线性代数线代复习学习教案

1、会计学1第一页，共35页。2. 矩阵的基本矩阵的基本(jbn)运算运算矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)相等相等: :同型矩阵同型矩阵(j zhn)(j zhn)：两个矩阵：两个矩阵(j zhn)(j zhn)的行数相等、列数也相等的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：乘法满足乘法满足);()(BCACAB );(),()()(为数为数其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA 矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律第1页

2、/共35页第二页，共35页。 A是是n 阶方阵，阶方阵， 个个kkAAAA 方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的幂：的幂：方阵方阵(fn zhn)的多项式：的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的行列式：三种基本计算方法的行列式：三种基本计算方法满足满足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3第2页/共35页第三页，共35页。10220310020130120210310212123211)11D，求设BAAAAA,2,)

3、232133解解312132,AAAA132cc B21cc 3213,AAA.63A3122132,AAAAAB其中nnDn121) 3 !112112) 1(1nnnnnn第3页/共35页第四页，共35页。转置转置(zhun zh)(zhun zh)矩阵矩阵: :一些一些(yxi)特殊的矩阵特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . AAA满足满足(mnz)： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA

4、 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵第4页/共35页第五页，共35页。伴随伴随(bn su)矩阵：矩阵： nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA |,.|AAA AAAA110| |.nAA1,()1,0,nr A 若若();r An 若若( )1;r An若若()1.r An 第5页/共35页第六页，共35页。3. 逆矩阵逆矩阵(j zhn)定义定义(dngy)：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE 则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩

5、阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵(j zhn)，则，则A的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)是唯一的是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A 11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，第6页/共35页第七页，共35页。111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足满足(mnz)规律：规律：逆矩阵逆矩阵(j zhn)求法：求法：（1）伴随矩阵）伴随矩阵(j zhn)法法（2）推论法）推论法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵

6、的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵第7页/共35页第八页，共35页。5. 5. 初等变换初等变换对换变换对换变换(binhun)(binhun)、倍乘变换、倍乘变换(binhun)(binhun)、倍加变换、倍加变换(binhun)(binhun)三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一(tngy)(tngy)类型的类型的初等变换初等变换矩阵矩阵(j zhn)的等价：的等价：如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作AB初等

7、矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 与矩阵的相似、合同相互比较与矩阵的相似、合同相互比较定理：定理：左乘变行，右乘变列左乘变行，右乘变列第8页/共35页第九页，共35页。AXB 解矩阵解矩阵(j zhn)方程的初等变换法方程的初等变换法(A、B可逆可逆)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 矩阵矩阵(j zhn)方程方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 第9页/共35页第十页，共35页。、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等于(dngy)0的子式的最高阶的子式

8、的最高阶数。数。、秩的基本、秩的基本(jbn)关系式：关系式：BAABAAAAnmATnm秩秩秩秩秩秩秩,min3002;,min1、关于秩的重要、关于秩的重要(zhngyo)结结论：论： PAQAQPAAnmAnmQP秩秩秩秩则矩阵是阶可逆矩阵，阶、分别是、设矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变21第10页/共35页第十一页，共35页。、秩的求法：、秩的求法：1）初等）初等(chdng)变法变法：TA阶梯形2）若）若P可逆，则可逆，则 AAP秩秩 003AnAAAnAnA秩可逆阶方阵，则秩是设4 ),m nn pAB当当 时，时，0AB ( )( )r Ar Bn0( )( )0Arr Ar BB

9、5 )6) ()()()r ABr Ar B 3) A有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为0 ()r Ar 第11页/共35页第十二页，共35页。 设设 A A、B B 都是都是 n n 阶方阵阶方阵(fn (fn zhn)zhn)，则，则 2222)(BABABAa e成立时当,BAAB ABBAn1阶的时候成立是当1A成立时当,BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe第12页/共35页第十三页，共35页。, 1, 23,. 3BABA阶方阵，如果都是设 计算*2 BAABABAAAA计算设,33213

10、21解解 1*352A 3221,3ABAABA3221,4ABAA12124,4321321ABAAAA *1,41AA计算 114141AA413A*13,128141AA第13页/共35页第十四页，共35页。 BARBAAR求，若此时求、例,011101110876565434321,4000064204321A可逆，B 2ARBAR解：解：R(A)=2第14页/共35页第十五页，共35页。41312114321 TA例例5,4 , 3 , 2 , 1 ,41,31,21, 1 , TA ,TBNnARABAnn),(,求解解1342443123321321241312114321413

11、1211TB 4.4)()(11AAnTnTn1)(nAR第15页/共35页第十六页，共35页。一一. 向量向量(xingling)组的线性相关性组的线性相关性1. 向量向量(xingling)间的线性运算：加法、数乘。间的线性运算：加法、数乘。2. 线性组合、线性表示线性组合、线性表示(biosh)(1) 判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示的常用方法线性表示的常用方法 12,m 方法方法1：向量组的线性相关性向量组的线性相关性,21nmR设向量组.,21线性表示可由则称向量m使使如如果果存存在在,21Rkkkm mmkkk2211是否非零无要求是否非零无要求 关键：存在某组关键

12、：存在某组 使上式成立，使上式成立，mkkk,21第16页/共35页第十七页，共35页。(2) 在判断或证明中，常用到的两个在判断或证明中，常用到的两个(lin )重要结论重要结论结论结论(jiln)1：向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 12,m 1212(,)(,)mmrr 结论结论(jiln)2：若向量组若向量组12,m 线性无关，线性无关，而向量组而向量组12,m 线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示， 12,m 且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：证下列非齐次线性方程组有解证下列非齐次线性方程组有解AX 即：即：利用矩阵的初

13、等行变换利用矩阵的初等行变换12(,)m 行最简形矩阵行最简形矩阵第17页/共35页第十八页，共35页。3. 线性相关性的判别线性相关性的判别(pnbi)方法方法(1) 一般方法：设数一般方法：设数12,mk kk使得使得11220mmkkk 成立成立求系数是有非零解还是只有求系数是有非零解还是只有(zhyu)零解的问题。零解的问题。(2) 利用向量利用向量(xingling)组的秩判断：组的秩判断：设向量组设向量组12,m 的秩为的秩为r当当 时，时， 线性相关；线性相关；rm 12,m 当当 时，时， 线性无关。线性无关。rm 12,m (3) 利用常用结论：利用常用结论：1个零向量线性相

14、关；一个非零向量线性无关。个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关个非零向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例第18页/共35页第十九页，共35页。4. 最大无关最大无关(wgun)组的选取或证明组的选取或证明(1) 初等变换法（最常用初等变换法（最常用(chn yn)）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，的一个极大无关组，例例6：求向量组求向量组12345(1, 1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6) 并把其余向量用该极大无关组线性表示

15、。并把其余向量用该极大无关组线性表示。n1个个n维向量维向量(xingling)线性相关。线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。短的无关，长的也无关；短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。长的相关，短的也相关。第19页/共35页第二十页，共35页。解：解：124, 是一个极大无关组是一个极大无关组并且并且31251243111考虑：还有那些极大考虑：还有那些极大(j d)无关组？无关组？125134135, 初等行变换初等行变换10312103011301101101217250001142140600000A 第20页/共35页第二十一页

16、，共35页。二二. 矩阵矩阵(j zhn)的秩、向量组的秩的求法的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。初等变换后，看非零行的行数。三三. 关于关于(guny)向量组的秩、矩阵的秩的证明向量组的秩、矩阵的秩的证明关于关于(guny)向量组的秩的两个重要定理：向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组）若向量组可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，则线性表示，则12,s 1212(,)(,)strr 12,s 那么那么 线性相关。线性相关。(3)(3)(三秩相等三秩相等) ) 矩阵矩阵A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。（2）若向量组）若向量组 可以由向量组可以由向量组12,

17、t 线性表示，并且线性表示，并且12,s , ts 第21页/共35页第二十二页，共35页。向量向量(xingling)空间的概念：空间的概念： 向量向量(xingling)的集合对加法及数乘两种运算封闭；的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量由向量(xingling)组生成的向量组生成的向量(xingling)空间空间子空间子空间(kngjin)的概念的概念向量空间的基，维数和坐标；向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成求向量空间基和维数的方法（生成(shn chn)子空间）；子空间）； 求向量在给定基底下的坐标。求向量在给定基底下的坐标。四四. 向量空间向量空间第22页

18、/共35页第二十三页，共35页。五五. 正交化与正交矩阵正交化与正交矩阵(j zhn)1. 正交化、单位正交化、单位(dnwi)化化2. 正交矩阵正交矩阵ATA AE 1TAA A的的n个列（行）向量组为单位正交向量组个列（行）向量组为单位正交向量组1A TA也是正交矩阵也是正交矩阵是正交矩阵，则是正交矩阵，则 也是正交矩阵也是正交矩阵,A BAB 第23页/共35页第二十四页，共35页。定理(dngl)1 设有非齐次线性方程组(1)0,XAnm 有解；则如果1,2ArAr 无解；则如果1,1ArAr 有惟一解；则有解时，如果1, nAr 有无穷多解；则如果1, nAr定理(dngl)2 设有

19、齐次线性方程组（2）0XAnm设r(A)=r,则 仅有零解；则如果2,1nr 必有非零解；则如果2,2nr 线性方程组的解法(ji f)与解的结构第24页/共35页第二十五页，共35页。定理(dngl)1 设有齐次线性方程组（2）0XAnm 必有非零解；方程组 21 则设, nrAr个解向量；基础解系中含rn2可构成基础解系。个线性无关的解向量均任意rn3 的通解为：则的基础解系是设2,2,421rnRkkkkkkXrnrnrn,212211第25页/共35页第二十六页，共35页。定理(dngl)2 设有非齐次线性方程组（1）0,XAnm 则如果设,nrArArrAr必有无穷多解；方程组AX1

20、的通解为：则的基础解系是设的一个特解是设AXAXAXrn,0,221RkkkkkkXrnrnrn,212211第26页/共35页第二十七页，共35页。的基础解系，是线性方程组设0,4321AX 的解向量？是不是，014321AX 解解1）是；2） 1044332211xxxx设0144433322211txtxtxtx即0443332221141xtxxtxxtxtxx即是基础解系，因为4321,144433322211tttt，设 线性无关？，满足什么条件时，43212t 的基础解系？也是，满足什么条件时，034321AXt线性无关。故故4321,第27页/共35页第二十八页，共35页。04

21、3332221141xxtxxtxxtxtx即000043322141xxtxxtxxtxtx因为系数行列式3）是基础解系，个解向量因为43214由（2）即得条件(tiojin)是实数，所以因为t 线性无关，仅有零解，此时时当线性相关，有非零解，此时时当41411, 0,11, 0,1DtDt线性无关，4321411111tttttD第28页/共35页第二十九页，共35页。1 1、特征值的求法、特征值的求法个特征值的就是，的根nAEAn2102 2、特征向量的求法、特征向量的求法riiXEA, 0,1得基础解系解对特征值所对应的特征向量为i不全为零rrrkkkk,111特征值和特征向量特征值和

22、特征向量3、对角化、对角化(jio hu)看清要求看清要求(yoqi)的是可逆矩阵还是正交矩阵。的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵方阵 与对角矩阵与对角矩阵 相似的条件相似的条件: :A充要条件充要条件: :充分条件充分条件(chn fn tio jin):(chn fn tio jin):有有n 个个不同特征值不同特征值; ;或或 A为实对称矩阵为实对称矩阵第29页/共35页第三十页，共35页。填空题填空题已知三阶已知三阶(sn ji)(sn ji)方阵的三个特征值为，则方阵的三个特征值为，则|A|A|（ ），），的特征值为（的特征值为（ ），），的特征值为（的特征值为（ ），），的特征值为（的特征值为（ ）设设k=0，k是正整数，则是正整数，则的特征值为（的特征值为（ ） 若若，则，则的特征值为（的特征值为（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 1第30页/共35页第三十一页，共35页。4设设A是是3阶方阵阶方阵(fn zhn)，已知方阵，已知方阵(fn zhn)，都不可逆，则的特征值为（都不可逆，则的特征值为（ ）已知三阶已知三阶(sn ji)矩阵矩阵A的特征值为，的特征值为，则（则（ ）。）。1, -1, 3-726E 、单单位位矩矩阵阵 的的特特征征值值，