复变函数总复习PPT学习教案

1、会计学1复变函数总复习复变函数总复习Ozzxyizxyi( , )x y第1页/共75页1、积与商设，则arg(cos(arg )sin(arg )izzzzizz e121122,iizrezr e1212()()111 21 222,iizrz zrr eezr2(0)r xyPNOS第2页/共75页izre(cossin)nninnzr erninizre222(cossin)(0,1,2,1)kinnnnkkzreriknnn000( )( , )( , ),f zu x yiv x yAabi zxiy00000lim( )lim ( , ), lim ( , )zzxxxxyyyy

2、f zAu x yav x yb第3页/共75页; 0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形? ?是不是区是不是区域域? ?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. .解解 是实数轴是实数轴, ,不是区域不是区域. .0)(Im zxyO 是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域. . , y y解解 )(Imz第4页/共75页622)3( zz 是以是以 为焦点为焦点, ,以以3 3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域, ,它不是区它不是区域域. .2 32,32arg3)

3、4( zz且且 不是区域，因为图中不是区域，因为图中32arg,3arg zz解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点. .oy23xoxy 3 2 2 3第5页/共75页000Im( )Im()limzzzzzz 例（）（）等于i（）等于i （）等于（）不存在0解0000Im( )Im()limlimzzzzzzyzzxyi 当沿，时，有yk x 0 x 0000Im( )Im()limlim1zzzzzzykzzxyiki 与有关，极限不存在.kD第6页/共75页果在不解析，称为的奇点。( )f z0z0z0z( )f z( )f z( )f z( )f z0z0z( )f z第7

4、页/共75页在区域D内解析在区域D内可导( )f z0z( )f z0z( )f z0z( )f z( )f z第8页/共75页算法则（2）利用可导与解析的充要条件( )( , )( , )f zu x yiv x y ( )f z( , )u x y( , )v x y,xyyxuvuv 函数解析的充要条件第9页/共75页倒）n( , )x y ( , )x y 22220 xy( )f zuiv uvvuuv第10页/共75页( , )u x y( , )v x y( )f zuiv 第11页/共75页1212zzzzeee zxee 2(0, 1, 2,)zArgeykk 12,z zz

5、e2 i 2zizee ze()zzee (cossin )zxyixeeeyiy 第12页/共75页ln(arg2)(0, 1, 2,)wLnzzizk ik lnlnargzziz 1()Lnzz 第13页/共75页负实轴的复平面内也是解析的，且(0)aaLnzzez aan1nazznnaznaz 1()aazaz 第14页/共75页例例 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析. .)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在直线仅在直线 上

6、可导上可导.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.)(zf时，时，当且仅当当且仅当21 y第15页/共75页例例解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k第16页/共75页.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33

7、(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln第17页/共75页例例 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中第18页/共75页例例 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值

8、为的辐角的主值为故故ii 第19页/共75页01( )lim()nkkckf z dzfz ( )( , )( , )f zu x yiv x y ( )cccf z dzudxvdyivdxudy第20页/共75页( )( )ccf z dzf z dsML ( )( )ccf z dzf z dz ( )( )cckf z dzkf z dz ( )( )( )( )cccf zg z dzf z dzg z dz( )f zM 第21页/共75页( )f z( )()zz tt ( )z ()z ( ) ( ) ( )cf z dzf z t z t dt 211()01nz aindz

9、zan 第22页/共75页( )0cf z dz ( )f z第23页/共75页其中与均取正向其中是由与组成的复合闭路12,nc cc12,nc c cc( )f z11.( )( )2.( )0knkccf z dzf z dzf z dz ckcckc 第24页/共75页于，为内任一点，则( )f z( )G z( )f z2121( )()()zzf z dzG zG z ( )f z0z001( )()2cf zf zdzizz 第25页/共75页( )f zn( )010!( )()(1,2,)2()nncnf zfzdznizz c0z( )f z第26页/共75页32:Czi沿指

10、定路径计算以下积分例例 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222第27页/共75页izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西- -古萨基本定理有古萨基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C第28页/共75页 21d)(21d1d)1

11、(12CCCzizzzzzzii 2212. i 第29页/共75页 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 第30页/共75页由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzz

12、e12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得第31页/共75页 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 第32页/共75页3d011,().zCezCzz 计算其中 是不经过 与 的光滑闭曲线例例解解分以下四种情况讨论分以下四种情况讨论：则则也不包含也不包含既不包含既不包含若封闭曲线若封闭曲线, 10)1C

13、,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古萨基本定理得古萨基本定理得由柯西由柯西第33页/共75页则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 第34页/共75页则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi

14、 132)22( zzzezzi. ie 第35页/共75页, 01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C第36页/共75页 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分第

15、37页/共75页nnnaib limlim,limnnnnnnaibaabb 1212111,nnnnnnsisasbs 1nn lim0nn 第38页/共75页）比值法如果，则）根值法如果，则0()nnnz 0()zz 0zzz1zz 1zzz0()nnnz 1limnnn 1R limnnn 1R 第39页/共75页xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径第40页/共75页，0()nnnz ( )f zzR R10( )()nnnfznz 10( )()1nncnf z dzzn 第41页/共75页积分或求导zR ( )f z( )0( )( )()!nnnff zzn 第42页/共7

16、5页单曲线。函数展开成罗朗级数一般用间函数展开成罗朗级数一般用间接方法接方法(0,)rzR rR ( )f z( )()nnnf zcz 11( )(0, 1, 2,)2()nnf zcdzniz 第43页/共75页例例 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因为因为发散，发散， 121nn收敛，收敛，. 21 1发散发散所以所以 nnin第44页/共75页;251)2(1 nni解解,226251 nni 因为因为, 0226lim nn. 251 1发散发散所以所以 nni第45页/共75页;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因为因为

17、 614121,51311 i . 1收敛收敛故故 nnni收敛收敛收敛收敛第46页/共75页.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131 , 1 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛. .第47页/共75页例例 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径2000123( )( )( )!nnnnnnzzn znn解解nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1li

18、m )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得第48页/共75页, 0 内内在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所以所以.!1! 31! 2122 nznzzz 0! nnznze因为因为例例. 0 12的去心邻域的洛朗级数的去心邻域的洛朗级数在在求求 zezz解解,!101 nnzzne第49页/共75页例例1 2( )()().f zziz 将在下列圆环域内展开成洛朗级数, 21)1( z.2)2( z解解, 21 )1(内内在在 z有有. 12, 1 zzi )2)(1)(zizzf zizi21121第50页/共75页 21211121zzizi 0011

19、2)(21nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii, 2 )2(内内在在 z12, 1 zzi 21121)( zizizf故故第51页/共75页 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的式是不同的. .第52页/共75页负幂指数项（有限数）()a ( )f zaza lim( )zaf zb( )f z第53页/共75页（此特征没有指出极点的级数）()a ( )f zm( )f za1()za m( )f za( )( )

20、()mg zf zza ( )g za( )0g a ( )f zlim( )xaf z a第54页/共75页的邻域内能表示为，其中在解析，且，为正整数，称为的级零点。()a ( )f z( )f zaza lim( )xaf z( )f z0z0( )()( )mf zzzz ( ) z 0z0()0z m0z( )f zm第55页/共75页0z( )f zn(1)( )0000()()()0,()0nnf zfzfzfz 0z( )f zm0z1( )f zm第56页/共75页( )f zz 1( )ft0t 0t 1( )ftmz ( )f zm第57页/共75页多个正幂项。z ( )f

21、 zz ( )f z( )f zrz 011( )nnnnnnf zczcc z 第58页/共75页()a ( )f z( )f za11Re ( ), ( )2cs f z af z dzci caa第59页/共75页1c 11()cza aRe ( ), 0s f z a aa第60页/共75页（只要与在点解析，且，），则a( )f zm111Re ( ), lim()( )(1)!mmmzads f z azaf zmdz 1m Re ( ), lim() ( )zas f z aza f z ama( )( )( )P zf zQ z ( )P z( )Q za( )0P a ( )0

22、Q a ( )0Q a 第61页/共75页( )( )Re , ( )( )P zP asaQ zQ a 211Re ( ),Re ( ),0s f zsfzz 第62页/共75页( )f z12,na aac1( )2Re ( ),nkckf z dzis f z a ( )f z12,na aa 1Re ( ),Re ( ),0nkks f zs f z a 第63页/共75页( ),.f z求下列函数在扩充复平面上的奇点 并判别类型例例;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(内的洛朗展式为内的洛朗展式为在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31s

23、in)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇点的本性奇点是是的可去奇点的可去奇点是是得得zfzzfz 第64页/共75页;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的一级极点的一级极点为为zw 又又且为本性奇点且为本性奇点仅有唯一的奇点仅有唯一的奇点而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 则则第65页/共75页), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇点的本性奇点都是都是zf因为因为时时当当, zzzzezf1tanlim)(lim .)(的可去奇点的可去奇点是是故知故知zfz ,1 第66页/共75页例例 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数. .,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz解解(1)(1)在在 内内, , 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1Res Cz所以所以. 1 第67页/共75页,!