圆形镜共焦腔及高斯光束

1、 激光大作业 一圆形镜共焦腔1. 圆形镜共焦腔镜面波场分布振幅分布：相位分布：其中，为镜面上的基模光斑半径，= 称为缔合拉盖尔多项式, 基模与若干高阶模的振幅分布如下： 下面是基模的振幅分布与相位分布和若干高阶模的振幅分布图： （用matlab编程） 基模的振幅分布 程序一： >> h = polar(0 2*pi, 0 2); >> delete(h); >> hold on>> contour(xx, yy, zz, 50); >> surf(xx, yy, zz); >> hold off>> view(

2、-19, 22); >>t=linspace(0,2*pi,100); >> r=0:0.05:2;>> tt,rr=meshgrid(t,r);>> xx,yy=pol2cart(tt,rr);>> c=30;>> w=2;>> zz=2*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);所画图形如下所示： 振幅分布在极坐标中的表示 程序二： >>t=linspace(0,2*pi,100); >>surf(xx, yy, zz);>>r=0:0.05:5;>>tt,r

3、r=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);>>c=2；>>w=2;>>zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2); 振幅分布在直角坐标中的表示 基模的相位分布：程序：> > t=linspace(0,2*pi,1000);>> rh=0:0.001:4;>>tt,rr=meshgrid(t,rh);>>x,y=pol2cart(tt,rr);>>r=4;>>z=real(sqrt(r2-(x.2+y.2)-r/2);>>

4、;mesh(x, y, z); % 曲面圖 相位分布在直角坐标中的表示 振幅分布程序：>>t=linspace(0,2*pi,100); >>r=0:0.1:5; >>tt,rr=meshgrid(t,r); >>xx,yy=pol2cart(tt,rr); >>c=2; >>w=2; >>zz=c*(1-2*(xx.2+yy.2)/w2).*exp(-(xx.2+yy.2)/w2); >>surf(xx,yy,zz); 振幅分振幅分布程序：>>t=linspace(0,2*pi,60)

5、;>>r=0:0.1:4;>>tt,rr=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);>>c=2;>>w=2;>>zz=c*sqrt(2)/w*exp(-(xx.2+yy.2)/w2).*xx;>>surf(xx, yy, zz);所画图形如下所示： 振幅分布2. 圆形镜共焦腔行波场分布行波场为 L：共焦腔腔长 f =L/2:镜的焦距 1 ：振幅衰减因子2 ：横向振幅分布因子3 ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布 kz：传播因子 ：位相弯曲因子 ：附加相移因子等相位面分布与腔的轴

6、线交于点的等相位面方程可以写成：忽略由于z的微小变化引起的附加相移因子，知处等相位面方程为 上式为抛物面方程，顶点在z=处，焦距的大小是 =z+为等相位面曲率半径 程序： clear clc ezplot('y-x-4/x',-16,16); xlabel('z值'); ylabel('R(z)值'); title('R(z)=z+f2/z'); R(z)随z的变化 共焦腔等相位面振幅分布因基模光斑半径故 为一双曲线 对于基模，基模共焦场在任一z坐标处的横截面内都是高斯分布。对于确定的z值，光场随r的变化如下程序：>>

7、t=linspace(0,2*pi,100); >> r=0:0.05:2;>> tt,rr=meshgrid(t,r);>> xx,yy=pol2cart(tt,rr);>> c=30;>> w=2;>> zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);>> h = polar(0 2*pi, 0 2); >> delete(h); >> hold on>> contour(xx, yy, zz, 50); >> surf(xx, yy, zz); >

8、> hold off>> view(-19, 22); 光场在腔中的基模传播模体积基模 高阶模基模远场发散角2 高斯光束的传播1.高斯光束在介质中的传播 由前面知，如果腔内无任何介质（除空气外），即无源腔，高斯光束将以弧形等相位面向两边传播，若以腔中心为z坐标原点，则等相位面的曲率半径为 =z+对于确定的z,光束在横截面内呈高斯分布，即如果腔中存在一定厚度的介质，那么，高斯光束将如何传播如图 设高斯光束在束腰（z=0）处，开始穿过厚度为L，折射率为n的介质，在z=0处，基模高斯光束满足 （1） 首先，讨论场函数为的光束自z=0处垂直入射到传输矩阵为T=的介质中，其场函数如何分

9、布。由于，且，则利用费涅耳衍射积分公式，易知 （2） 上图中，传输矩阵为T=，则由（1）式和（2）式，知其中，为波数， 如果考虑相弯曲因子和附加相移因子，其中由此可见，高斯光束传播的等相位面和无介质时相同，即介质不影响等相位面的传播。即介质不改变高斯光束的等相位面曲率半径和光斑半径。对于介质中光强 =而自由空间中 P（r,z）=取=1，m，n=1.2，。当L=1000mm，,5000mm,10000mm时光强分布曲线a=1; b=1; n=1.2; m=133/125000*0.001;L=1000;k=2*pi/m;A=a2*b4*k2*n2/(b4*k2*n2+4*L2);r=0:0.01

10、:8;t=0:0.01:2*pi;rr tt=meshgrid(r,t);x,y=pol2cart(rr,tt);z=A*exp(-2*A2/b2*(x.2+y.2);mesh(x,y,z)程序：L=1000mmL=10000mmL=5000mm而对于自由空间 a=1;b=1;c=3;r=0:0.01:8; t=0:0.01:2*pi;rr tt=meshgrid(r,t);x,y=pol2cart(rr,tt);z=a2*b2/c2*exp(-2*(x.2+y.2)/c2);mesh(x,y,z)程序： 由以上分析知，1) 介质中高斯光束的传播与自由空间高斯光束的传播的等相位面相同，曲率半径

11、相同，光斑半径相同。2) 介质中高斯光束的强度分布不同于自由空间的强度分布，介质中，横截面的强度主要以中心处分布，随着L的增大，强度分布宽度增加，强度减小，但强度分布宽度随L变化较慢。而自由空间中，随z值的增加，强度分布宽度增加，强度减小。变化速度比较快。3) 介质中高斯光束的强度分布随介质长度L的变化而变化，由强度表达式也可知高斯光束的强度分布也随折射率的变化而变化。虽然上述结论是以高斯光束在束腰处进入介质为前提的，但它们是普遍使用的。2.光束在环形谐振腔中的传播（以三个反射镜组成的谐振腔为例），如图LLL光束传播途径为M2M3M1M2图中M2为M2关于M3的对称反射镜，则从M2经M3到M1

12、的光线等效为从M2到M1的光线,相关参数如下所示，R1=R2=2L，图中所画光线组成等边三角形，边长为L，则M2与M1组成对称共焦腔，如图所示图二因此，M1与M3之间仍为高斯光束，只是趋近于M3处上半部分部分的消失，同理，M2与M3之间仍为高斯光束，且情形与M1与M3之间相同，切关于M3的法线对称。对于M1与M2之间的光束，由费涅耳衍射积分知，此时，角不再是趋于0，而是，故1+而是，故所得积分结果只是差一个倍，故仍为高斯分布。故分布图如下M1和M2镜之间，取两镜中心处为z原点，取基模高斯光束场振幅表达式为：，只是，则横截面内振幅分布曲线如图所示程序：>>c=2；>>w=

13、2;>>zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);>>surf(xx, yy, zz);>>t=linspace(0,pi,100); >>r=0:0.05:5;>>tt,rr=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);横截面内相位分布：程序：>>t=linspace(0,2*pi,1000);>> rh=0:0.001:4;>>tt,rr=meshgrid(t,rh);>>x,y=pol2cart(tt,rr);>>r

14、=4;>>z=real(sqrt(r2-(x.2+y.2)-r/2);>>mesh(x, y, z); % 曲面圖M1与M3之间，取M3与轴线交点为z原点，如图二，由分析知对轴线上半部分在<w(z)时，光斑半径取，在>w(z)时光斑半径取w(z)。而下半部分正常。所以在<w(z)的区域基模的振幅分布为程序：t1=linspace(0,pi,100); t2=linspace(pi,2*pi,100) r=0:0.05:2; tt,rr=meshgrid(t1,r); th,rh=meshgrid(t2,r); xx,yy=pol2cart(tt,rr); 上半部分 x,y=pol2cart(th,rh); c=30; w1=2; w2=4; zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w12); z=c*exp(-(x.2+y.2)/w22);surf(x, y, z); surf(xx, yy, zz); 下半部分在<w(z)的区域