第十七章真空中的静电场

1、第五篇第五篇 电磁学电磁学概述 电磁学：研究电磁场的基本性质及其与物质相互作用规律的学科 电磁学的发展电磁学电学：电场性质及其与物质的相互作用磁学：磁场性质及其与物质的相互作用相互作用电磁学是日常生活和科学技术领域中关于电应用的基础学科场电磁摩擦起电磁铁吸石静电静磁电磁感应麦克斯韦方程组电流无线电通信电工学电动力学量子电动力学超导电性2、稳恒磁场静磁场1、静电场3、交变的电磁场-电磁波2、稳恒磁场静磁场研究场的性质、规律及场与物质的相互作用研究场的性质、规律及场与物质的相互作用熟练掌握：熟练掌握：1、微元法、微元法2、矢量的点积、叉积及矢量积分、矢量的点积、叉积及矢量积分库伦库伦本章本章教学要

2、求：教学要求：掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问题中的电场强度和电势。题中的电场强度和电势。了解电偶极矩概念，能计算电偶极子在均匀电场中所了解电偶极矩概念，能计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩。受的力和力矩。 理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。本章重点：本章重点：静电场的电场强度

3、和电势，静电场的高斯定理和环路定静电场的电场强度和电势，静电场的高斯定理和环路定理。理。本章难点：本章难点：场的概念建立及场与物质的相互作用，电势与电势能，场的概念建立及场与物质的相互作用，电势与电势能，矢量积分。矢量积分。内容17.1 电荷电荷 库伦定律库伦定律17.2 电场电场 电场强度电场强度17.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理17.4 电场力的功电场力的功 电势电势17.5 场强与电势的关系场强与电势的关系17.3.1 电场线17.3.2 电通量17.3.3 高斯定理17.4.1 电场力的功17.4.2 电势17.1 电荷电荷 库伦定律库伦定律 电荷基本粒子的固有属性电荷量子化：任

4、何带电体所带电量都是电子电量的整数倍，即19,1.6 10qne eC种类：自然界有且只有两种电荷电荷守恒定律：在一个孤立带电系统中，无论任何物理与化学过程，系统所具有的正负电荷代数和保持不变 库伦定律（1785）两个点电荷之间的相互作用力的大小和它们的电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。作用力的方向在两点电荷的连线上，且“同性相斥，异性相吸”。rq1+F12+q2F21r+-q1q2F12F212212112rqqkFF大小：大小： k=9 109Nm2C-2 库伦定律的矢量形式12212018.85 10C Nm4 krq1+q2r+q1-q2单位制有理化单位制有理化注意：注意

5、： 为代数量为代数量21qq 为施力点电荷指向受力点为施力点电荷指向受力点电荷的单位矢量电荷的单位矢量rrerrereFFrereFF为真空中的介电常数（或真空中的电容率）为真空中的介电常数（或真空中的电容率）017.2 电场电场 电场强度电场强度 问题：电荷之间的作用力是如何作用的？静电场静电场: 静止电荷周围存在的电场静止电荷周围存在的电场物物 质质实物实物场场场具有能量、动量，是一种特殊的物质形态，与实物不同的是，多种场可以占据同一空间1q2qrre 场强00/qFF q实验电荷 在电场中某一点所受的力为 ，比值是一个与实验电荷无关的量，它反映了电场本身的性质 单位单位: :11mVCN

6、, 和和试试验电荷无关验电荷无关 电荷电荷q受电场力受电场力: : EqF0qFE 定义定义: : 单位正试验电荷所受的电场力单位正试验电荷所受的电场力Q 场源电荷场源电荷F试验电荷试验电荷0q 点电荷的场强F+0qF+0qq +-qErear0204rqqFer 在在a点引入实验电荷点引入实验电荷 受力受力0qF由场强的定义：由场强的定义：0qFErear304qErr或：或：204rqerErrer为源点指向场为源点指向场点的单位矢量点的单位矢量讨论讨论：与与 成反比。成反比。2rEEr0qFE304qErr或：或：204rqer q0， 与与 方向一致；方向一致；Er q0， 与与 方向

7、相反；方向相反；Er 仅决定于场源电荷仅决定于场源电荷q及场点的位矢及场点的位矢 ，Er是描述电场的位置点函数是描述电场的位置点函数 场强叠加原理点电荷系的场强0002010qFqFqFqFqFni niFFFFF 21实验表明，电场力满足迭加原理空间某点的场强等于各点电荷单独空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和存在时在该点产生场强的矢量和12211014inniiniriiiqEEEEEEer1Q2Q3Q1F2F3F1r1e2r2e3e3r0qP连续带电体的场强2014rdqdEer2014rqqdqEdEer1 :2:3:dqdldqdsdqdv（ ）线分布线电荷密度

8、（ ）面分布面电荷密度（ ）体分布体电荷密度PEdrqd+ 电场强度的计算具体计算时应采用分量式，步骤如下：方向。并画出表达式，写出取微元）取合适的坐标系，再（EdEddq1zyxdEdEdE，）写出分量：（2zzyyxxdEEdEEdEE，积分求出：)4(5)xyzEE iE jE k（3 3）对称性分析：利用对称性分析可简化计算，可）对称性分析：利用对称性分析可简化计算，可能使我们立即判断电场强度的某些分量为零。能使我们立即判断电场强度的某些分量为零。例例1 1、有一对带等量异性电荷、有一对带等量异性电荷q q的电偶极子，相距的电偶极子，相距 。求。求两电荷连线上一点两电荷连线上一点 和中

9、垂线上一点和中垂线上一点 的场强（的场强（ 点到点到偶极子中点偶极子中点O O的距离为的距离为r r。）,pp ppll qpeep+q-qlpporrl由-q指向q的矢量lqqEEE220)14( /2)p rqEErl求轴线的中垂线上任一点（ 的场强22 3/2014( /2) )qlErlp304ePrlEr当时，则-+r4/22lr 22)2/(2/2cos2lrlEEE解：长线上一点的场强求电偶极子轴线延204(/2)qErl204(/2)qErl22042230014(/2)(/2)224(1/2 ) (1/2 )4eqqEEErlrlPqrlrlrlrr302()4ePErlr

10、ep+q-qlporEEEYoX2L例 、计算均匀带电细棒外一点的场强。设棒长为 ，总qPaPP电荷量为 ，棒外一点 离开棒的垂直距离为 ， 和棒两端的连线与棒之间夹角分别为 和 ，求 点的场强。ParEdxdEydE:解dxxXoY选如图坐标系，qL204dxdErPdE它在 点的场强为，其方向如图。,qdqdxdxL取其大小为：PYoXarEdxdEydEdxx204dxdEr20coscos4xdxdEdEr, ,r x上式有三个变量，统一变量有：20sinsin4ydxdEdErlqqpe=222222tan()cot2csccscxaadxadraxa 222222csccscdxa

11、draxa2222000csccoscoscos44csc4xdxaddEdraa 204dxdEr200sinsin44ydxdEdra PYoXarEdxdEydEdxx0(sinsin)4xxEdEa0(sinsin)(coscos)4Eija0sinsin4ydEdEda 2222000csccoscoscoscos44csc4xdxaddEdEdraa 0(coscos)4yyEdEaPYoXarEdxdEydEdxx讨论：若讨论：若,L, 0 xE,20aEya0,2Eja0,1 1、无限长细棒周围任何地方的电、无限长细棒周围任何地方的电 场都与棒垂直。场都与棒垂直。2 2、该电场

12、具有轴对称性，在以细、该电场具有轴对称性，在以细 棒为轴的园柱面上各点场强的棒为轴的园柱面上各点场强的 大小相等。大小相等。重要重要结论结论0(sinsin)(coscos)4EijaoRX:解3RQ例 、计算均匀带电圆环（半径为 ，带电量为 ）的轴线上任一点的场强。20sin4dlRdEdErrxEdrdqP204dldEr（方向如图）/20cos4xdlxdEdEdErr（对称性分析）0EXEdPEddlRQdldq22023322 3/20222000144()2RxxREdEdlxxRQxrxRRx/20cos4xdlxdEdEdErroRXxEdrdQP322204xQxEE iiR

13、xxEx2R2014xQxREx当时，相当于点电荷,00/2.xxxExxEER与 的关系如图时在处有极值r2例例4 4、求面电荷密度为、求面电荷密度为 ，半径为，半径为R R的薄带电的薄带电圆盘中心轴线圆盘中心轴线X X处一点的电场强度。处一点的电场强度。dr解：解：建立坐标系建立坐标系OXx分割成许多细圆环分割成许多细圆环带电带电rdrdsdq2RdrrXOrdrdsdq2223/ 2223/ 2004()2()xdqrxdrdErxrx223/ 204()QxEirx细圆环的电场细圆环的电场xRdrrXOE2/3220)(2xrrxdrdEdEERxrxrdx02/322220)(2)(

14、22/32200)(2xrrdrxR22012xERx22012xEiRxxRdrrXOE讨论：讨论：1）R2）0 x)1(2220 xRxE0202E22012xERxxRdrrXOE3）x222)/(11xRRxx2/12)/(1xR442283211xRxR2022204)211(12xRxRE20202202444xqxRxRE相当一点电荷。相当一点电荷。分子分母同乘分子分母同乘 ：22012xERxxRdrrXOE推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为 的的 的的“ ”大平行板间的电场为一均匀场。大平行板间的电场为一均匀场。E xd,0)0(,0 x

15、dx 0,0Xd-+- + O+ - Xd020202+ - XdXd-+- + 02X- + d0证毕！证毕！0202证明：证明：0qaO例5、设电荷 均匀分布在半径为 ，圆心角为 的圆弧上，求圆心 处的电场强度a0dqO00qqdqdladdaEd220001144dqqdEdaaxy处的电场强度方向向下根据对称性，O00220020200cos1cos4sin(/2)2yyydEdEqEdEdaqa （方向向下）+Edqd EdEd解：例6、一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带+Q电荷，下半部均匀带-Q电荷，半径为R,求圆心O处的电场强度大小EEyR+-xOE分析：先分别求+Q,-Q产生

16、的电场强度，再矢量迭加20sin(/2)24QEER0200sin(/2)2qEa带电圆弧在圆心产生的电场强度：（方向由弧中点指向圆心）2202cos()4QEEyR 总场沿 轴负向 带电体在电场中的受力dqEqdqdFEdqqFdFEdq受力受力: qE注意自己产生的场不可记入 中带电体在外场中受力求解带电体在外场中受力求解FqE1.点电荷q受力2.带电体q受力Fdq例例7、彼此靠得很近的带等量异号电荷的平行板、彼此靠得很近的带等量异号电荷的平行板,面积面积S,电量电量Q,求相互作用力求相互作用力.+-F=QE ?2?EESQQF222结果QQQQ在低速情况下，略去重力，电荷在电场中运动方程

17、为在低速情况下，略去重力，电荷在电场中运动方程为Eqtvmdd讨论在均匀电场中的两种运动情况：讨论在均匀电场中的两种运动情况：（1 1）初速度与电场同向）初速度与电场同向（2 2）初速度与电场垂直）初速度与电场垂直 带电粒子在静电场中的运动带电粒子在静电场中的运动（1 1）初速度与电场同向）初速度与电场同向粒子做匀加速直线运动粒子做匀加速直线运动mqEa 速度速度smqEasvv22202 动能动能2201122mvmvqEs初速度为零时初速度为零时2qEsvmv（2 2）初速度与电场垂直）初速度与电场垂直电子做抛物线运动。电子做抛物线运动。以初速度方向为以初速度方向为X X 轴，轴，电场方向

18、为电场方向为Y Y 轴。轴。tvx0 221122eEyattm 粒子的轨道方程为粒子的轨道方程为22012exyEmv xy0v 示波器 扫描频率与 变化频率匹配YX 板接入待测信号Y 板接入扫描信号X0F+q-qlepFFEsinsin22llMFFqq=+sinqElq=EPe结论：电偶极子在均匀外电场中将受到一个结论：电偶极子在均匀外电场中将受到一个力矩力矩的作用，的作用，力矩力图使电偶极矩的方向转向外电场力矩力图使电偶极矩的方向转向外电场 的方向的方向EsinFlM O两力对中点两力对中点O的力矩为：的力矩为：eMPE 电偶极矩在均匀电场中所受力矩电偶极矩在均匀电场中所受力矩17.3

19、 电通量电通量 高斯定理高斯定理17.3.1 电场线电场线 对某些分布复杂的电场，无法用函数表达，故引入电场线概念dsedEn条电场线。上画在，规定：取eddsEdsdsdEEdsdee即且,neSS定义面积矢量 :S大小：面积大小S方向：面的法线方向 nenSSe电场线的意义：用电场线的切向表示电场方向，用电场线的疏密（电场线密度 ）表示电场强弱eddS电场线的性质：电场线起于正电荷（或来自无穷远），止于负电荷（或伸向无穷远）。但不会在没有电荷的地方中断若带电体系中正负电荷一样多，则由正电荷发出的全部电场线都集中到负电荷上去在没有电荷处，两条电场线不会相交，因为电场中每一点的场强只有一个确定

20、的方向静电场中的电场线不形成闭合线电场线越密的地方，场强越大，电场线越疏的地方，场强越小图几种常见电场的电场线）点电荷的电场线（a荷的平行板电场线）一对带等量异号电（b的电场线）两个同号点电荷（b的电场线）两个异号点电荷（b17.3.2 电通量电通量通过电场中某个面的电场线数通过电场中某个面的电场线数 匀强电场匀强电场 ， 垂直平面时垂直平面时ESEneeecos dEdSE dSE S 匀强电场匀强电场 ， 与平面夹角与平面夹角ESESneeESecosES 非匀强电场，曲面非匀强电场，曲面S SSEddeenddeSSSESEddcosdeSneSdE 非均匀电场，闭合曲面非均匀电场，闭合

21、曲面Sedcos dSSESE S9090“穿出穿出”“穿进穿进”SneEEne1Sr2SqqS11122000dd cos0d44eSSSqqqSSrrES通过球面1S的电通量为 点电荷q处于球心， 对半径为r1S的球面q2S对包围点电荷的任意曲面1S2S,由于通过和的电场线总数相等， 通过它的电通量也等于00q若闭合面S不包围点电荷q则进入该闭合面的电场线数等于穿出的电场线数，亦即通过任意闭合面S的电通量为零结论：结论：曲面外的电荷qi对闭合曲面电通量的贡献为：e0n如果闭合曲面仅包围了个点电荷123,. .inq q qqqm个点电荷 闭合曲面外有123,.n innnn mqqqqq则

22、SniieqSE101d0eq曲面内的电荷q对闭合曲面电通量的贡献为：点电荷系点电荷系连续分布带电体连续分布带电体在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空电容率面内所包围的自由电荷代数和除以真空电容率 （真空（真空介电常数）介电常数）01.高斯定理内容与数学表达式高斯定理内容与数学表达式SniieqSE101dSVVSEd1d017.3.3 高斯定理高斯定理2.几点说明几点说明(1)00,00.ieieqq时，时，说明静电场是有源场， 电场线始于正电荷，终止于负电荷。（2）通过封闭曲面的电通量，由封闭曲面所包

23、围的自由电荷的多少决定，与曲面外的电荷无关（3）空间中任一点(曲面内、曲面上、曲面外)的场强是由曲面内外的电荷共同激发的，与曲面外的电荷及分布有关SniieqSE101d3. 高斯定理的应用高斯定理的应用点电荷的电场、均匀带电球面（体）等的电场点电荷的电场、均匀带电球面（体）等的电场均匀带电无限大平面（板）等的电场均匀带电无限大平面（板）等的电场均匀带电圆柱面（体）的电场均匀带电圆柱面（体）的电场条件：条件： 电荷分布具有较高的空间对称性（为什么？）电荷分布具有较高的空间对称性（为什么？）1.球对称球对称2.面对称面对称3.轴对称轴对称无限长无限长均匀带电细棒的电场均匀带电细棒的电场OQ0dS

24、SE0 E例例8、设有设有一半径为一半径为R , 均匀带电均匀带电Q 的球面的球面. 求球面求球面内外内外任意点的电场强度任意点的电场强度.对称性分析：对称性分析：球对称球对称解：解：高斯面：高斯面：闭合球面闭合球面 ( (1) )Rr 0rSR024d2QrESESRr ( (2) )204rQE 204RQrRoE204rQOQrs例例9 9、求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为为R，带电荷为，带电荷为q，电荷密度为，电荷密度为 ）R（1）球外某点的场强）球外某点的场强roSqSEd024dqrESES334Rq2032034rRrqE( r

25、R )（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强33034341drRqSES30324RqrrEoiSqSEd03034rRqrE（r 1）。相距为a，1.求空间任一点的电势; 2.证明电势为零的面为一个球面。:解eneOZYX)2, 0 , 0(a)2, 0 , 0(a),(zyxP1r2r（1）选取如图所示的坐标，则 点的电势为：),(zyxP即0 10 244PeneUrr222042penUaxyz2220214azyxe例例16、真空中有一电荷为真空中有一电荷为Q，半径为，半径为R的均匀带电的均匀带电球面球面. 试求试求（1）球面外两点间的电势差；球面外两点间的电势差；（2）球面

26、内两点间的电势差；球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点球面外任意点 的电势；的电势；（4）球面内任意点球面内任意点 的电势的电势.RABorArBr解：解：RrrQRrE2040)11(40BArrQ0d BABArrrEVV（1）Rr RABorArBrBABArrrEVVdBArrrrQ20d4rdr（2）Rr RABorrd（3）Rr 0VrB令令rQrV04)()11(40BABArrQVVRABorArBr（4）Rr RrERrrErVdd)(RQ04RQ04 RoVrQ04 r:解1R2R3R12341q2q3q由高斯定理得110RrE2120124RrRrqE32202134

27、RrRrqqE32032144RrrqqqE例16、三个同心带电导体球壳，半径分别为 ， 带电量分别为 ，求电势分布。321,qqq321,RRR12312311234RRRrrRRRUE dlE drE drE drE dr303202101444RqRqRq例17、计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。环的半径为R，电量为q。:解OPXRxdl22xRr则dlRqdldq22220048dqqdldUrR Rx 建立如图所示坐标系，取 dl整个带电环在P点的电势22222200084RqdlqUdUR RxRx 显然在 时有Rx 04qUx23232234rRRrRRUE dlE drE

28、drE dr30320201444RqRqrq3331233400344RrrRqqqUE dlE drE drrR1234404rrqqqUE dlE drr1R2R3R12341q2q3q（1）区域1，均处于球1、球2、球3之内31211010203()444qqqUrRRRR（2）区域2，处于球1之外，球2、球3之内31221200203()444qqqURrRrRR同理可得34,U U1R2R3R12341q2q3q312323003()44qqqURrRrR123430()4qqqURrr2 , ,(0),?ABl OCDBlA BqqQ QDDCOO例18、距离为是以 为中心以 为

29、半径的半圆弧分别放有点电荷和则把的点电荷从 点沿路径移到点的过程中电场力作功为多少00000 4(3 )46DUqqqUlll解：000,6()6ODDDCOODDQqQWWQUlQqAWWWl 则 的电势能电场力作功为电势能增量的负值+q AB -qCDl 2O电场力作功与电势要点：电场力作功与电势要点：ppUE dl零电势点一一 、求电势的两种方法、求电势的两种方法04pqdqUr1）电场强度积分2）电势叠加bababaUE dlUU二、二、 两点的电势差两点的电势差, a b三、带电量为三、带电量为 的带电体在电势为的带电体在电势为 的电场中的电的电场中的电势能势能ppWqUqpU()(

30、)babbaabaAqE dlWWq UU 四、四、 从从 过程中静电力对过程中静电力对 做功为电势能增量做功为电势能增量的负值的负值qabq17.5 场强与电势的关系场强与电势的关系 等势面电场中电势相等的点所构成的曲面。以点电荷q的电场为例有：04qUr21PPUE dlE nUEn0limnUEn 结论结论等势面密集处，等势面密集处，场强数值大，电场线场强数值大，电场线也密集。也密集。1P2Pn性质：性质：（1）等势面与电场线处处正交。（2）电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。（3）等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强小。0cos00Edlql dEqdAl dE即20cos将q0沿等势面移动dl电场对q0做功，则电场力做功为零，即+ + + + + + + + + + + + -+ 电场强度与电势的关系nnE dneEdnUUdUdU ndUEdn ndUE