三角形中考链接

1、三角形链接 专题讲解1、 考点、热点回顾2、 典型例题如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答图1思路点拨1第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题2第（3

2、）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，3)，得所以抛物线的函数表达式为（2）由，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得 解得，所以直线BC的函数表达式为（3）因为AB4，所以因为P、Q关于直线x1对称，所以点P的横坐标为于是得到点P的坐标为，点F的坐标为所以，进而得到，点E的坐标为直线BC:与抛物线的对称轴x1的交点D的坐标为（1，2）过点D作DHy轴

3、，垂足为H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，图2 图3 图4例2 设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，若l1l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线（1）已知直线；和点C(0，2)，则直线_和_是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图1答案（1）直线和是点C的直角线（2）当APB90°时，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如图2，当OP6时，

4、l1：， l2：y2x6如图3，当OP1时，l1：y3x1， l2：图2 图3例3、如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P(1)求证：MNNP为定值；(2)若BNP与MNA相似，求CM的长；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的长图1满分解答(1)如图2，图3，作NQx轴，垂足为Q设点M、N的运动时间为t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在图2中，QO63t，MQ105t，所以MNNP

5、MQQO53在图3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因为BNP与MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似如图4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此时CM 图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，即所以当N在AB上时，在BNP中，B是确定的，()如图5，当BPBN时，解方程，得此时CM()如图6，当NBNP时，解方程，得此时CM()当PBPN时，解方程，得t的值为负数，因此不存在PBPN的情况如图7，当点N在线段AB的延长线上时，B是钝角，只存在BPBN的可能，此

6、时解方程，得此时CM 图5 图6 图7如图1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值双击按钮“m8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的

7、四等分点拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x” 的点到射线yx上，从图形中可以看到，此时DCEEBF思路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF为等腰三角形，那么得到xy；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值满分解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图

8、2，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图3）；将xy 6代入，得m2（如图4） 图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到，那么不论m为何值，当x4时，y都取得最大值对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值第（2）题m8是第（1）题一般性结论的一个特殊性再如，不论m为小于8的任何值，DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程总有一个根的第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性

9、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PAM与OAC相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物

10、线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最大思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点

11、P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么由于，所以例6 如图1，

12、ABC中，AB5，AC3，cosAD为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE/BC交射线CA于点E.(1) 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由 图1 备用图 备用图动感体验 请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到

13、，DEF为等腰三角形思路点拨1先解读背景图，ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意4第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题满分解答 （1）如图2，作BHAC，垂足为点H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5 因为DE/BC，所以，即于是得到，（）（2）如图3，图4，因为

14、DE/BC，所以，即，因此，圆心距 图2 图3 图4在M中，在N中，当两圆外切时，解得或者如图5，符合题意的解为，此时当两圆内切时，当x6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上， 图5 图6 图7（3）因为ABC是等腰三角形，因此当ABC与DEF相似时，DEF也是等腰三角形如图8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时 图8 图9 图10 图11考点伸展第

15、（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形例 7 如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点（OB<OC），连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO，求抛物线F对应的二次函数的解析式图1动感体验 请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OAOB与OAOB保持32双击按钮“t3”，“t06”，

16、“t06”，“t3”，抛物线正好经过点B（或B）思路点拨1数形结合思想，把转化为 2如果AQBC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到tb3分类讨论tanABO，按照A、B、C的位置关系分为四种情况A在y轴正半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况满分解答（1）因为平移的图象得到的抛物线的顶点为（t，b），所以抛物线对应的解析式为因为抛物线与x轴有两个交点，因此令，得，所以)( )| 即所以当时，存在抛物线使得（2）因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为解得当时，由，得如图2，当时，由，解得此时二次函数的解析式为如图3，当

17、时，由，解得此时二次函数的解析式为 图2 图3如图4，如图5，当时，由，将代,可得，此时二次函数的解析式为或 图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为由，得把代入，得（如图2，图5）把代入，得（如图3，图4）三、课后练习（2011临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（

18、3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。分析：（1）由GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得RtFEDRtGEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得RtFEIRtGEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EMAB，ENAD，则可证得CENCAD，CE

19、MCAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得GMEFNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：（1）证明：GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，DEF=GEB，又ED=BE，RtFEDRtGEB，EF=EG；（2）成立证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，HEI=90°，GEH+HEF=90°，IEF+HEF=90°，IEF=GEH，RtFEIRtGEH，EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则MEN=90°，EMAB，ENADCENCA

20、D，CEMCAB，即=，IEF+FEM=GEM+FEM=90°，GEM=FEN，GME=FNE=90°，GMEFNE，点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想的应用（2011泰安）已知：在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：AOECOF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形考点：相似三角形的判定；菱形的判定。专题：证明题；数形结合。分析：

21、（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得AOECOF；（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形解答：（1）证明：点E是BC的中点，BC=2AD，EC=BE=BC=AD，又ADDC，四边形AECD为平行四边形，AEDC，AEO=CFO，EAO=FCO，AOECOF；（2）证明：连接DE，DE平行且等于BE，四边形ABED是平行四边形，又ABE=90°，ABED是矩形，GE=GA=GB=GD=BD=AE，E、F分

22、别是BC、CD的中点，EF、GE是CBD的两条中线，EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，EF=GD=GE=DF，四边形EFDG是菱形点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值(2)在(1)的条件下，求BCE 的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角与BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出SBCE； （