学习勾股定理六劝

1、学习勾股定理“六劝”勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，然而同学们在初学勾股定理时， 许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，本文奉劝六点注意”，供同学们学习时参考.一劝：要注意正确使用勾股定理例 1 在 Rt ABC 中，/ A=Rt Z, a=3, b= . 7，求 c.错解根据勾股定理，得a2 b2二c2，从而有c - a2 b2二327)2 = 4 .分析 上述解答错误的原因是应用勾股定理时，只注意表面形式，只有当ZC=Rt Z时,勾股定理的表达式为 a2 bc2，而当Z A=Rt Z时，勾股定理的表达式应为b2 ca2,正解:二劝：要注意定理存在的条件例2 在边长

2、为整数的 ABC中，AB>BC，如果 AC=4 , BC=4，求AB的长.错解 / AB>BC>AC，由勾股定理得： ABAC2 BC2，求得AB=5.分析 此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理.正解：从BC<AB<AC+BC知，4<AB<7 ,边长AB为整数，得AB为5或6.三劝：要注意防止漏解例 3 在 Rt ABC 中，a=5, b=12,求 c.错解 由勾股定理有c2 = a2 b2 =169，从而c=13.分析 上述解答错在题目中没有明确哪个角为直角，因而默认Z C为直角是片面的.事实上由b>a知Z B也可能为直角，

3、故本题解答遗漏了这一种情况.正解：本题分两种情况：(1 )Z C为直角，由勾股定理有 c2二a2 b2二169，从而 c=13. (2) Z B为直角，由勾股定理，此时c=-b2 - a2 =白22 -52 =119，因此正确答 案是5或<119 .四劝：要注意整体思想应用例4直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm,求直角三角形的面积.分析：设此直角三角形两直角边分别是x, y,若要直接求出x、y的值，要用二次方程求解较繁.但由x+y和x2+y2联想到运用整体思想(将xy视为一个整体)，问题便可顺利获解.解：设此直角三角形两直角边分别是x, y，根据题意得：；x+y+5 = 12(1)

4、：x2 +y2 =52由(1 得:x+y=7,/ 、 2 2 2(x+y)=49, x +2xy+y =49(3)(3)，得：xy=12直角三角形的面积是 !xy=! X12=6 （ cm2）2 2五劝：要注意创造条件应用例5等边三角形的边长为 分析：要求三角形的面积, 勾股定理创造条件.解：如图，等边 ABC,4,求它的面积.必须作出三角形的高，从而为应用作AD丄BC于D5 / 31则：BD=BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）2/ AB=AC=BC=4 （等边三角形各边都相等） BD=2在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2 BD2=42 22

5、=12 AD=2 3& abc= 1 BC D = 4 32注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a2.4六劝：要注意类比拓展应用例6 ABC中，BC = a , AC = b , AB=c，若/ C=90°如图1,根据勾股定理，则2 2 2 2 2 a b -c ,若厶ABC不是直角三角形，如图2和图3,请你类比勾股定理，试猜想a b与c2的关系，并证明你的结论.CBAffil分析：要类比勾股定理, 是作锐角或钝角三角形的高.就要把斜三角形化为直角三角形，即化斜为直，最常用的方法A解：若 ABC是锐角三角形，则有 a2+b2>c2若厶ABC是钝角三

6、角形，/ C为钝角，则有a2+b2<c2 当厶ABC是锐角三角形时，证明：过点 A作AD丄CB,垂足为D .设CD为x,则有DB=a x根据勾股定理得b2 x2= c2(ax) 2即b2 x2= c2 a2+ 2ax x 2 a2+ b2= c2 + 2ax / a>0, x>0 2ax>0. 2 2 2a +b >c当厶ABC是钝角三角形时，证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点 D .设 CD 为 x,则有 DB2=a2 x2根据勾股定理得（b+ x）2+ a2x 2 = c2即b2+ 2bx+ x2 + a2 x 2= c2 a?+ b?+ 2bx= c?/ b>0, x>0 2bx>0B a2+b2<c2评注：该题以学生熟悉的勾股定理为线索，让学生类比勾股定理，探索一般三角形中a,b,c三边的关系，充分体现了课标提出的 想，并进一步寻求证据、给出证明或