6所示的小车，其上端有所示的小车，其上端有一倒置摆，用铰链与之一倒置摆，用铰链与之推器在起飞时的简化模推器在起飞时的简化模型。）型。）第26页/共128页第二十七页，共128页。第27页/共128页第二十八页，共128页。22ddyMuHt222dsincossin ( )dHmylmymlmlt 222d( cos ) sincos ( ) dmgvmlmlt 将牛顿定律应用于摆的旋转(xunzhun)运动，得 2sinsincosmlmglvlHl第28

17、页/共128页第二十九页，共128页。这为一非线性方程组，而此这为一非线性方程组，而此sin,cos1(0,0)故上述方程组中仅保留, , 的线性项，舍弃22,诸高阶项，即得 2()vmgMyumymlmlmglmglmymll化简得 ()220Mm ymlulgy(3.12)第29页/共128页第三十页，共128页。利用此线性方程组，可以导出系利用此线性方程组，可以导出系22()( )( )( )Mm s y smlssu s22(22 ) ( )( )0lsgss y s由此可得从,uy u的传递函数( ),( )yuugs gs 222( )( )22( )( )( )(2)2 ()yu

18、L y ty slsggsL u tu ssMm lsg Mm2( )( )1( )( )( )(2)2 ()uLtsgsL u tu sMm lsg Mm第30页/共128页第三十一页，共128页。为导出动态方程，定义1234,xy xy xx为状态变量，由(3.12)可解得, y 2222gmyuMmMm 2 ()1(2)(2)g MmuMm lMm l由此可得系统(xtng)的状态空间描述 1234010002200022000102 ()1000(2)(2)xmgxMmMmxuxg MmxMm lMm l1000yx第31页/共128页第三十二页，共128页。四、动态系统按其状态空间四

19、、动态系统按其状态空间模型的分类模型的分类( , , )f x u t( , , )g x u t0( )( ) ( )( ) ( ), ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ttty tC t x tD t u t其中 均为不依赖于状态x和输入u的时变阵。( ),( ),( ),( )A tB t C tD t第32页/共128页第三十三页，共128页。 2. 时变系统和非时时变系统和非时0 , ),()(),()(ttuxgtyuxftx线性时不变（定常）系统(xtng)为： 0 ,)()()()()()(tttDutCxtytButAxtx第33页/共128页

20、第三十四页，共128页。3. 连续系统连续系统(xtng).0,1,2, , )()()()()() 1(kkDukCxkykHukGxkx线性连续(linx)系统和离散系统的方框图见图3.7(a)、 (b)。 第34页/共128页第三十五页，共128页。第35页/共128页第三十六页，共128页。另外，另外， 还有如下两种分类：还有如下两种分类：（1） 根据系统是否含有随机根据系统是否含有随机0 , ),()(),()(ttuxgtyuxftxE其中nnRE是奇异矩阵。 第36页/共128页第三十七页，共128页。第37页/共128页第三十八页，共128页。0 , ),()(),()(ttt

21、uxgtytuxftx（3.13） 对于给定的外部输入00),(tttu和初始状态)(0tx， (3.13)的解为)(0tx，f, g 在()(),(00txtu的 Taylor 展开式为 00000 , ),()()(),(),(),(),()()(),(),(),(tttuxutDxtCtuxgttutxgtuxutBxtAtuxfttutxf第38页/共128页第三十九页，共128页。其中 ,00uuuxxxTTTTugtDxgtCuftBxftA)(,)(,)(,)( 均为不依赖于状态和控制的时变 Jacobian 矩阵，) , , (), , ( 是ux,的高阶项。 忽略高阶项， 则

22、系统(3.13)在00( ),( )utxt附近的线性化模型为： 0 , )()()()(ttUtDXtCYUtBXtAX（3.14） 第39页/共128页第四十页，共128页。0000000( , , )(, )( , , )(, )( )( ),( )( )Xf x u tf xutYyyg x u tg xutUu tutXx tx t第40页/共128页第四十一页，共128页。ubububyayayaymmnnn01)(01)1(1)(其中(qzhng)mn. 第41页/共128页第四十二页，共128页。选择合适的状态变量组1( ),( )nx txt， 确定各个系数阵, , ,A b

23、 c d得到系统的状态空间模型。选择不同的状态变量组， , , , A b c d也将不同。下面给出两种典型算法。 第42页/共128页第四十三页，共128页。ddpt)()(011101tuapapapbpbpbtynnnmm (3.16) (i)当时，式(3.16)改写为 mn)()()()(1010111tybpbpbtytuapapapymmnnn即有 )()()()(0)(0)1(1)(tybybtytutyayaymmnnn第43页/共128页第四十四页，共128页。)1()1(21,nnyxyxyx122301121011nnnmmxxxxxa xa xaxuyb xb x 即0

24、11010100101,0,0nmxxuaaayb bbx 第44页/共128页第四十五页，共128页。21010000106401941611607207201600 xxuyxxx (ii)当m=n时，先将(3.16)式有理分式(yu l fn sh)进行严格真化，即 )()()()(01100111tuapapabbpabbbtynnnnnnnnn(3.18) 第45页/共128页第四十六页，共128页。ubybabyabbyuyayayaynnnnnnnnn)()(00)1(110)1(1)1(1)(选取与(i)中相同的状态向量(xingling)，得到一个状态空间模型为： )(),(

25、)()(1000)(100001000010)(1111001210tubxabbabbabbtytutxaaaatxnnnnnnn第46页/共128页第四十七页，共128页。uuuyyyy720160464019416)1()3()1()2()3(它的一个状态空间(kngjin)模型为 010000106401941611840616644xxuyxu 第47页/共128页第四十八页，共128页。012100100000100000101000nxxuaaaabyx第48页/共128页第四十九页，共128页。(ii)mn代表了一般情况，当mn时，只要取下面式中0,kb ,kn 1,n ,1m

26、， 选取状态变量组为 y 及 u 及它们的各阶导数的适当组合： uuuuyxuuuyxuuyxuyxnnnnnn1)1(2)2(1)1(0)1(2)1(1)2(0)2(31)1(0)1(201 (3.19) 其中, 为待定常数. 01,n第49页/共128页第五十页，共128页。uuuuxyuauaxayauauaxayauaxayannnnnnnnnnnnnn)1(1)1(1)(01)(11)1(011)1(111)1(0121)1(100100 (3.20) 注意到uxxnnn1，1nx是1,nxx的某种线性组合。 将(3.20)式代入ubububyayaynnnnnnn0)1(1)(0)

27、1(1)(的左端经过整理，得到如下等式 第50页/共128页第五十一页，共128页。( )(1)111 20 1011 0()()nnnnnnxaxa xa xuau(1)1122 11 0111 10 0( )(1)10()()nnnnnnnnnnaaauaaaub ubub u 由对应项系数相等，得到(d do)Markov参数的值为： 011100112200nnnnnnnnbbabaaa(3.21) 并且有 101121nnnxa xa xax 第51页/共128页第五十二页，共128页。12012101000010,00011000.nnnxxuaaaayxb u第52页/共128页

28、第五十三页，共128页。uuuyyyy720160464019416)1 ()3()1 ()2()3(由式（3.21）先求出Markov参数(cnsh)为 404840864400112203011212022130aaabaababb一个状态空间(kngjin)模型为： uxyuxx4001,40484086416194640100010 第53页/共128页第五十四页，共128页。二、二、 SISO线性系统状态线性系统状态0)0(,xcxybuAxx (3.22) 其中 1,nn nnnxRuR yR ARbRcR在初始条件为零的情况下， 系统(3.22)的输入/输出模型为 ( )( )

29、( )y sh s u s其中(qzhng) 1101110( )()mmnnnb sbsbg sc sIAbsasa sa第54页/共128页第五十五页，共128页。0( ( )( )( )s x sxAx sbu s( )( )y scx s进而(jn r)，有 1( )()( )x ssIAbu s1( )()( )y sc sIAbu s所以(suy)有 1( )()( )( )y sc sIAbg su s第55页/共128页第五十六页，共128页。(0)(0)0, (0)(0)(0)(0)0ycxycxc Axbu(1)12 (2)(0)(0)(0)(0)0nnnnycAxcAuc

30、bu故g(s)是系统的传递函数。由Laplace反变换(binhun)得系统(3.22)的输入/输出模型为 ububyayaymmnnn0)(0)1(1)(第56页/共128页第五十七页，共128页。( )( ),1,., ;1,.ijG sgsiq jp其中(qzhng), 为qp常阵。 (0,1,.,1)mP mk第57页/共128页第五十八页，共128页。,C ,00,00110110kppkppppPPPIBIIIIIA(3.25) 第58页/共128页第五十九页，共128页。11( )( )()( )kV sV ssIABV s), 1)(kisVi为pp矩阵， 则由此可导出 可导出

31、 () ( ),sIA V sB( )( )sV sAV sB或考虑到（3.25）中矩阵A和B的形式(xngsh)，故由上式可得到 )()()()()(11112sVsssVsVssVsVkkk（3.26） 第59页/共128页第六十页，共128页。pkkkIsVsVsVssV)()()()(12110（3.27） 将（3.26）代入（3.27）又可导出 101111() ( )( ) ( )kkkpsss V sd s V sI（3.28） 将（3.28）代入（3.26），有 11( )1,2,( )iipV ssIikd s于是(ysh)，即可得到 1011211011()( )( )(

32、)( )1()( )( )kkkkC sIABCV sPV sPV sP V sPPsP sG sd s即(A,B,C)为G(s)的一个(y )实现。 第60页/共128页第六十一页，共128页。,A B C为 , 0 , 0C ,00110110qkqkqqqqIPPPBIIIIIA该方案(fng n)的证明过程与实现类似， 读者可作为练习来证明。 第61页/共128页第六十二页，共128页。二、二、 MIMO线性系统状态空间模线性系统状态空间模DuCxyxBuAxx0)0(, （3.23） 它的传递函数矩阵为1( )()G sC sIABD，且当0D时( )G s为真的，而当 D=0 时，

33、( )G s为严格真的，且有DsGs)(lim。 第62页/共128页第六十三页，共128页。( )(0)( )( )( )( )( )s X sXAX sBU sY sCX sDU s11( ) () ( )( )()Y sC sIABD U sG sC sIABD因为(yn wi)，所以 0)(lim1AsIsDDBAsICsGs1)()(lim当D0时G（s)为真的(zhn de)， 当D=0时G（s)是严格真的(zhn de)。 第63页/共128页第六十四页，共128页。 1 20 1 )(, 23)(2ssPsssd再计算(j sun) CBBCABCAECBBCABCAECBCA

34、BECBEnnnnnnnnn1211023121121则相应(xingyng)地传递函数阵可按下式求出 1212101( )( )nnnnG sEsEsE sEDa s第64页/共128页第六十五页，共128页。)(1)()(1)(0122111RsRsRsRsasRsaAsInnnn右乘)()(AsIIsa得， )()(011AsIRsRIsann1211122011,nnnnRI RRAaIRR Aa I RR Aa I所以(suy) 212131212011,nnnnnnnnnRI RAaI RAaAaIRAaAa I第65页/共128页第六十六页，共128页。1 ( )()G sC s

35、IABD121201 ( )()( )nnnnG sCRsBCRsBCR BDa s0111)det()(asasasAsIsannn则其系数)0 , 1 , 2, 1(nniai可按如下的顺序递推地来定出 第66页/共128页第六十七页，共128页。nARtraIaARRnARtraIaARRARtraIaARRARtraIaARRARtraIRnnnnnnnnnnnnn)(,1)(,3)(,2)(,1)(,00110112213322322112111第67页/共128页第六十八页，共128页。2001202010,1 1203131xxu yx485) 1()2()det()(232ss

36、sssAsIsa计算(j sun)系数阵 21220218424141612ECBECABa CBECA Ba CABaCB 所以(suy)传递函数的矩阵为 222210323218241641412( )()( )584584ssssG sE sE sEa sssssss第68页/共128页第六十九页，共128页。23111)(2ssssG（i） (ii) 12(1)2( )1211s ssG sss解：(i) 2111( )( )132d( )G sP sssss确定(qudng)出 2( )32( )1 02 1d sssP ss第69页/共128页第七十页，共128页。20 21 22

37、0100100000120300203000001001,21 10IAIIBICP P第70页/共128页第七十一页，共128页。01010021132110 C0 1APBP（ii） )()(1112212) 1(1)(sPsdssssssG确定(qudng)出: 322( )(1)(2)32021220( )214200d ss sssssP sss第71页/共128页第七十二页，共128页。220 21 22 20010000001000000001000000001002030000203IAIIII012200000002012020, C,000042211001BP P PI第

38、72页/共128页第七十三页，共128页。0 221 222 201220000000000000010002000100020001030000103200012000010, C0 0 420000010221IAIIIIPBP IP第73页/共128页第七十四页，共128页。3.12设线性定常系统设线性定常系统(xtng)的状态方程为的状态方程为 BuAxx(3.29) 第74页/共128页第七十五页，共128页。系统的特征值定义为如下特征方程det()0IA的根。 （1）n 阶系统有且仅有 n 个特征值，它们是实数或以共轭对出现的复数。 （2）一个非零向量i称为矩阵 A 的属于特征值i

39、的特征向量，如果成立()0iiAI。 （3）特征向量不是唯一的。但当12,n 为两两相异时，任取的 n 个特征向量12,n 必是线性无关的。 第75页/共128页第七十六页，共128页。定理定理 3.3、 设系统(3.29)的特征值12,n 为两两相异，并利用它们的特征向量组成变换阵12,nP ，那么系统的状态方程在变换xPx1下必可化为如下对角线规范型 BPBuBxxn121,xxBu (3.30) 第76页/共128页第七十七页，共128页。证明：由xPx1及（3.29）得 BuPxAPPBuAxPxPx1111)( nnnnnvvvvvvAvAvAvAP2121221121 第77页/共

40、128页第七十八页，共128页。nnPPAPP2121111BP B第78页/共128页第七十九页，共128页。1210100001000010naaaaA且其特征根两两互异, 则变换阵P具有(jyu)如下形式： 1121121111nnnnnP第79页/共128页第八十页，共128页。证明：设n,21为 A 的互不相同的特征值，由 特 征 向 量 的 定 义 可 知 ，i对 应 的 特 征 向 量 为niTnii, 2 , 1,11。由定理 3.3 知本结论成立。 第80页/共128页第八十一页，共128页。二、二、 Jordan规范型规范型0)()()()det(iiiAI则称i为 A 的

41、关于i的代数重数。 若()iirank AIn， 则称i为i的几何重数。 由线性代数知识知道，i即为()iAI的零子空间维数。()iAI的零子空间定义为使()0iAI h成立的非零向量 h 的集合，这就是称i为i的几何重数的由来。 第81页/共128页第八十二页，共128页。0)(0)(1ikiikiIAIA当k=1时，广义(gungy)特征向量即为常义下的特征向量。第82页/共128页第八十三页，共128页。ikiiiikiikiIAIA1)1()1()()()(且称此向量(xingling)组为长度是k的广义特征向量(xingling)链. 第83页/共128页第八十四页，共128页。0)

42、()()(1)(1kikikkikkiIAIA所以，k=0。 同理， 两端(lin dun)再左乘(A-iI)k-2可推出k-1=0， 依次类推， 可得第84页/共128页第八十五页，共128页。irank()0,1,2,mimAInm直到0()miirank AIn，即0mi。 记Nm表 示miIA)(的 零 子 空 间 , 显 然012mNNN，0,1m分别为01,mNN的维数。显然00120mi，则按如下方式生成的i个广义特征向量是线性无关的。 第85页/共128页第八十六页，共128页。为了叙述简单, 假定n=10, 001238,4,0,3,6,7,im 48,设1 i为满足0)(1

43、4iiIA且0)(13iiIA的非零向量，则1 i为 4 级广义 特 征 向 量 ， 由 此 生 成 长 度 为 4 的 广 义 特 征 向 量 链 为)1(1)2(1)3(1)4(1,iiii。2i和3i满 足32)2(1,iii线 性 无 关 ，0)(22iiIA且0)(2iiIA, 0)(32iiIA且0)(3iiIA. 则 表 3.1 所 生 成 的 8 个 广 义 特 征 向 量 为 2 , 1, 4 , 3 , 2 , 1,)(3)(2)(1jkjijiki是线性无关的。 第86页/共128页第八十七页，共128页。证明：先证)1(3)1(2)1(1,iiivvv是线性无关，令0)

44、1(33)1(22)1(11iiivavava，即： 0)()2(33)2(22)2(11iiiivavavaIA第87页/共128页第八十八页，共128页。性质性质3.3、矩阵、矩阵A属于不同特属于不同特第88页/共128页第八十九页，共128页。134 123 312 301 3)2(3ii 3)1(3)(iiiIA 2)2(2ii 2)1(2)(iiiIA 1)4(1ii 1)3(1)(iiiIA 12)2(1)(iiiIA 13)1(1)(iiiIA N1 N2 N3 N4 第89页/共128页第九十页，共128页。、化为、化为 Jordan 规范规范型型的变换阵组成：的变换阵组成：

45、定 理定 理3.4 、 设 系 统 矩 阵A的 特 征 值 为1122()(),()ll 重 ，重 ，重，它们的几何重数分别为,21lnl21且。)(ikikv为ik级的广义特 征 向 量 ， 由 它 产 生 的 广 义 特 征 向 量 链 为)1()()(jikijikvIAv，1 , 2 , 1ikj，ik, 2 , 1，变换阵 Q 按如下方式组成： 第90页/共128页第九十一页，共128页。112()(1)(2), ,1,2,1,2,iikliiiiiikikikikQQQQQQQkilQvvv利用变换xQx1，即可得到系统（3.29）的 Jordan 规范型如下： uBBBxJJJx

46、ll2121 (3.31) 第91页/共128页第九十二页，共128页。121,2,iiiiiJJJilJ第92页/共128页第九十三页，共128页。i111,2,1ikikiiikiirrJk 证明：由 及（3.29）得 xQx1BuQxAQQBuAxQxQx1111)(第93页/共128页第九十四页，共128页。12,lAQAQAQAQiiiiiAQAQAQAQ21)()2()1(ikikikikikAvAvAvAQ由广义(gungy)特征向量链的定义，不难推出： )1()1()1()1()1(ikiikiikiikikvvvAvAv)2()1()2()2()2()2(ikiikikiik

47、iikikvvvvAvAv)()1()()()()(ikikikikikikikiikikiikiikikvvvvAvAv第94页/共128页第九十五页，共128页。()(1)(1)(2)(1)ikikikiikiikikiikikikikAQvvvvvQ J12iiiiiiiAQAQAQAQQ J12lAQAQAQAQQJ因此(ync)JAQQ1第95页/共128页第九十六页，共128页。关于关于Jordan规范型规范型我们作如下说明：我们作如下说明：(1) Jordan规范型表规范型表明：明： 当系统阵当系统阵A的特征的特征值有重根时，值有重根时， 通常不能通常不能重数重数i则是所有属于则

48、是所有属于i的的Jordan小块的阶数之和，小块的阶数之和，即即ikikir1第96页/共128页第九十七页，共128页。(3) 当所有特征值的当所有特征值的几何几何 重数等于其代重数等于其代,max21iiiii（i=1,2,l） 则A的最小多项式为 liiissf1)()(第97页/共128页第九十八页，共128页。(5) 矩阵矩阵(j zhn)A第98页/共128页第九十九页，共128页。,xAxBu其中311000111100002011000211000011000011A012010121101B第99页/共128页第一百页，共128页。5)2()det( IA得 ) 1(0),5

49、(222111112123131rank()4,642rank()2,624rank()1,6 15AIvAIvAIv 第100页/共128页第一百零一页，共128页。(1)21111(2 )(2 2 0 0 0 0)TvAIv(2)1111(2 )(1 1 0 0 0 0)TvAI v11)3(11vv第101页/共128页第一百零二页，共128页。表 3.2 123 212 201 12)2(12 12)1(12)2(AI 11)3(11 11)2(11)2(AI 112)1(11)2(AI 第102页/共128页第一百零三页，共128页。 再 由)2(11v与12v线 性 无 关 ， 且

50、0)2( , 0)2(12122vIAvIA, 可定出一个列向量Tv1 1 1 1 0 012，从而得到 (1)(2)12121212(2 )0 0 2 2 0 0,TvAI vvv第103页/共128页第一百零四页，共128页。确定属于02的特征向量2v 由0)(22vIA得02Av属于02的一个特征向量为 T2(0 0 0 0 1 1)v 第104页/共128页第一百零五页，共128页。11111201211212 2)2(12)1(12)3(11)2(11)1(11vvvvvvQ第105页/共128页第一百零六页，共128页。112101/42111/2220211/40021/2101

51、/21xQ AQxQ Buxu第106页/共128页第一百零七页，共128页。一、一、 状态空间的坐标变换状态空间的坐标变换 设 n 维 状 态 空 间 有 两 组 基 ：neee21和neee21，它们之间可以相互表出，即 nnnnnnnnnnepepepeepepepeepepepe22112222112212211111第107页/共128页第一百零八页，共128页。记 3212222111211nnnnnpppppppppP则 Peeeeeenn2121状态向量在neee21和neee21下的坐标分别为 x(t),)(tx，则 第108页/共128页第一百零九页，共128页。)()()

52、()()()()(2121212121tPxeeetxtxtxeeetxtxtxeeennnnn1( )( ), ( )( )x tPx tx tP x t所以(suy)实际上，不同(b tn)基下状态向量的坐标变换是线性非奇异变换。 第109页/共128页第一百一十页，共128页。xAxBuyCxDu:（3.32） 引入变换 ，并令变换后状态空间模型 (det0)xPxP,xAxBuyCxDu（3.33） :第110页/共128页第一百一十一页，共128页。11, , , APAPBPBCCPDD第111页/共128页第一百一十二页，共128页。( )( )1,2,iiAAin证明(zhngmng) 11det()det()IAPPIPAP1detdet()det()det()PIAPIA第112页/共128页第一百一十三页，共128页。utDxtCyutBxtAx)()(,)()(:引入变换)(,)(tPxtPx 可逆且连续可微，则变换后状态空间模型为： :( )( ) ,( )( )xA t xB t u yC t xD t u(3.