内切球与外接球的问题

1、内切球与外接球的问题3如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的体积为(C )（单位:cm）如图所示，则该几何体的内切球的半径为（B ）1已知几何体的三视图B.3【解答】解：三视图复原的几何体是正四棱锥斜高是2cm，底面边长是2cm，高为.;cm设内切球的.r 故选：B.半径为r,则利用三角函数可得1 .，'2已知某几何体的三视图如图所示【解答】解:，该几何体的体积为丁二-，求得S球=4兀£=4兀XA+n B；C.4 nD-【解答】：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中SA底面ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，SA=4 . SB=SD彳s止？+百E

2、2=5 , -S.'.sab=S sadX 3 X 4亍6S. sbc=S scd=I2S底面=3 =9. V棱锥X 3X 5=7.5.，则该几何体的内切球的表面积为A.C.3 nB.D.4 n由三视图可知所示,则几何体的表面积为该几何体是一个三棱锥，如图-L -_-_;设其内切球半径为 r，则迺，所以内切球的表面积为+7.5 X 2+9=3设内切球半径为r，则球心到棱锥各面的距离均为XS底X SA=12. S 表面积=6 X2 S表面积?r=V棱锥.4.（2018合肥市质检）已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面r.积为（）r=1 内切球的表面积为4冗牡4 n选:

3、C.3nA. B. 2C.2 n D.3 n解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边 AB上的高为2'2,因此 红2r解得r =宁，所以圆锥内切球的表面积为4n=2 n,1锥体与内切球的关系：V丄Sr（V为几何体的体积,3为内切球的半径）r31,故选C.S为多面体的表面积，r33 26 x h412 ，所以正3六棱柱的底面圆的半径R r2 d 21，所以 V球与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考查的难点、易失分 点命题角度多变归纳起来常见的命题角度有：（1）.四面体的外接球；（2）.柱体的外接球；（3）.圆锥的内切球与外接球； 四面体的内

4、切球.外接球问题的难点在于确定球心与半径，能否找到球心是解答此类 题型的关键.外接球问题常用方法归纳为：公式法、补形法、多面体几何 性质法、寻求轴截面.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点 的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.1.（2016高考全国卷 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）32A.12 n B.y n C.8 n D.4 n解析：先利用正方体外接球直径等于正方体体对角线长，求出球的半径，再用球的表面积公式求解设正方体棱长为a,则a3= 8,所以a= 2.所以正方体的体对角线

5、长为2 .'3，所以正方体外接球的半径为.'3，所以球的表面积为 4 n.'3）2= 12n故选A.2棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为 （）A. 4 nB. 12 nC. 24 n D. 48 n【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：2R 2 22. 3 $. 5 $，则：2 2R 3，该长方体的外接球的表面积为S 4 nR 4 n 3 12n .本题选择B选项.3. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2 3，顶点都在一个球面上，贝U该球 的表面积为（）A.12 n B.28 n C.44 n D.60 n【解析】设底面三角形的外接圆半径为r

6、，由正弦定理可得：2r 氾，则r 2，sin 602设外接球半径为 R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R2322 7，外接球的表面积S 4 tR2 28 n.本题选择B选项.4. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（C） A. 16n B.20n C. 24 n D. 32 n【解】V a2h 16, a 2,4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24, S 24 n,故选 C.5. 个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为-，底面周长为3，则这个球的体积为86x解：设正六棱柱的底面边长为 X，高

7、为h，则有98小结：规则立体图形的外接球球心与几何体的中心一致6. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为、3，则其外接球的表面积是 9解：补形成正方体.【解析】4R2 3 3 3 9，S 4tR2 9n.7. 若三棱锥P-ABC的最长的棱PA= 2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是.解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径144R= PA= 1，所以该三棱锥的外接球的体积V = 3 Xn災击n.补形法(补成长方体)图1图2图3小结：补形法即将立体图形补成规则几何体；(1).有三条棱两两垂直一一长方体;(2).有三条

8、棱两两垂直且相等一一正方体；(3).各棱长均相等的四面体一一正方体；(4).有一侧棱垂直于底面的锥体一一直棱柱；(5).对棱相等(四面体)一一长方体.9.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为()A.8 nPcbCABaO2图4B. 16 nC. 32 nD. 64 n槪圈解析：还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为2 2, 2_2, 4的长方体，则该长方体外接球的半径2+ 2.227正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，点S,A,B,C,D都在同一球面上,接球的表面积为4n2= 32 n.则此球的体积为-3解：球心0在SO|上,

9、SA=SC= 2 , AC=2 , SA2 SC2 AC2 ,ASC是以AC为斜边的直角三角形,AC 1为外接圆的半径，也是外接球的半径，8棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r1 6 12 sin60 223，则外接球的半径 R322、3 $9 1221，则外接球的表面积为2S 4 泯24 n 2184 n.2 + 42=22，则所求外10. 棱长均相等的四面体 ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为.解析：将棱长均相等的四面体 ABCD补成正方体，设正方体的棱长为 a,则正四面体ABCD的棱长为.2a，正方体的体对角线长为.'

10、3a，由,；3a = 2a=¥，则2a =庶答案：旗3 .答案：311. 如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为 弩，则该半球的体积为.解:设所给半球的半径为 R,则棱锥的高h= R,底面正方形中有 AB= BC = CD = DA =迄尺其体积为 = 学，33则R3= 2 ,：2，于是所求半球的体积为 V = 3泯3= 节n.3312.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB, AC, AD两两垂直，ABC,.ACD , /-ADB的面15.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球积分别为 乎，爭，¥，则该三棱锥外接球的表面积为 解

11、析：设相互垂直的三条侧棱AB , AC, AD分别为a, b, c,则芝匕二孑，bc=23, 2ac= 26解得a = 2, b= 1, c= ,；3所以三棱锥 A BCD的外接球的直径 2R= .''a2 + b2+ c2= 6，则其外接球的表面积 S= 4tR2= 6n.的表面积为（A 16 na._38 nB.83D.2 ,'3nC.4 .'3 n解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为 R,则（,：3 R）2 + 12= R2, R= 3,其表面积S= 4 tR2= 4 n23 2=号兀答案：A股定理可知，OM = 1，

12、所以 MN = 2，即棱柱的高 h= 2,13.已知四棱锥 S ABCD的所有顶点都在球 O的球面上，SD 平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB/ CD且满足AB2AD 2DC 2 , 且 DABn , SC2 ,3则球0的表面积是（)A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n【解析】依题意，得AB 2AD 2 ,DAB n，由余弦定理可得3BD .3 ，则AD2 DB2 AB2，贝U ADB n，又四边形ABCD是等腰梯形，故四边形 ABCD的216已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 n,则该三棱柱的体积为

13、 .解析：设球半径为 R,上，下底面中心设为 M , N,由题意，外接球心为 MN的中点，设为 O ,贝U OA = R,由4 nR2= 12 n得R= OA = V3，又易得 AM =2，由勾所以该三棱柱的体积为匚3外接圆直径为 AB，设AB的中点为，球的半径为 R , SD 平面ABCD , X('6)2X2= 3.；3.17.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为- R212SD 2A.200 nB.150 n14.（2017高考全国卷）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A. nB.3醐D.f1解析：球心到圆柱的底

14、面的距离为圆柱高的p球的半径为1,则圆柱底面圆的半径r=J2 = ¥，故该圆柱的体积 V= n（）2Xl=节 故选B.C.100 nD.50 n解析：由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3,所以其外接球半径R满足2R= ,：42+ 32+ 52= 5 0,所以该几何体的外接球的表面积为S= 4 uR2= 4 nx5 2 2 2= 50 n,故选D.18.已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 f,底面边长为.'3,则以O为球心，OA为半径的球的表面积为.解析：过0作底面ABCD的垂线段0E（图略），则E为正方形ABCD的中心.由

15、 题意可知 3X（3）2X）E=所以 0E = 故球的半径 R= 0A= ,'OE2+ EA2= 6,则球的表面积 S= 4 uR2= 24 n答案：24 n19.在底面是边长为2的正方形的四棱锥 P ABCD中，点P在底面的射影H为正方 形ABCD的中心，异面直线 PB与AD所成角的正切值为 2，若四棱锥P ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为 R，则-（）R=4冗晋）2=号冗故选A.21.（2012新课标I）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2，则此棱锥的体积为（）A.-3B.-D.-6632ABC 的J外接

16、圆的半径3r点0到面ABC的距离d . R2 r2633A.-B.C.-【解析】如图，E , F为AB ,CD的中点，由题意，P ABCD为正四棱锥，底边长为 2,v BC / AD,. PBC即为PB与AD所成角，可得斜高为 2, PEF为正三角 形，正四棱锥P ABCD的内切球半径，即为APEF的内切 圆半径，可得r 仝,设0为外接球球心，在RtA OHA中,3BCSC为球O的直径1V -Sabc 2d点S到面ABC的距离为2d1 2,6343r223 r2,解得R H R 5,故选 B.20若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB= SA= SB= SC= 2,则该三

17、棱锥的外接球的表面积为（）16 n 8 n 4 3 n 4 nA. 3 B. 3 C. 3 D. 3解析：在等腰直角三角形ABC中,AB是斜边且 AB= 2,取 AB 的中点 D，连接 CD , SD. .'CD = AD = BD = 1又 SA=此棱锥的体积为-Sabc 2R 排除 B,C,D3622.已知H是球O的直径AB上一点,AH /-HB = 1:2,AB 平面a, H为垂足，a截球O所得截面的面积为 n则球O的表面积为 .解析：如图，设截面小圆的半径为r,球的半径为 R,因为1AH:HB = 1:2，所以 OH = §R.由勾股定理，有 R2= r2 + OH2

18、,又 由题意得n2= n则r = 1,故R2= 1 + （3R）2，即R2 =；.由球的表 面积公式，得S= 4 uR2 = 9"23.已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 2的球O的球面上，且 AB= 3, BC = .'' 3，过 点D作DE垂直于平面 ABCD，交球O于E,则棱锥E ABCD的体积为 .SB= SC= 2, ASDAAB,且 SD= .'3，在 /-SCD 中，SD2 + CD2= SC2, aSDCD , /-SD.平面ABC. 三棱锥S-ABC的外接球球心在 SD上，记为0,设球半径为 R,连接0A,则 S0= 0A= R, 在 RtA

19、AOD 中，AD = 1, 0D = .3 R, A0= R,1+ ( ,;3 R)2= R2.R=片3,/三棱锥S-ABC的外接球的表面积 S= 4n2解析：如图所示，BE过球心O,DE = ;'42- 32-3 2= 2, Ve- ABCD = 3 X 3X3 X 2= 2£.答案：2 324.（2017高考全国卷）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球O的直径.若平面 SCA/.平面SCB, SA= AC, SB= BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为解析：设球 O的半径为R,.SC为球O的直径,点 O 为 SC 的中点，连接 AO,

20、OB, z.SA= AC, SB= BC,AO SC, BO.SC, 平面 SCA.平面 SCB，平面 SCAA平面SCB= SC, /-AO 平面 SCB, /-Vs abc = Va sbc= 1SasbcaO= 3 XXSCX)B)於O,1 1即 9 = 3X(X2RXR)択，解得 R= 3, 球 O 的表面积为 S= 4 衣=4 nX23= 36n.2 5.已知三棱锥P ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC满足BA BC .6, ABC 上,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为（）21632A. 8 n B. 16 n C. n D. n33【解析】因为 ABC是等

21、腰直角三角形，所以外接球的半径是外接球的半径是 R，球心O到该底面的距离d，如图,戸,1则 SABC6 3 ,2BD . 3，由题设VABch 1 6h 3 ,36最大体积对应的高为 SD h 3，故R2 d2 3，即2 2R23 R3，解之得R 2 ,所以外接球的体积是 4 n3 色，故答案为d .3326把边长为平面ABCA. 32 nC.18n3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ADC，则三棱锥D ABC的外接球的表面积为（）B. 27 nD. 9 n【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC则三棱锥D ABC的外接球直径为AC 3 "2 ,外接

22、球的表面积为4 tiR227.三棱锥A BCD的所有顶点都在球 O的表面上，AB 平面BCD, BCAB 2CD 4 3，则球O的表面积为（）A. 16 n B. 32 n C. 60 n D. 64 n【解析】因为BC BD 2, CD 2 3，所以2 nCBD 一 ,因此三角形BCD外接圆半径为3平面ADC ,18 n,故选C.BDcos22 222価 2CBD -CD2,设外接球半径为R,2 sin CBD2则 R2=22+号 41216,S=4 定 64 n，故选D.28.已知球O的半径为R, A, B ,C三点在球O的球面上1尹，AB AC 2,BAC120,则球O的表面积为（C.-

23、64964n D. 一 n3【解析】由余弦定理得:BC . 4一厂2一2一2cos120，球心O到平面ABC的距离为2.3 ,设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：乞 2r，则r 2，又R2 1 R2 4，解得：R2 16 , sin 12043则球的表面积S 4点 64 n 本题选择D选项.329.如图ABCD A1B1C1D1是边长为1的正方体，S ABCD是高为1的正四棱锥，若点S , A , B1 , C1 , D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.1 n1625 厂 4981B. n C. n D. n16 16 16【解析】如图所示，连结 ACi , B1D1，交点为M，连结SM ,易知球心O在直线SM上，设球的半径R OSx，在 Rt OMB1 中由勾股定理有:2 2OM B1MB1O2，即:x2，解得:9-，则该球的表面积82S 4tR281 n.本题选择D选项.1630.已知正四棱锥ABCD（底面四边形 ABCD是正