八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

1、八年级上册数学全等三角形证 明辅助线分析2初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及 其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定 全等。c思路：从结论ACF = XBDE入手，全等条件只有AC = HD；由虫訴两边同时减去EF得 到，又得到一个全等条件。还缺少一个全 等条件，可以是CF = DE9也可以是Z/ = Z5 o由条件 川匚丄CE 9 BOLDF可得XACE = ZBDF =, 再加上AE=BF f AC二ED ,可以证明ACEBDF f从而得到乙4 = ZBo/. ZACE = LBDF= 90例.如图，&FEB四点共线,丄CE、BD DFjAE

2、 = i3F fAC=BDo求证:证明 /丄BD丄RZCERfBDFAE = SFAC = BDRtMCE = RtDF(HL)二AA = ZB / AE = BF:.AE-EF = BF -EF 9AFBEAC = BD即AF = BEACFBDE4/. Az1 CF = ASDE(SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的 思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要 什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什 么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之 间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思 路O才:结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角 形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一

3、 个题目，得出解题思路。例I如图，在中，眈是ZABC的平分线,思路：直接证明亠斗“比较困难，我们可 以间接证明,即找到加，证明亠厶且Z.ZUZCO也可以看成将转移”到那么山在哪里呢？角的对称性提示我们将 初延长交昶于F,则构造了FBD，可以通过证 明三角形全等来证明Z2=ZDFB,可以由三角形 外角定理得ZDFB=Z1+ZCO证明：延长初交必于尸垂足#0丄SE fZ2 =ZIH-ZCo5I?ABD =/FBD一BD =BD| ADBFDB =90：又 一.DFB =. 1 . C思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用 翻折来构造或发现全等三角形。例3.如图，在MBC中，AB =BC，NAB

4、C =90。F为AB延 长线上一点，点E在BC上，BE = BF，连接AE,EF和CF。 求证 :AE二CF。思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段 相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为 边的ABE绕点B顺时针旋转90；到CBF的位置，而线 段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即 可。证明：一.ABC =90，F为AB延长线上一点ZABC ZCBF =90：在ABE与CBF中AB二BC 2/ABC二CBFIBE二BFABE= CBF(SAS)AE =CF。ABD三.：FBD(ASA.2 V C。.2=/DFB6思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等 三角形，而且有利于找对应边

5、和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是 重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角 形。这时我们就可以根据需要利用平移、 翻折和 旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构 造全等三角形。例4.如图，ABCD，ADBC，求证：AB二CD。思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四 边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形 的问题。证明：连接ACABI/CD，ADI/BC.仁.2，. 3=4在ABC与CDA中*/2一AC二CA14 = 3ABC三CDA(ASA)AB =CDo思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形 的常用方法。例5.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和.NCA的平7

6、思路：要证明“BP为MBN的平分线”,可以利用 点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是ICA要作出点P到两外角两边的距离。证明：过P作PD_BM于D，PE_AC于E，PF _ BN于F一AP平分 .MAC，PD _ BM于D，PE _ AC于E PD =PE-CP平分NCA，PE _ AC于E，PF _ BN于F.PE =PF一PD =PE，PE =PFPD =PF曽PD =PF，且PD丄BM于D，PF丄BN于FBP为MBN的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要 证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点 向角

7、的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定 来解答问题。例6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CD二AB，AD BAD，AE是ABD的中线。求证：AC=2AE。的平分线8思路：要证明“AC=2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F, 使EF二AE。证明：延长AE至点F，使EF=AE，连接DF在ABE与FDE中AE二FE:2ZAEB二.FEDBE二DEABE三FDE(SAS)ZB ZEDFv NADF =NADB +NEDF，NADC =NBAD +NB又 一ADB二BADADF = ADC一AB二DF，AB二CDDF =DC在.ADF与ADC中AD =ADv

8、 PBPC。法二：延长AC至M，使AM =AB, 连接PM在AB上截取AN = AC，连接PN例7.如图，在MBC中，ABAAC,Z 1=Z2,P为AD上 任意一点。求证 :ABAC：PBPC。PB PN：10在 .ABP与AMP中JAB二AM.M =/2AP二AP.ABP三AMP（SAS）.PB二PM一在iPCM中，CM PM PCAB-AC PB -PC。思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时， 一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长 的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设 法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线 段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长， 使其等于另外的较短线段

9、，然后证明这两条线段 之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么 要这样作，这样作有什么用处。同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B.锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是（）A.AB =3，BC=4，CA=8B.AB=4，BC =3，A=30；11C. C =60；，3.如图，已知AB = AE:BC = ED；使:ABC二AEDA. 4个1个 B = 45；,AB =4D.O=N2,AC = AD

10、,.C - D；.B E。 的条件有( (.C =90；AB = 6增加下列条件：其中能B. 3个)C. 2个D.C =/D4.如图，仁2， 正确的是( () )A.DAE CBEC.DEA不全等于CBE腰三角形AC,BD交于E点，B.CE二DED.AB = CD BC = AD下列不EAB是等5.如图，已知()A.67无法确定B.46、填空题:B=23,C.23则D等于D.12136.如图，在ABC中，C=90；,ABC的平分线BD交7.如图，已知AB = DC,AD = BC,E,F是BD上的两 点， 且BE二DF， 若.AEB =100；，. ADB =30；， 贝BCF =8.将一张正

11、方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则NCBD的大小为 _；9如图，在等腰Rt ABC中，c =90；,AC二BC,AD平 分BAC交BC于D,DE_AB于E，若AB =10，贝BDE的 周长等于_；AC于点D,离等于且CD:AD=23,ACJOcm,则点D到AB的距cmC1410.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB/CD,AE/CF,且AE二CF,若BD =10,BF = 2,贝15二、解答题：11.如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM二CN,AM与BN交于Q点。求AQN的 度数。12.如图，NACB =90，AC = BC，D为AB上一点，AE_CD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BF = CE。16同步练习的答案一、 选择题：I. A 2. C3. B5. C二、 填空题：6. 47.708.9010. 6三、 解答题：II.解：ABC为等边三角形 AB =BC， ABC C =60；在：ABM与BCN中AB =BCITABCCBM =CNA