牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

1、牛顿一莱布尼茨公式刖言此证明主要是献给那些无论如何， 竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密， 也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x

2、)在区间a,b上连续，我们在区间a,b上插入n-1个点分成n个区 间a,x i,x i,x2Xn,Xn-i，其中 xo=a， Xn=b，第 i 个小区间？ Xi = Xi-x i-1 (i=1,2 n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为？ S=f()? Xi ,为此定积分可以归结为一个和式的极限bnf(x)dxlimf( i) Xi即：ani 1性质b1:证明 c dx :=C(b-a)，其中C为常数abnf(x)dx lim f (i)Xilimc(xixoX2xi.Xnxn1)anni 1limc(xn xo) c(b a)n几何

3、上这就是矩形的面积性质2: F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C为常数.设 K(x)=F(x)-G(x)疋义域为KQ F (x)G(x)z(x)K(x)F (x)G(x)z(x)z(x) 0K(x)lim K(X X)K(x)0即对任意的x K,都存在一个以I x |为半径的区间,使得K(x+ x)=K(x)函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即：F(x)-G(x)=C设 k(x)=f(x)-g(x),a有 k(x) < 0.nQbk(x)dxalimk( i)n.,bi 1b即k(x)dxaf(x) g(x)dxabbf (x)d

4、xaa g(x)dxb性质 3:如果 f(x) <g(x)，贝Uf (x)dxba g(x)dxXi 0bf (x)dxag(x)dx相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间a,b上连续，当x a,b,取m为f(x)的最小值，M 为f(x)的最大值，对于任意的一个介于 mM的数C,至少存在一点& (a,b),有 f( & )=C证明：运用零点定理：设f(x)在a,b上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点& (a,b),有f( & )=0设 x1,x2 a,b,且 x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C, 其

5、中 m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即：g(x1)*g(x2)<0由零点定理得，至少存在一点& (x1,x2),有g( £ )=0= f( £ )-C => f( £ )=CPs:在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0 (在x轴上方)，一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查 查.积分中值定理：若函数f(x

6、)在区间a, b上连续，则在区间a, b 上至 少b存在一个点 & (a,b),有 a f (x)dx f ( )(b a)几何意义：曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等设f(x)在区间a, b的最大值为 M,最小值为 m即：me f(x) < Mbbmdx f (x)dxaabMdxabm(b a) f (x)dxabf(x)dx m Mb aM (b a)由介值定理：在区间a, b上至少存在一个点&(a,b)，有f()bf(x)dxab a积分上限函数(变上限的定积分)的定义b设函数f(x)在区间a,b上连续，则定积分f(X)dX的值由区间a,b与

7、abf(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为f (t)dtaxxf(t)dta而对于积分，当x a,b时，都会有一个由积分a所确定的值与之对应，因此积分(x)x-f(t)dt 是上限x的函数.记为：axa f(t)dtaF面证明(x) f(x)显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用 ©(X)的定义，用到导数的定 义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。 (因为有的人是在看，有 的人是在观察，这明显存在很大的差别)(X X) XQ (x) lim0alimX 0f(t)dt limx 0f(t)dtaXxxf(t)dt f (t)dtaXX Xf(t)dt lim0 x由积分中值定理，有:X Xf( ) x(其中是在X与X+ X之间)(X)lim严0Xf(t)dtf( ) x lim0 xlim()X 0这就是你想看到的,显然，当x->0 时，->x(x)lim0f()f(x)通往真相的最后一步证明：bf (x)dx F(b) F(a)a设F(x)为f(x)的原函数XQ (x)f (t)dt 也是f(x)的一个原函数a由性质2： f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有F(x)(x) CQF(b) (b)F(b)