复变函数及积分变换第三章PPT学习教案

1、会计学1复变函数及积分变换第三章复变函数及积分变换第三章3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C. 第1页/共46页 定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0,

2、z1,zn-1,zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,n)上任取一点k,并作和式1kkzz1().nnkkkSfz第2页/共46页01( )dlim(),nkkkCf zzfzf(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.其中 .记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 1kkkzzz若C为闭曲线，则函数f(z)沿曲线C的积分记作 ( )dCf zz 第3页/共46页2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线

3、C可积，则( )d( )d .CCf zzf zz 性质3.2（线性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则( )( )d( )d( )d ,CCCf zg zzf zzg zz其中,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 12( )d( )d( )d( )d .nCCCCf zzf zzf zzf zz第4页/共46页 性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 , 曲线C的长度为L,则 zC ( )f zM( )d( ) d,CCf zzf zs ML其中 , 为曲线C的弧微分.22ddddszx

4、y记sk为zk-1与zk之间的弧长 111()()().nnnkkkkkkkkkfzfzfs0两端取极限 ( )d( ) d .CCf zzf zs第5页/共46页11(),nnkkkkkfsMsML( )d( ) d.CCf zzf zsML3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且 ( )ddddd .CCCf zzu xv yi v xv y第6页/共46页证明： 11,kkkkkkkkkkkkzxiyixxxyyy11111()()()().kkkkkkkkkkkkkzzzxiyxiyxxi yyxi y

5、1111()( (,)(,)()( (,)(,)( (,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzuivxi yuxvyivxuy 第7页/共46页111()( (,)(,)( (,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkkfzuxvyivxuy 已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 ( )ddddd .CCCf zzu xv yi v xu y参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 ( )( )( )(),zz tx tiy tatb 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲

6、线C的终点. 第8页/共46页设f(z)沿曲线C连续，则 ( ( )( ( ), ( )( ( ), ( )( )( ).f z tu x ty tiv x ty tu tiv t( )ddddd( ( ) ( )( )( )d( ( )( )( ) ( )d ,CCCbbaaf zzu xv yi v xu yu t x tv t y ttiu t y tv t x ttRe( ( ( ) ( )( ) ( )( )( ),Im( ( ( ) ( )( )( )( ) ( ).f z tz tu t x tv t y tf z tz tu t y tv t x t( )d( ( ) ( )d

7、 .baCf zzf z tz tt第9页/共46页例3.1 分别沿下列路径计算积分 和 2dCzzIm( )dCzz(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 .112220033310d(1) ) d(1) )(1)(1) ) d(1)(1).33Czzi ti tii tttii(2) 这两直线段分别记为C1和C2, C1的参数方程为：y=0, x 从0到1; C2的参数方程为：x=1, y 从0到1.第10页/共46页112220033121003dd(1

8、) d(1)33122(1)1.3333Czzxxiyiyxyi yiyiiii 1100Im( )d0dd(1+).2Cizzxyiy例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.dCzzz 第11页/共46页解：积分路径可分为四段：C1:z=t(-2 t -1);C2:z= 从到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z= 从0到.,ie2,ie1234102210ddddde2ede dd2de2e24411.333CCCCCiiiiiizzzzzzzzzzzzzzztttitiett 第12页/共46页例3.3 计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为

9、整数. 101d()nCzzz 解：曲线C的方程为： 0(02)izzre211(1)002200de()eded .einni nCinninnzirIzzriirr当n=0时 20d2Iii当n0时， 20(cossin)d0niIninr0102 ,0;d0,0.()nz zrinznzz 第13页/共46页3.2 柯西-古萨定理(Cauchy-Goursat)及其推广1.柯西-古萨定理 假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f(z)在D内连续, u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.( )ddddd .CCCf zzu xv yi v

10、xu y记G为C所围区域，由格林(Green)公式有ddd d ,GCvuu xv yx yxy由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u、v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即 第14页/共46页因此dddd0.CCu xv yv xu y从而( )d0.Cf zz 定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即 ( )d0.Cf zz 对于任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。 ,.uvvuxyxy 第15页/共46页推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在 上解析，则

11、 DDC( )d0.Cf zz 推论3.2 设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关. ( )dCf zz证明：设C1和C2为D内连接z0 与z1的任意两条曲线. 1C2C显然C1和 连接成D内一条闭曲线C. 2C第16页/共46页由柯西-古萨定理 12( )d( )d( )d0.CCCf zzf zzf zz12( )d( )d .CCf zzf zz2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为 1212( )d( )d( )d .zzCCf zzf zzf zz固定下限z0，让上

12、限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数 0( )( )d .zzF zf并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.第17页/共46页定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F(z)=f(z).证明： 若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点 (0 )zzz 00()( )( )d( )d .zzzzzF zzF zff ()( )( )d .zzzF zzF zf积分与路径无关 ( )d( )d( ).zzzzzzf zf zf zzf(z)是与积分变量无关的值 第18页/共46页()( )

13、1( )( )d( )1( ( )( )d .zzzzzzF zzF zf zff zzzff zz又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续. 所以对于任给的 ,必存在 ,使得当 (且落在圆B内)，即当 时，总有 00zz ( )( ) 0,必存在0,当时 , 有 .令 ,则 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周 ,使圆B的内部及边界全含于C的内部. z( )( )ff z( )( )fFz( )F:Brz第29页/共46页根据复合闭路定理有( )( )dd .CBffzz蜒令 ，只需证明 0r ( )d2 ( )Bfif zz 1d2Biz ,而f(z)与无关. ( )

14、( )( )( )( )d2 ( )ddd( )( )d2dBBBBBBfff zff zif zzzzzff zsirz蜒蜒蜒第30页/共46页若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根据柯西积分公式 001( )1( )dd2.222CCfKKf ziKizizi蜒即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K. 若C为圆周: ,即 ,则 ,从而 0zR0Reiz(02)dRe dii20000200(Re )Re1( )1()dd22Re1(Re )d .2iiiCif ziff zizif z解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理. 第31页

15、/共46页 若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续，则柯西积分公式仍然成立.柯西积分公式可以改写成 ( )d2 ( )Cfif zz 例3.8 计算积分 的值. 221dzzzz 解：因为z2+1在|z|=2内解析 22021d22 .(1)zzzziizz 第32页/共46页例3.9 计算积分 的值，其中C为: 2sin6d1Czzz 33(1)1;(2)1;(3)3.22zzz 解： (1) 被积函数 在 的内部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz蜒(2) 被积函数 在 的内部解析 sin61z

16、z 312z第33页/共46页(3) 被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1. 12222sinsinsin666ddd .11122CCCzzziizzzizzz蜒21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz蜒例3.10 求积分 的值, 其中C为: x2+y2 =4x.2d(4)cosCzzz 第34页/共46页解：x2+y2 =4x可化为(x-2)2+y2=4，即|z-2|=2. 被积函数在C的内部内有奇点/2和2，作以/2和2为中心位于

17、C内的互不相交的小圆周C1和C2. 121222222/222111ddd(4)cos(4)cos(4)cos1111dd4 cos(2)cos21122(2)cos4412.164cos2CCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzz ziizzzi蜒蜒第35页/共46页2.高阶导数公式 定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.( )1!( )( )d (1,2,),2()nnCnffznizL定理3.8 若f(z)为定义在区域D内的解析函数，则在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数

18、. 定理3.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1) 在D内连续；(2) 在D内满足柯西-黎曼方程. ,xyxyu uv v( , ), ( , )u x y v x y第36页/共46页例3.11 求积分 的值, 其中C为: . 2ed2zCziz 226xyy解：被积函数在C的内部有一个奇点 2iz /22 /2ed2 e22.2 (e )2zizziCzii iiiz 例3.12 求积分 的值，其中C为: |z|=2. 32cosd(1)Czzzz 第37页/共46页解： 被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条闭曲线C1和C2互不相交且互

19、不包含，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部. 12123232322332230022coscoscosddd(1)(1)(1)cos1cos1dd(1)(1)2coscos22 32!(1)(6 )6(12 ) .CCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizziizziii蜒蜒第38页/共46页3.4 解析函数与调和函数的关系定义3.3 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元实函数(x,y)称为在D内的调和函数. 22220 xy定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x

20、,y)都是D内的调和函数. 证明 由柯西-黎曼方程有 ,.vuvxyxy 222222,.uvuvxy xyx y 第39页/共46页u(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，所以 22.vvy xx y 22220.uvxy同理可证 22220.vvxy即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数. 使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数. 第40页/共46页1. 偏积分法利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得 d( )uvyg xx然后两边对x求偏导,由vx=-uy,于是有 d( ).yuuyg xxx从而-d( )d.uuyg xxCyxxddd.uuuyvyxCyxxx第41页/共46页例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y, f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的形式. 解 由柯西-黎曼方程，有vy=ux=2y