2019届高考数学(理)一轮复习讲练测：专题7.4基本不等式及应用(讲)(原卷版)

1、20口年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第七章不等式| 第04节基本否等式及淇应用【课前小测摸底细】1.【课本典型习题，必修五P113练习第2题】已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时？两条直角边的和最小，最小值为多少？ax + y = 12.（2019上海理10）设a 0,b 0，若关于x, y的方程组无解，则a b的取x + by = 1值范围是.【名校学术联盟.2019学年度高考押题卷一】若一组数据2,4,6,8的中位数、方差分别为m,n，且ma nb =1 a 0,b 0，则11的最小值为（a b【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它

2、的应用范围几乎涉 及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及 最值等几方面的应用.【经典例题精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a、b、c都是正数，求证：（a - b）（b c）（c a） _8abc（1 Y 1）【1-2】已知a0,b0,a+b=1,求证：.1十一1十一 工9I a人b丿3.4.A.A.6 2 3【基础经典试题】 已知.4 3 5C.9 4 5D.20 13x 0, y 0,且1x y,则x 2y的最小值为（D.145.【改编自2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】设实数X：0, y . 0, z： ：0满足

3、x23xy +4y2+z = 0,则当 翌取得最小值时,z-的最小值为（）y zA.0B. -1C.94D.3综合点评：1.在运用a_ ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行2变形2.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变 形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【课本回眸】如果a,bR，那么a2，b2_2ab（当且仅当a = b时取等号“=）如果a 0,b 0,则a b_2 ab,（当且仅当a=b时取等号“=）.【方法规律技巧】利用基本不等式证明不等式是综

4、合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本 不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项, 并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1的代换法等.【新题变式探究】4【变式一】求证：- a - 7（a3）a_3考点2利用基本不等式求最值【2-1】【2019江西模拟】下列函数中，最小值是2的是（）x22厂x21（）A. 1B.3 C.4D.5亠 1 2【2-3】【2019咼考四川，理9】如果函数f x m-2x亠n - 8x亠1m_0 ,n_0在2区间1,2上单调递减，则mn的最大值为（）IL2A.yC.yx24ylogsX Iogx3 (x 0,x = 1)

5、【2-2】【2019云南玉溪模拟】若正数x, y满足3x y二5xy，则4x 3y取最小值时y的值为综合点评：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等1一正：函数的解析式中，各项均为正数；2二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；3三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值【课本回眸】常见结论： 如果a,bR，那么a2b2_2ab（当且仅当a=b时取等号“=推论：2 2.a bab(a,b R)1、如果anO,b=0,则a+bK2jOb，（当且仅当a=b时取等号“=”.【方法

6、规律技巧】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能， 因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式 中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进 行转化，然后通过解不等式进行求解.注意：形如y=x+-（a0）的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利X用该函数的单调性求解.【新题变式探究】【变式一】【2019广西南宁模拟】已知x 0,y 0, x厂xy = 2，则xy的最小值是（）B1C4(A)16(B)18(C)25(D)812推论:ab(a b)2(a 0，b 0)；2a2

7、b223、2 a bab -112a b2 2a b- (a 0,b0)23D.32【变式二】【2019湖北七市模拟】 已知a . 0,b . 0且2a1,若不等式21_ m恒成立,a b则m的最大值等于（）A. 10 B.9 C.8 D.7考点3基本不等式的实际应用【3-1】【2019高考福建卷第13题】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_ （单位：元）.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿地，已知AB _ AC,AB=4，绿地面积最大

8、值为（）AFaB HG CA.6B.4 2C.4D.2 2【3-3】（2015大理模拟）某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60 m,AB=40 m，且EFG中，/EGF=90,经测量得到AE=10 m,EF=20 m，为保证安全同 时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）.（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积.综合

9、点评：对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数 学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题.【课本回眸】利用基本不等式求解实际应用题的方法（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目 往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【方法规律技巧】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定

10、为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【新题变式探究】【变式一】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万k元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：Cx二k(Ozx乞10,k为常数)，若不3x +5建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f x为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f x的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f x达到最小？并求出最小值.【变式二】【2019届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设函数24f (x)=a十珅x -4x和g(x) = x +1，已知x4,0时恒有f (x)兰g(x)，则实数a3的取值范围为_ 三、学科素养提升之易错试题篇1 1易错典例：已知两正数x,y满足x+y=1,贝yz=(x+；)(y+ )的最小值为 _ .1错解错解一：因为对a0，恒有a+ 2,a1 1从而z=(x+x)(y+y)4,所以z的最小值是4.2 22+x y2xy错解二：z=(Xy+xy)22- Jyxy_2=2( 2-1),所以z的最小值是2(