复变函数第7讲PPT学习教案

1、会计学1复变函数第复变函数第7讲讲( )( , )( , ), f zu x yiv x y记 则cc( , )( , )0,( , )( , )0.u x y dxv x y dyu x y dyv x y dx 回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：( )0cccf z dzudxvdyiudyvdxcPdxQdy与路径无关第1页/共20页, xyxyvuuv这不就是柯西这不就是柯西-黎曼方程吗？黎曼方程吗？根据上述，我们可以得到如下的结论：根据上述，我们可以得到如下的结论：iii,.CDQPP QDxy）曲线 在单连通域 内；）在

2、 内一阶偏导数连续，且有 应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为( , )( , )-( )( , )( , )u x yv x yBf zu x yiv x yBC如果函数和在单连通域 内具有一阶连续偏导数且满足柯西 黎曼方程，那么函数沿 内的任何一条封闭曲线 的积分为零。第2页/共20页2. 该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计算一些复积分而发现的（计算一些复积分而发现的（1825年），而古萨对其进行年），而古萨对其进行了改进并给出了严格证明了改进并给出了严格证明(1900年）年）.-( )

3、f zBBC 柯西 古萨基本定理：如果函数在单连通区域 内解析，则对于 内任意一条封闭曲线 ，皆有( )0.cf z dz 实际上，我们有下列更一般的结论实际上，我们有下列更一般的结论注注 1. 定理中的曲线可以不是简单曲线。定理中的曲线可以不是简单曲线。2. 柯西柯西-古萨基本定理及其推论古萨基本定理及其推论第3页/共20页定理的推论定理的推论 CC( )( )0.cBf zBBBCf z dz设 是一条封闭曲线， 是 的内部，如果在 内解析,在上连续，那么仍有 注：利用这一注：利用这一 结论，我们在计算某些积分只须检查结论，我们在计算某些积分只须检查C内及内及 C上是否有奇点即可，若没有的

4、话，积分一定为上是否有奇点即可，若没有的话，积分一定为0311121111 01coszczrzze dzdzzdzdzzz 例如： 第4页/共20页( )( )0?cDf zDCDf z dz 设 是一个多连通域，在 内解析， 为 内的任意一条简单闭曲线。考虑积分 1. 1( )0.cCDf z dz 情形如果 的内部完全含于 ， 如右图，则显然有 2. 2?CD情形如果 的内部不完全含于 ， 如右图 ，则情况如何DccD图图1图图2第5页/共20页对于情形2，我们有如下的结论：11111(), ( )( )ccCCDCCCCDDf z dzf z dz 如右图所示，假设及 为多连通域 内的

5、两条简单闭曲线 正向为逆时针在 的内部，而且以及 为边界的区域全含于 。则有如下等式成立：c1cDAABBEEFF证明证明: 连接连接C上点上点A到到C1上点上点A 以及以及C1上点上点B到到C上点上点B，则有：，则有：( )0, ( )0.AA F B BFAAEBB E A Af z dzf z dz第6页/共20页将上面两等式相加，并先展开后再重新组合将上面两等式相加，并先展开后再重新组合，可以得到，可以得到1( )( )( )( )( )( )0ccAAA AB BBBf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz1( )( )0ccf z dzf z dz即

6、或1( )( )ccf z dzf z dz这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过函数过程中不经过函数f(z)的不解析的点。的不解析的点。闭路变形闭路变形原理原理第7页/共20页 如果把如上两条简单闭曲线如果把如上两条简单闭曲线C及及C1-看成看成是一条复合闭路是一条复合闭路，且规定它的正向为：外面，且规定它的正向为：外面的闭曲线的闭曲线C按逆时针进行，里面的闭曲线按逆时针进行，里面的闭曲线C1按顺时针进行，那么有按顺时针进行，那么有( )0f

7、z dz同样的方法，我们还可以证明更一般的结论：同样的方法，我们还可以证明更一般的结论：12n12nCDC C , CCCC C CD，复合闭路定理：设 为多连通域 内的一条简单闭曲线，是在内部的简单闭曲线，他们互不包含也互不相交，并且以 ， ， ， 为边界的区域全含于 （如右图所示）。CC1C2C3第8页/共20页knkcck 1kkf(z)D1f z dzf z dz, CC2f z dz 0, CCCC=如果在 内解析，那么） ( )=( )其中 及均取正向；） ( )=这里 为由 及所组成的复合闭路 （其正向是 取逆时针方向，取顺时针方向）。该定理的证明方法同前面一样，该定理的证明方法

8、同前面一样，无非是多加几条无非是多加几条辅助线，最后辅助线上的积分仍然抵消。辅助线，最后辅助线上的积分仍然抵消。由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：12( ), ( )nf zcnz zzf zcc若函数在闭曲线 内有 个奇点则沿 的积分等于 内围绕每一奇点的小闭曲线上的积分值之和，即第9页/共20页12( )( )( )( )nccccf z dzf z dzf z dzf z dz1212,nnc ccz zz其中为分别围绕的小闭曲线。0011cIdzczzz例 ：计算， 其中 为任意一条不过 的正向闭曲线。 解：根据前面的一些结论，首先

9、首先确定被积函数解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数在在c 内的解析内的解析 情况，情况，为此，需分两种情况讨论：为此，需分两种情况讨论：01) 0zccI 位于 外，则被积函数在 内处处解析，因而由 柯西基本定理第10页/共20页0002) zcczczr位于 内，则函数在 内有唯一 奇点 ，在 内以 为圆心任做一 半径为 的小圆周，则有00011 2.czzrIdzdzzzzzi前面例题记住这一结论：。z0cizzdzczc200内，则内，则在在只要只要122 (1)(2)1z =2cdzIczzz例计算积分， 其中 为不经过 和两点的闭曲线.第11页/共20页解：根据被积函数的奇

10、点与积分曲线解：根据被积函数的奇点与积分曲线c的位的位置置 关系，关系，此题须分四种情况讨论：此题须分四种情况讨论：121) z1, z2cc 皆在 外，因而函数在 内处处解析, 0I由柯西基本定理，122) z1z202221ccccdzdzIiizz 分解在 内，在 外，则 123) z1z2cc在 外，在 内，则20221ccdzdzIiizz第12页/共20页124) z1,z222021cccdzdzIiizz皆在 内，则 。1。2此时还可以这样求解：此时还可以这样求解：121122(1)(2) (1)(2)(1)(2)2121 0-2 i+2 i+0=0.cccccccdzIzzd

11、zdzzzzzdzdzdzdzzzzz =c1c2第13页/共20页 假设函数假设函数f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对内解析，则对B内内以以z0为起点为起点，z为终点的任意曲线上的积分都相等，为终点的任意曲线上的积分都相等，即积分只与起点、终点有关，因而可记为即积分只与起点、终点有关，因而可记为上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上不仅如此，而且性质也一样：不仅如此，而且性质也一样：00( )( )( )zzzzF zf z dzfd0zczf z dzf z dz( )=( )当终点当终点z变化时，上式可视为变量变化

12、时，上式可视为变量z的函数，因而可得到的函数，因而可得到第14页/共20页( )( )( )( )f zBF zBF zf z定理：如果函数在单连域 内解析，那么 必为 内的解析函数，并且( )( )F zf z证明：只须证明处处可导，且导数为即可，为此考察下式：00zz+ z()( ) ( )1( )( )f(z)11( )(z)1 ( )f(z)zzzzzzzzzzzF zzF zf zzfdfdzfdfdzzfdzz0zz+z第15页/共20页(z)B00z| z|( )( )|fff z 因在 内解析，因而连续，于是对于任意给定的，存在,使得当| - |时，总有。0()( )limF

13、(z)= ( ).zF zzF zf zz 这就是说 ()( )1 ( ) ( )f(z)|1 |( )f(z)|1 |z|zzzzzzF zzF zf zfdzzfdzz根据积分估值性质根据积分估值性质第16页/共20页B( )( ),( )( )BG zf zG zf z定义：若在区域 内则称是 在区域 内的一个原函数。注：注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数2( )( )f zF z）在上述条件下，的原函数一定存在，变 上限积分函数便是其中一个。类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论：莱布尼兹公式，我们有以下结论：( )B( )( )f zG zf z定理：若在单连通区域 内解析，为 的一个原函数，则212112( )()( )B, Bzzf z dzG zG zzz， 这里。第17页/共20页0zzf z dzf z证明：因为( )也是 ( )的原函数，所以011100010 ( )( ). , - (). ( )( )()( )( )()zzzzzzf z dzG zczzcG zf z dzG zG zf z dzG zG z令 得因此，或 。注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变函数的积分就可以用定积分的类似方法来计算了，函数