21函数及其表示

1、第一节 函数及其表示 任何一个函数都可以用三种方法表示吗？任何一个函数都可以用三种方法表示吗？ 提示提示: :不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列表法或图象法表示表法或图象法表示. .1.1.下列四个命题中正确的有下列四个命题中正确的有( )( )函数是由其定义域到值域的映射；函数是由其定义域到值域的映射；f(xf(x)= )= 是一个函数；是一个函数；函数函数y=2x(xN)y=2x(xN)的图象是一条直线；的图象是一条直线；函数函数 的图象是抛物线的图象是抛物线. .(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(

2、D)4个个x32x22xx0yxx0【解析【解析】选选A.A.由函数的定义知：命题由函数的定义知：命题正确；因为使正确；因为使f(xf(x)=)= 有意义的有意义的x x不存在，所以命题不存在，所以命题不正确；因不正确；因为函数为函数y=2x(xN)y=2x(xN)的图象是一条射线上的一群孤立的点，所的图象是一条射线上的一群孤立的点，所以命题以命题不正确；因为函数不正确；因为函数 的图象是由的图象是由函数函数y=xy=x2 2图象的对称轴的右侧部分与函数图象的对称轴的右侧部分与函数y=-xy=-x2 2图象的对称轴图象的对称轴的左侧部分组成的，并不是一条抛物线的左侧部分组成的，并不是一条抛物线

3、. .所以命题所以命题不正确不正确. .故选故选A.A.x32x22xx0yxx02.2.映射映射f:1,2,31,2,3,4f:1,2,31,2,3,4满足满足f(xf(x)=x)=x，则这样的映射，则这样的映射f f共有共有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析【解析】选选A.A.由映射的定义知，集合由映射的定义知，集合1,2,31,2,3的每一个元素的每一个元素在在f f的作用下都有惟一的元素与之对应，且的作用下都有惟一的元素与之对应，且f(xf(x)=x)=x，因此只，因此只有有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3f

4、(1)=1,f(2)=2,f(3)=3一个映射符合条件一个映射符合条件. .3.3.下列各组函数中，表示同一函数的是下列各组函数中，表示同一函数的是( )( )(A)f(x(A)f(x)=x)=x与与g(xg(x)=( )=( )2 2(B)f(x(B)f(x)=|x|)=|x|与与g(xg(x)=)=(C)f(x)=x|x(C)f(x)=x|x| |与与 (D)f(x(D)f(x)= )= 与与g(tg(t)=t+1(t1)=t+1(t1)【解析【解析】选选D.D.选项选项A A中的定义域不同，选项中的定义域不同，选项B B中的解析式不中的解析式不同，选项同，选项C C中的定义域不同，只有选

5、项中的定义域不同，只有选项D D中两函数的定义域及中两函数的定义域及对应关系都相同，故选对应关系都相同，故选D.D.x33x 22xx0g xxx02x1x14.4.已知函数已知函数 若若f(xf(x)=2)=2，则，则x=_.x=_.【解析【解析】当当x1x1时，时，3 3x x=2=2，x=logx=log3 32 2；当当x x1 1时，时，-x=2-x=2，x=-2(x=-2(舍去舍去).).答案：答案：loglog3 32 2 x3x1f xxx1，5.5.已知函数分别由下表给出已知函数分别由下表给出则则f(g(1)f(g(1)的值为的值为_；满足；满足g(f(xg(f(x)=1)=

6、1的的x x值是值是_._.【解析【解析】f(g(1)=f(3)=1f(g(1)=f(3)=1；g(3)=1g(3)=1而已知而已知g(f(xg(f(x)=1)=1，f(xf(x)=3)=3；又；又f(2)=3.x=2.f(2)=3.x=2.答案：答案：1 21 21.1.函数与映射的异同点函数与映射的异同点2.2.定义域与值域相同的函数不一定是相同函数定义域与值域相同的函数不一定是相同函数如函数如函数y=xy=x与与y=x+1y=x+1，其定义域与值域完全相同，但不是相同，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数函数；再如函数y=sin xy=sin x与与y=cosy=cos x

7、x，其定义域与值域完全相，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数同，但不是相同函数. .因此判断两个函数是否相同，关键是因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同看定义域和对应关系是否相同. .3.3.求函数定义域的基本要求求函数定义域的基本要求(1)(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)(2)偶次根式的被开方数必须大于等于零；偶次根式的被开方数必须大于等于零；(3)(3)对数的真数必须大于零；对数的真数必须大于零；(4)(4)指数函数与对数函数的底数大于零且不等于指数函数与对数函数的底数大于零且不等于1 1；(5)(5)正切函数正切函数y=tan xy=tan

8、x中，中，xk+ (kZ)xk+ (kZ)；(6)(6)零次幂的底数不能为零；零次幂的底数不能为零；(7)(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求际问题本身的要求. .21.下列对应关系是集合下列对应关系是集合P上的函数的是上的函数的是_(1)PZ，QN*，对应关系，对应关系f：对集合：对集合P中的元素取绝对值中的元素取绝对值与集合与集合Q中的元素相对应；中的元素相对应；(2)P1,1，2,2，Q1,4，对应关系：，对应关系：f：xyx2，xP，yQ；(3)P三角形三角形，Qx|x0，对应关系，对应关系f：对：对P中

9、三角形求中三角形求面积与集合面积与集合Q中元素对应中元素对应 补充题补充题解析：解析：由于由于(1)中集合中集合P中元素中元素0在集合在集合Q中没有对应元素，中没有对应元素，并且并且(3)中集合中集合P不是数集，从而知只有不是数集，从而知只有(2)正确正确函数与映射的概念函数与映射的概念2.如图所示，可表示函数如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是的图象的只可能是 ()答案：答案：D函数与映射的概念函数与映射的概念 补充题补充题答案：答案： 解析：解析：由函数的定义可知，由函数的定义可知，表示表示y是是x的函数的函数函数与映射的概念函数与映射的概念 补充题补充题 求函数的定义域求函数的

10、定义域【例【例1 1】(1)(1)函数函数 的定义域为的定义域为( )( )(A)(A)-4,1-4,1 (B)(B)-4,0)-4,0)(C)(0,1(C)(0,1 (D)(D)-4,0)(0,1-4,0)(0,1(2)(2)已知函数已知函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，求，求f(xf(x) )的定义域的定义域. .【审题指导【审题指导】(1)(1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的函数解析式有意义的x x的集合，先列出不等式的集合，先列出不等式( (组组) )，然后再，然后再解不等式解不等式(

11、(组组) )，求出解集；，求出解集；(2)(2)注意在对应关系注意在对应关系f f下，函数下，函数f(2x+1)f(2x+1)中中2x+12x+1的范围与函数的范围与函数f(xf(x) )中中x x的范围相同的范围相同. .2x3x4yx【自主解答【自主解答】(1)(1)选选D.D.要使要使 有意义，则有：有意义，则有：解得：解得：-4x-4x0 0或或0 0 x1.x1.所以所求函数的定义域为所以所求函数的定义域为-4-4，0)(00)(0，1 1. .(2)(2)函数函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，112x+12x+13,3,f(xf(x) )的定

12、义域为的定义域为(1,3).(1,3).2x3x4yx2x0 x3x40，【规律方法【规律方法】求函数定义域的方法求函数定义域的方法(1)(1)求具体函数求具体函数y=f(xy=f(x) )的定义域：的定义域：(2)(2)求抽象函数的定义域：求抽象函数的定义域：若已知函数若已知函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为a,ba,b，其复合函数，其复合函数f(g(xf(g(x)的定义域由不等式的定义域由不等式ag(x)bag(x)b求出求出. .若已知函数若已知函数f(g(xf(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(xf(x) )的定义域的定义域为为g(xg(x) )在在xxa,b

13、a,b时的值域时的值域. .提醒：提醒：定义域必须写成集合或区间的形式定义域必须写成集合或区间的形式. .【互动探究】若本例【互动探究】若本例(2)f(x)(2)f(x)的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，试求函数，试求函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域的定义域. .【解析【解析】f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0,1)(0,1)，002x+12x+11,1,解得：解得： x x0 0，函数函数f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为( ,0).( ,0).1212【变式训练【变式训练】（20112011潮州模拟）潮州模拟）已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )

14、的定义域的定义域是是0,20,2，那么函数，那么函数 的定义域是的定义域是_._.【解析【解析】依题意知：依题意知：解得解得函数的定义域为函数的定义域为(-1, )( , (-1, )( , . .答案答案: :(-1, )( , (-1, )( , 2f(x )g x1lg(x1)20 x2x1 01lg x10 ，2x299x11xx210109x10 ， 或，910910291091022.若函数若函数yf(x+1)的定义域是的定义域是-1,1，则函数，则函数g(x) 的的 定义域是定义域是 () A.0,1 B.0,1) C.0,1)(1,4 D.(0,1)解析：解析：要使要使g(x)

15、有意义，则有意义，则 解得解得0 x1，故，故定义域为定义域为0,1). 答案：答案：B 补充题补充题 函数的基本概念函数的基本概念【例】判断下列各组中两个函数是否为相同函数？【例】判断下列各组中两个函数是否为相同函数？(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2x-1,g(t)=t+2x-1,g(t)=t2 2+2t-1+2t-1；(2)f(x)=|x|,g(t(2)f(x)=|x|,g(t)= )= ；(3)f(x)= (3)f(x)= ，g(xg(x)= )= ；(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=2txx12xxx2,x3,x4,x3.

16、 【审题指导【审题指导】本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是相同函数，否则不是相同函数相同函数，否则不是相同函数. .【规范解答【规范解答】(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2x-1+2x-1的定义域为的定义域为R R，g(tg(t)=t)=t2 2+2t-1+2t-1的定义域为的定义域为R R，f(xf(x) )与与g(tg(t) )

17、的定义域相同的定义域相同. .又又它们的对应关系也相同它们的对应关系也相同, ,f(xf(x) )与与g(tg(t) )为相同函数；为相同函数；(2)f(x)=|x|(2)f(x)=|x|，g(tg(t)= =|t|)= =|t|，f(xf(x) )与与g(tg(t) )的定义域都为的定义域都为R R，且对应关系也相同，且对应关系也相同，因此因此f(xf(x) )与与g(tg(t) )是相同函数；是相同函数；(3)f(x)= (3)f(x)= 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，g(xg(x)= )= 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0或或x-1,x-1,f(xf(x) )与与g(xg

18、(x) )的定义域不相同的定义域不相同, ,因此因此f(xf(x) )与与g(xg(x) )不是相同函数；不是相同函数；2txx12xx(4)f(x)=|3-x|+1=(4)f(x)=|3-x|+1=f(x)f(x)与与g(xg(x) )的定义域相同，且对应关系也相同的定义域相同，且对应关系也相同, ,因此因此f(xf(x) )与与g(xg(x) )是相同函数是相同函数. .x2,x3,x4,x 3. ；1,x1y2,1 x 23,x2 ；(4)f(4)f1 1：y=2xy=2x；f f2 2：如图所示：如图所示：【解析【解析】(1)(1)是不同函数是不同函数.第一个函数的定义域为第一个函数的

19、定义域为x|xR,x0 x|xR,x0，第二个函数的定义域为，第二个函数的定义域为R R；(2)(2)是不同函数是不同函数.第一个函数的定义域为第一个函数的定义域为R R，第二个函数的，第二个函数的定义域为定义域为x|xR,x0 x|xR,x0；(3)(3)是同一函数是同一函数.x.x与与y y的对应关系完全相同且定义域相同，的对应关系完全相同且定义域相同，它们只不过是同一函数的不同方式的表示；它们只不过是同一函数的不同方式的表示；(4)(4)是同一函数是同一函数. .理由同理由同(3).(3). 求函数的解析式求函数的解析式【例【例2 2】(1)(1)已知已知f(xf(x+ )= + )=

20、，求，求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(2)(2)已知已知f( )=lgxf( )=lgx，求，求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(3)(3)已知已知f(xf(x) )是一次函数，且满足是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+173f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(4)(4)已知已知f(xf(x) )满足满足2f(x)+f( )=3x2f(x)+f( )=3x，求，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【审题指导【审题指导】求求f(xf(x) )的解析式是寻找函数的自变量的解析式是寻找函数的自变量x x与与f

21、(xf(x) )之间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程之间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程思想等思想等. .1x221xx21x1x【自主解答【自主解答】(1)f(x+ )=x(1)f(x+ )=x2 2+ =(x+ )+ =(x+ )2 2-2-2，且且x+ 2x+ 2或或x+ -2x+ -2，f(xf(x)=x)=x2 2-2(x2-2(x2或或x-2)x-2)；(2)f( +1)=lgx(2)f( +1)=lgx，xx0.0.设设 +1=t(t+1=t(t1)1)，则，则x= x= ，f(tf(t)=lg (t)=lg (t1)1)，即即f(x)=lgf(x

22、)=lg (x (x1)1)；1x21x1x1x1x2x2x2t12t12x1(3)f(x)(3)f(x)是一次函数，是一次函数，设设f(xf(x)=ax+b(a0)=ax+b(a0)，又又3f(x+1)-2f(x-1)=2x+173f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，3(ax+a+b)-2(ax-a+b)=2x+173(ax+a+b)-2(ax-a+b)=2x+17，即即ax+5a+b=2x+17ax+5a+b=2x+17，a=2a=2，b=7b=7，f(xf(x)=2x+7.)=2x+7.(4)2f(x)+f( )=3x (4)2f(x)+f( )=3x 把把中的中的x x换成换成

23、，得，得2f( )+f(x)= 2f( )+f(x)= 2-2-得得3f(x)=6x- 3f(x)=6x- ，f(xf(x)=2x- (x0).)=2x- (x0).1x1x3x3x1x1x【规律方法【规律方法】函数解析式的求法函数解析式的求法(1)(1)凑配法：由已知条件凑配法：由已知条件f(g(x)=F(xf(g(x)=F(x) )，可将，可将F(xF(x) )改写成关改写成关于于g(xg(x) )的表达式，然后以的表达式，然后以x x替代替代g(xg(x) )，便得，便得f(xf(x) )的表达式；的表达式；(2)(2)待定系数法：若已知函数的类型待定系数法：若已知函数的类型( (如一次

24、函数、二次函数如一次函数、二次函数) )可用待定系数法；可用待定系数法；(3)(3)换元法：已知复合函数换元法：已知复合函数f(g(xf(g(x)的解析式，可用换元法，的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；此时要注意新元的取值范围；(4)(4)方程思想：已知关于方程思想：已知关于f(xf(x) )与与f( )f( )或或f(-xf(-x) )的表达式，可的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出程组求出f(xf(x).).提醒：提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函因为函数的解析式相同，定

25、义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的义的x x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误. .1x【互动探究】若本例【互动探究】若本例(1)“ ”(1)“ ”改为改为“ ”“ ”，求，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【解析【解析】且且x+ 2x+ 2或或x+ -2,x+ -2,f(xf(x)=x)=x3 3-3x(x2-3x(x2或或x-2).x-2).2211f(x)xxx3311f(x)xxx3331111f(x)x(x)3(x)xxxx

26、，1x1x【变式训练】【变式训练】(1)(1)已知已知f( )= f( )= ，求，求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(2)(2)已知已知f(1-cos x)=sinf(1-cos x)=sin2 2 x x，求，求f(xf(x) )的解析式；的解析式；(3)(3)已知已知f(xf(x) )是二次函数，若是二次函数，若f(0)=0f(0)=0，且，且f(x+1)=f(x+1)=f(x)+x+1,f(x)+x+1,试求试求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【解析【解析】(1)(1)方法一：方法一： f( )= =( )f( )= =( )2 2-1,-1,又又 +11+11，f(xf

27、(x)=x)=x2 2-1(x1);-1(x1);x1x2 xx1x2 xx1x方法二：设方法二：设 =t(t1)=t(t1)，则，则 =t-1=t-1，x=(t-1)x=(t-1)2 2，f( )=x+ ,f( )=x+ ,f(t)=(t-1)f(t)=(t-1)2 2+2(t-1)=t+2(t-1)=t2 2-1(t1),-1(t1),即即f(x)=xf(x)=x2 2-1(x1)-1(x1)；(2)f(1-cos x)=sin(2)f(1-cos x)=sin2 2x=1-cosx=1-cos2 2x,x,设设1-cosx=t(0t2)1-cosx=t(0t2)，则，则cosx=1-t,

28、cosx=1-t,f(t)=1-(1-t)f(t)=1-(1-t)2 2=-t=-t2 2+2t(0t2).+2t(0t2).故故f(xf(x)=-x)=-x2 2+2x(0 x2)+2x(0 x2)；x1xx12 x(3)f(x)(3)f(x)是二次函数，是二次函数，设设f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)，f(0)=0f(0)=0，c=0c=0，f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+bx，又又f(x+1)=f(x)+x+1f(x+1)=f(x)+x+1，a(x+1)a(x+1)2 2+b(x+1)=ax+b(x+1)=ax2 2+bx+x+1+bx+x

29、+1，即即axax2 2+(2a+b)x+a+b=ax+(2a+b)x+a+b=ax2 2+(b+1)x+1+(b+1)x+1，f(xf(x)= (xR).)= (xR).1a2abb12. ab11b2，解得211xx22 分段函数及其应用分段函数及其应用【例【例3 3】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5 5吨时，吨时，每吨水费的价格每吨水费的价格( (基本消费价基本消费价) )为为1.31.3元，若超过元，若超过5 5吨而不超过吨而不

30、超过6 6吨时，超过部分的水费加收吨时，超过部分的水费加收200%200%，若超过，若超过6 6吨而不超过吨而不超过7 7吨时，吨时，超过部分的水费加收超过部分的水费加收400%400%，如果某人本季度实际用水量为，如果某人本季度实际用水量为x(x7)x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费吨，试计算本季度他应缴纳的水费. .【审题指导【审题指导】计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示来表示. .【自主解答【自主解答】设设y y表示本

31、季度应缴纳的水费表示本季度应缴纳的水费( (元元) )，当当0 0 x5x5时，时，y=1.3xy=1.3x；当当5 5x6x6时，应将时，应将x x分成两部分：分成两部分：5 5与与(x-5)(x-5)分别计算，第一分别计算，第一部分为基本消费部分为基本消费1.31.35 5，第二部分由基本消费与加价消费组，第二部分由基本消费与加价消费组成成, ,即即1.31.3(x-5)+1.3(x-5)(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5200%=3.9x-19.5，此时此时y=1.3y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-135+3.9x-19.5=3.9x-13，当当6 6x

32、7x7时，同理时，同理y=6.5x-28.6y=6.5x-28.6综上可知：综上可知：1.3x,0 x5y3.9x13,5 x6.6.5x28.6, 6 x7【规律方法【规律方法】1.1.对于实际应用题，应据已知条件确定分段点，对于实际应用题，应据已知条件确定分段点，先在每一段上求出解析式，然后再写成分段函数；先在每一段上求出解析式，然后再写成分段函数；2.2.解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决. .【变式训练】图中的图象所对应的函数的解析式为【

33、变式训练】图中的图象所对应的函数的解析式为( )( )(A)y= |x-1|(0 x2)(A)y= |x-1|(0 x2)(B)y= - |x-1|(0 x2)(B)y= - |x-1|(0 x2)(C)y= -|x-1|(0 x2)(C)y= -|x-1|(0 x2)(D)y=1-|x-1|(0 x2)(D)y=1-|x-1|(0 x2)32323232【解析解析】选选B.B.方法一：用特殊值法即可，代入方法一：用特殊值法即可，代入x=1x=1，排除，排除A A、D D，代入，代入x=2x=2，排除，排除C C，因此选，因此选B.B.方法二：由题中图可知：图象分为两段，每一段都是线段，方法二

34、：由题中图可知：图象分为两段，每一段都是线段，当当0 x10 x1时，时，y= xy= x；当当1 1x2x2时，时，y= x+3y= x+3；综上可知：综上可知：即即y= - |x-1|(0 x2).y= - |x-1|(0 x2).32323x,0 x12y.3x3,1 x223232【例】某出版公司为一本畅销书定价如下：【例】某出版公司为一本畅销书定价如下： 这里的这里的nNnN* *表示购书的数量，表示购书的数量，C(nC(n) )是订购是订购n n本书所付的钱数本书所付的钱数( (单位：元单位：元).).若一本书的成本价是若一本书的成本价是5 5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买元

35、，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1 1本，两人共买本，两人共买6060本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？ 12n,1n24C n11n,25n4810n,n49，【审题指导【审题指导】分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整个函数的最值个函数的最值. .【规范解答【规范解答】设甲买设甲买n n本书，则乙买本书，则乙买(60-n)(60-n)本书本书( (不妨设甲买不妨设甲买的书少于乙买的书的书

36、少于乙买的书) )，则，则n30,nNn30,nN* *当当1n111n11且且nNnN* *时，时，4960-n594960-n59，出版公司赚的钱数，出版公司赚的钱数f(nf(n)=12n+10(60-n)-5)=12n+10(60-n)-560=2n+30060=2n+300；当当12n2412n24且且nNnN* *时，时，3660-n483660-n48，出版公司赚的钱，出版公司赚的钱数数f(nf(n)=12n+11(60-n)-5)=12n+11(60-n)-560=n+360;60=n+360;当当25n3025n30且且nNnN* *时，时，3060-n353060-n35，出

37、版公司赚的钱，出版公司赚的钱数数f(nf(n)=11)=1160-560-560=36060=360；所以所以当当1n111n11且且nNnN* *时，时，302f(n)322302f(n)322；当当12n2412n24且且nNnN* *时，时，372f(n)384372f(n)384；当当25n3025n30且且nNnN* *时，时，f(nf(n)=360.)=360.故出版公司最少能赚故出版公司最少能赚302302元，最多能赚元，最多能赚384384元元. . *2n300,1n11f nn360,12n24,(nN )360,25n30【规律方法【规律方法】对于分段函数的最值问题，一般

38、是将每一段上对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值中的最小者就是整个函数的最小值. .【变式备选】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水【变式备选】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过不超过4 4吨为每吨吨为每吨1.801.80元，当用水超过元，当用水超过4 4吨，超过部分每吨吨，超过部分每吨3.003.00元，某月甲、乙两户居民共交水费元，某月甲、乙两户居民共交水费y y元，已知甲、乙两元，已知甲、乙两户的用水量分别为户的用水量分别为5x5x、3

39、x(3x(吨吨).).(1)(1)求求y y关于关于x x的函数；的函数；(2)(2)若甲、乙两户该月共交水费若甲、乙两户该月共交水费26.4026.40元，分别求出甲、乙两元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费户该月的用水量和水费. .【解析【解析】(1)(1)依题意得依题意得 (2)(2)由于由于y=f(xy=f(x) )在各段区间上均单调递增，在各段区间上均单调递增，当当x0, x0, 时，时，yfyf( )( )26.426.4；当当x( x( 时，时，yfyf( )( )26.426.4；当当x( ,+)x( ,+)时，令时，令24x-9.6=26.424x-9.6=26.4，得，

40、得x=1.5.x=1.5.414.4x,0 x,544y20.4x4.8,x,53424x9.6,x.3454 4,5 3434543所以甲用户的用水量为所以甲用户的用水量为5x=7.5(5x=7.5(吨吨) )，付水费付水费4 41.8+3.51.8+3.53=17.7 (3=17.7 (元元) )，乙用户用水量为乙用户用水量为3x=4.5(3x=4.5(吨吨) )，付水费付水费4 41.8+0.51.8+0.53=8.7(3=8.7(元元).). 解题方法失误解题方法失误【典例【典例】(2011(2011聊城模拟聊城模拟) )设设V V是已知平面是已知平面M M上所有向量的集上所有向量的集

41、合，对于映射合，对于映射f:VVf:VV, V, V，记，记 的象为的象为f( ).f( ).若映射若映射f:VVf:VV满足：对所有满足：对所有 、 VV及任意实数及任意实数,都有都有f( f( + )=f( )+f+ )=f( )+f( )( )，则，则f f称为平面称为平面M M上的线性变换上的线性变换. .现现有下列命题：有下列命题：设设f f是平面是平面M M上的线性变换，上的线性变换， 、 VV，则，则f( + )=f( + )=f( )+f( )f( )+f( )；aaabaabbabababa若若 是平面是平面M M上的单位向量，对上的单位向量，对 V,V,设设f( )= +

42、f( )= + ，则，则f f是平面是平面M M上的线性变换；上的线性变换；对对 V,V,设设f( )=- f( )=- ，则，则f f是平面是平面M M上的线性变换；上的线性变换；设设f f是平面是平面M M上的线性变换，上的线性变换， VV，则对任意实数，则对任意实数k k均有均有f(k )=kff(k )=kf( ).( ).其中的真命题是其中的真命题是_(_(写出所有真命题的编号写出所有真命题的编号).).eaeaaaaaaaa【审题指导【审题指导】分析题意知，先弄清线性变换的定义是解题的分析题意知，先弄清线性变换的定义是解题的关键关键. .是线性变换的特例；是线性变换的特例；利用线性

43、变换的定义证利用线性变换的定义证明即可明即可. .【规范解答【规范解答】：令：令=1=1，则，则f( + )=f( )+f( )f( + )=f( )+f( )故故是真命题；是真命题；同理，同理，：令：令=k,=k,=0=0，则，则f(k )=kff(k )=kf( )( )故故是真命题；是真命题；ababaa答案答案: :【误区警示【误区警示】在解答本题时有两点容易造成失误：在解答本题时有两点容易造成失误：一是由于对线性变换概念理解不透，造成无法判断或不会判一是由于对线性变换概念理解不透，造成无法判断或不会判断断f f是否为线性变换；二是不会或想不到举特例，从而思路是否为线性变换；二是不会或

44、想不到举特例，从而思路受阻，不能顺利地解决问题受阻，不能顺利地解决问题. .除此之外，解决立意新颖的问题还有以下几点容易出错：除此之外，解决立意新颖的问题还有以下几点容易出错：1.1.阅读理解能力不够，接受新知识能力不强，不知从何处入阅读理解能力不够，接受新知识能力不强，不知从何处入手；手；2.2.否定一件事情只要举一个反例即可，但某一个否定一件事情只要举一个反例即可，但某一个命题成立则不然，需要进行严格的证明命题成立则不然，需要进行严格的证明. .【变式训练【变式训练】(2011(2011汕头模拟汕头模拟) )如图展示了一个由区间如图展示了一个由区间(0(0，1)1)到实数集到实数集R R的

45、映射过程：区间的映射过程：区间(0(0，1)1)中的实数中的实数m m对应数轴上的点对应数轴上的点M M，如图，如图1 1；将线段；将线段ABAB围成一个圆，使两端点围成一个圆，使两端点A A、B B恰好重合，如恰好重合，如图图2 2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y y轴上，轴上，点点A A的坐标为的坐标为(0(0，1)1)，如图，如图3 3中直线中直线AMAM与与x x轴交于点轴交于点N(nN(n，0)0)，则，则m m对应的数就是对应的数就是n n，记作，记作f(mf(m)=n.)=n.下列说法中正确的序号是下列说法中正确的序号是_

46、.(_.(填出所有正确说法的序号填出所有正确说法的序号) )f( )=-1f( )=-1；f(xf(x) )是奇函数；是奇函数；f(xf(x) )是定义域上的单调函数；是定义域上的单调函数；f(xf(x) )的图象关于点的图象关于点( ( ，0)0)对称对称. .【解析【解析】设圆设圆C C的半径为的半径为r r，依题意得，依题意得2r=12r=1，所以，所以r= r= ，由三角形相似知：由三角形相似知： 所以所以f( )=-1f( )=-1，正确；正确；12112211f( )4，141214因为函数因为函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0(0，1)1)，不关于原点对称，所以，不关

47、于原点对称，所以f(xf(x) )不是奇函数，即不是奇函数，即错误；又因为随着错误；又因为随着x x的增大，函数值也随之的增大，函数值也随之变大，即函数变大，即函数f(xf(x) )为增函数，为增函数，正确；显然，函数正确；显然，函数f(xf(x) )的图象的图象关于点关于点( ( ，0)0)对称，即对称，即正确正确. .答案：答案：121.(20101.(2010湖北高考湖北高考) )函数函数 的定义域为的定义域为( )( )(A)( (A)( ，1) (B)( 1) (B)( ，+)+)(C)(1(C)(1，+) (D)( +) (D)( ，1)(11)(1，+)+)【解析【解析】选选A.

48、A.使函数有意义，则有使函数有意义，则有loglog0.50.5(4x-3)(4x-3)0 0，004x-34x-31 1， x x1.1.0.51ylog(4x3)343434342.(20102.(2010湖北高考湖北高考) )已知函数已知函数 则则f(ff(f( )=( )( )=( )(A)4 (B) (C)-4 (D) (A)4 (B) (C)-4 (D) 【解析【解析】选选B.B.由题意由题意f( )=logf( )=log3 3 =-2 =-2，故故f(ff(f( )=f(-2)=2( )=f(-2)=2-2-2= .= . 3xlog x,x 0f x2 ,x0，1914141

49、91919143.(20103.(2010天津高考天津高考) )设函数设函数g(xg(x)=x)=x2 2-2(xR) -2(xR) ， 则则f(xf(x) )的值域是的值域是( )( )(A) ,0(1,+) (B)(A) ,0(1,+) (B)0,+)0,+)(C) ,+) (D) ,0(2,+)(C) ,+) (D) ,0(2,+)【解题提示【解题提示】先确定每一段上变量先确定每一段上变量x x的取值范围，然后在每一的取值范围，然后在每一段上求值域，函数段上求值域，函数f(xf(x) )的值域为这两段上函数值域的并集的值域为这两段上函数值域的并集. . g xx4,x g(x)f xg

50、xx,xg(x)8.(20118.(2011梅州模拟）定义在梅州模拟）定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x)=)=则则f(2 011)f(2 011)的值为的值为_._.2log1x , x0f x1f x2 , x0，【解析【解析】当当x x0 0时，因为时，因为f(xf(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-1)-f(x-2)，f(x+1)=f(x)-f(x-1)f(x+1)=f(x)-f(x-1)，f(x+1)=-f(x-2)f(x+1)=-f(x-2)，即，即f(x+3)=-f(xf(x+3)=-f(x) )f(x+6)=f(xf(x+6)=f(x),)