全等三角形题型总结

1、 全等三角形的判定题型 类型一、全等三角形的判定 边边边 例题、已知：如图，AD = BC, AC = BD.试证明：/CAD = / DBC. （答案）证明：连接 DC， 在ACD 与BDC 中 AD 二 BC AC = BD A - 甘 CD = DC （公共边） - CD 也 zBDC （SSS） QAD = ZDBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形的判定 2 “边角边” 例题、已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分/BAD , CE _LAB 于 E，并且 1 AE = （AB + AD），求证：/B +/D = 180 （答案）证明：在线段 AE 上，截取 EF

2、 = EB，连接 FC, CE 1AB，/EB = /CEF = 90 EB 二 EF 在CBE 和CFE 中，f /CEB CEF EC =EC BE 和CFE ( SAS )启= /CFE AE =丄(AB + AD)，/2AE = AB + ADAD= 2AE AB 2 AE = AF + EF， AD = 2 (AF + EF) AB = 2AF + 2EF AB = AF + AF + EF + EB AB = AF + AB AB， 即 AD = AF AF =AD 在AFC 和ADC 中* NFAC =ZDAC(角平分线定义) AC = AC FC 也 zADC ( SAS) A

3、jAFC = ZD AFC + /CFE = 180 , B=/CFE. AFC + ZB = 180 , B +ZD= 180 类型三、全等三角形的判定 3 “角边角” 例题、已知：如图，在 MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ = NQ . 求证：HN = PM. 证明：TMQ 和 NR 是MPN 的高，/-MIQN = BMRN = 90 , 又+B3 +B4 = 90 ，3=厶 .12 I 在MPQ 和NHQ 中， MQ 二 NQ pMQP =NNQH PQ 也 zNHQ (ASA) PM = HN 类型四、全等三角形的判定 4 “角角边” 例题、已知 Rt ABC

4、中，AC = BC, = 90 ,D 为 AB 边的中点，BEDF = 90 ，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F.当BEDF 绕 D 点旋转到 DE 山 C 于 E 时（如图 1 ）， 一 1 一 易证SA DEF SA CEF - 2 SAABC ； 当BEDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明 解：图 2 成立；证明图 2 :过点D作DM _AC, DN BC 下列说法中，正确的画“v；错误的画“斉”并举出反例画出图形. （1） 一条直角边和斜边上的高对应相

5、等的两个直角三角形全等. （ ） （2） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （3） 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （答案）（1 ）V; （2 ）X；在 zABC 和 SBC 中，AB = DB , AE 和 DF 是其中一边上的 高，AE = DF （3）X 在AABC 和AABD 中，AB = AB，AD = AC，AH 为第三边上的高，如下图: 1、已知：如图，DE JAC, BF !AC, AD = BC，DE = BF.求证：AB DC. （答案与解析）证明：IDE JAC，BF JAC， 贝U . DME DNF MDN =90 .A

6、MD二.DNB=90 在 AAMD 和DNB 中，.A = . B J AD = BD MD zDNB (AAS ) /-DM = DN MDE + ZEDN = /NDF + ZEDN = 90 ,/MDE = ZNDF .EMD =/FDN 在DME 与 8NF 中，DM 二 DN .MDE =/NDF =90 .JDME =ZDNF ( ASA )DME - SADNF 四边形 DMCN _S0边形 DECF _SADEF SACEF 1 1 可知 S四边形 DMCN =：S ABC , SA DEF SA CEF SA ABC 2 2 类型五、直角三角形全等的判定 “HL ” 在 Rt

7、DE 与 RtCBF 中!八。八。BC，/RtKDE RtCBF (HL) AE = CF, DE = BF DE= BF. AE + EF = CF + EF，即卩 AF = CE DE =BF 在 RtMDE 与 Rt KBF 中， DEC 二 BFA EC =FA RtMDE 李 tKBF （ SAS ）./QCE = ZBAFAB DC. （点评）从已知条件只能先证出 RtADE 李 t:BF，从结论又需证 CDE 级 t ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题 2、如图，AABC 中，ZACB = 90 ,AC = BC，AE 是 BC 边上的中线, 过 C 作 CF 1AE

8、，垂足为 F，过 B 作 BD JBC 交 CF 的延长线于 D. (1) 求证：AE = CD ; (2) 若 AC = 12cm，求 BD 的长. (答案与解析)(1)证明：TDB JBC，CF JAE，/zDCB + ZD = ZDCB + ZAEC = 90 又VDDBC = ZECA = 90 ，且 BC = CA BC 也CA (AAS ). (2)解：由(1 )得 AE = CD，AC = BC，/CDB 也 zAEC (HL) 1 1 丄 BC =丄 AC，且 AC = 12 . 2 2 BD = 6 cm . （点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为

9、主，判定两个 三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形， 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件，再去证什么条件 三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三 目. 边的距离相等.0 又 TPM JOA，PNJOB OP 平分 ZAOB 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心所以到三角形三边所在直 线距离相等的点共有 4 个.如图所示：ABC 的内心为 R，旁心为 P2,P3, Pl，这四个点到 ABC 三边所在直线距离相等. 角的平分线的性质及判定 1、如图，AD 是

10、ZBAC 的平分线，DE 山 B，交 AB 的延长线于点 E, DF1AC 于点 F,且 DB =DC.求证：BE = CF. (答案)证明：IDE 1AE , DF 1AC, AD 是 ZBAC 的平分线，DE = DF ,ZBED = ZDFC = 90 在 Rt DE 与 Rt CDF 中，DB=DC .RDE Rt CDF ( HL)BE = CF DE=DF 2、如图，AC=DB，AC 与PBD 的面积相等.求证：OP 平分ZAOB . 1 SAPAC ACLPM ， 2 PBD -BDLPN，且 SAPAC 2 -SA PBD A :.ACLPM = 0 又 TPM JOA，PNJ

11、OB OP 平分 ZAOB （答案与解析） 证明：作 PM JOA 于 M ， PN JOB 于 N 又 VAC = BD /PM = PN （点评）观察已知条件中提到的三角形厶 PAC 与BD，显然与全等无关，而面积相等、底边 相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得 跟三 角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果 3、如图，DC/AB，/BAD 和ZADC 的平分线相交于 E,过 E 的直线 分别交 DC、AB 于 C、B 两点.求证：AD =AB + DC. （答案） 证明：在线段 AD 上取 AF = AB，连接 EF， AE 是/BAD 的角平

12、分线，二/1 = AF = AB AE = AE，A/ABE 也ZAFE，二启=ZAFE 由 CD AB 又可得ZC+ZB= 180 ，/A/E + /C = 180 又 t/FE + ZAFE = 180 ，AC=ZDFE， DE 是 ZADC 的平分线，二/3 =Z4, 又 IDE = DE DE 也ZDE ,DF = DC， AD = DF + AF，/AD = AB + DC . 类型一、全等三角形的性质和判定 如图，已知：AE 1AB，AD JAC，AB = AC，ZB = /C， 求证：BD = CE. (答案)证明：tAE JAB，AD JAC， /AB = /DAC = 90

13、/EAB + /DAE = ZDAC + /DAE ，即 /DAB = /EAC. DAB =/EAC 在 ZDAB 与 ZEAC 中， AB = AC AB 也ZAC (SAS ) .BD = CE. I y B C 类型二、巧引辅助线构造全等三角形 （1）.作公共边可构造全等三角形：A B 1、在4ABC 中，AB = AC.求证：/B = /C AB = AC （答案）证明：过点 A 作 AD JBC 在 Rt KBD 与 RtACD 中 一 AD = AD Rt 岔 BD 织 tACD （HL） / = /C. 倍长中线法: 1、已知：如图所示，CE、CB 分别是AABC 与ADC 的

14、中线，且/ACB = ZABC . 求证：CD = 2CE . （答案）证明： 延长 CE 至 F 使 EF = CE，连接 BF . EC 为中线， AE = BE . AE = BE, 在AEC 与BEF 中，XAEC=NBEF,. AEC zBEF （SAS ）. QE =EF, AC = BF,ZA=/FBE.（全等三角形对应边、角相等） 又 /ACB = ZABC,ZDBC = ZACB + ZA，ZFBC = ZABC + ZA. AC = AB，ZDBC = /FBC . AB = BF . 又 BC 为ADC 的中线， AB = BD .即 BF = BD . BF 二 BD,

15、 在ZCB 与DCB 中， FBC =/DBC, CB 也 zDCB （SAS ） . CF = CD .即 CD = 2CE . BC = BC, 2、若三角形的两边长分别为 5 和 7,则第三边的中线长 x 的取值范围是（ ） A.1 x v 6 B.5 v x v 7 C.2 x v 12 D.无法确定 (答案)A ;提示：倍长中线构造全等三角形，7-5 2x AC,求证：AB AC BD 证明：在 AB 上截取 AE = AC,连结 DE AD 是/ABC 的角平分线，：zBAD = /CAD AE =AC 在/AED 与/ACD 中BAD =/CAD AD =AD ED 也/DC (

16、SAS) /DE = DC 在/BED 中，BE BD DC 即 AB AE BD DCAB AC BD DC （4） 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 1、如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且ZDAE = ZFAE . 求证：AF = AD + CF . （答案与解析）2、如图所示，已知 ABC 中 AB AC, AD 是 ZBAC 的平分线，M 是 AD 上任意一点，求证: MB MC v AB AC （答案与解证明：TAB AC,则在 AB 上截取 AE = AC ,连接 ME .在MBE 中, MB ME v BE （三角形两边之

17、差小于第三边）. AC 二 AE（所作）, 在AMC 和AME 中，匕CAM =NEAM （角平分线的定义）， AM = AM （公共边）, kMC 也 ZAME (SAS ).二 MC = ME (全等三角形的对应边相等) 又 BE = AB AE，二 BE = AB AC ,二 MB MC v AB （点评）因为 AB AC ,所以可在 AB 上截取线段 AE = AC,这时 BE = AB AC ,如果连接 EM , 在BME 中，显然有 MB ME v BE .这表明只要证明 ME = MC,则结论成立.充 分利用角平分线的对称性，截长补短是关键 证明：作 ME 1AF 于 M，连接

18、EF . v 四边形 ABCD 为正方形，二 zC = /D = ZEMA = 90 . 又 ZDAE = /FAE，二 AE 为/FAD 的平分线，二 ME = DE . 亠 人 一人 亠 AE=AE（公用边）， 在 Rt KME 与 Rt KDE 中， DE = ME（已证）， RtKME 李 tADE（HL） . A AD = AM（全等三角形对应边相等）. 又 v E 为 CD 中点，A DE = EC . A ME = EC . 亠- 亠 ME=CE（已证）， 在 RtEMF 与 RtECF 中， 公田、 I EF = EF （公用边）， A Rt EMF 李 t ECF（HL） .

19、A MF = FC（全等三角形对应边相等）. 由图可知：AF = AM + MF，A AF = AD + FC（等量代换）. （点评）与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平 分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形 ABCD 为正方形， 则/D 二 90。 .而 ZDAE = /FAE说明 AE 为 ZFAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离， 而 E 到 AD的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可，由角平分线性质可知 ME =DE .AE = AE .RtKME 与 RtADE 全等有 AD = AM .而题中要证 AF =

20、AD + CF.根 据图知 AF = AM + MF .故只需证 MF = FC 即可.从而把证 AF = AD + CF 转化为证 两条线段相等的问题. 2、如图所示，在 ABC 中，AC=BC，ZACB=90 ,D 是 AC 上一点， 1 且 AE 垂直 BD 的延长线于 E， AE BD，求证：BD 是ZABC 的平分线. 2 （答案与解析） 证明：延长 AE 和 BC,交于点 F， AC JBC，BE JAE，zADE= ZBDC （对顶角相等），A EAD+ ZADE= zCBD+ ZBDC .即 ZEAD= ZCBD . 厶d &CD二9（己知）, AC = ZEAC =

21、ZCBD（已证）， 所以 RtACF 李 tBCD （ASA）. 则 AF=BD （全等三角形对应边相等） -AE BD，/AE AF 即 AE=EF . AE = EF（己证）， Rt BEA 和 RtBEF 中，空厶 4 础二FEB 二 9（己知）, BS=BS（公共边）， 则 Rt BEA RtBEF （SAS）. 所以 ZABE= ZFBE （全等三角形对应角相等），即 BD 是 ZABC 的平分线. （点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的 条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 类型三、全等三角形动态型问题 解决动态几何问题时要善于抓住以下几点： （1） 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用； （2） 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键； （3） 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化 1、已知：在ABC 中，ZBAC = 90 ,AB = AC ,点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 在 Rt KCF 和 RtBCD 在 Rt BEA 和 RtBEF 为一边且在 AD 的右