高中数学解析几何总结非常全

1、高中数学解析几何总结(非常全)高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角(1) 定义：直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角范围：O1802斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率k tan(直线垂直于X轴时,斜率的存在与不存在(1) 倾斜角为90的直线没有斜率。(2) .每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率 其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 这两种情况，否则会产生漏解。(3)设经过A(X1, yI)和B(X2,y2)两点的直线的斜率为 k，IXyy2CCo则当X1X2时，ktan;当X1X2时，90；斜率不

2、存在;X2二、直线的方程1点斜式：已知直线上一点P(X0,y0)及直线的斜率k (倾斜角)求直线的方程用点斜式:y-yo=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为X X0 ；2斜截式：若已知直线在 y轴上的截距(直线与 y轴焦点的纵坐标)为 b ,斜率为k ,则直 线方程：y kX b ;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kX注意：正确理解“截距”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别 。3两点式：若已知直线经过 (x1,y1) 和(X2, 丫2)两点，且(X1 X2, 丫1 y2则直线的万程：y yX % ；y2 % 2 X1注意：

3、不能表示与 X轴和y轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式(X2 J(y yJ (y2 yj( j 0时，方程可以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在 X轴，y轴上的截距分别是 a , b ( a 0,b 0 )则直线方程：注意：1) 2) 横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直高中数学解析几何总结（非常全）线方程可设为x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：AXByCo ； （ A, B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系

4、数 代B,C是否为0才能确定。BA指出此时直线的方向向量：（B, A），（ B, A）, 22 ,22 （单A B 一 A B位向量）；直线的法向量：（A, B）;（与直线垂直的向量）X6（选修4-4）参数式yXoyoatbt（t参数）其中方向向量为(a,b)，单位向量、a2 ba2 b2；旳Jb23 / 16t1 t2 |点R, P2对应的参数为t ,t2，则IRPn/ 22 ；'a bX X0 t COSy y tsin（t为参数）其中方向向量为 （CoS ,sin ）， t的几何意义为IPPol ；斜率为tan ；倾斜角为（0）。三、两条直线的位置关系宀护¥方 位置大糸

5、Ii : y kX bi I2: y k2X b211 : AIX Biy Ci012 : A2X B2y C20平行ki k2 ,且 bib2AiBiCi(AiB2-A2Bi=0)A2B2C2重合k1k2 ,且 bib2AiBiCiA2B2C2相交kik2AIBiA2B2垂直ki k2iAi A2Bi B2 0设两直线的方程分别为：l；岭敢t或眩：嚮cc2 00 ；当k1 k2或AIB2 A2 BI时它们相交，交点坐标为方程组y後b12或A: B12yy CC2 00高中数学解析几何总结（非常全）解；注意： 对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行 ；如：（A,B）（A2, B2）对于

6、垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直 ；如（A1,B1） （A2, B2） 0 若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率 为_0_ ,则两直线垂直。 对于a1A2 B1B2 O来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用 起来更方便. 斜率相等时，两直线平行（或重合）；但两直线平行（或重合）时，斜率不一定相等，因为斜 率有可能不存在。四、两直线的交角（1）Il到2的角：把直线Il依逆时针方向旋转到与2重合时所转的角；它是有向角，其范围是O；注意：1 到 2的角与2到Il的角是不一样的：旋转的方向是逆时针方向：绕“定点” 是指两直线的交点。（2

7、）直线1与2的夹角：是指由1与2相交所成的四个角的最小角 （或不大于直角的角），它的取值范围是0-（3）设两直线方程分别为:1 : y k1x b1 或 l1: AX B1 y C1 O I2 ：y k2x b2或 2 : A2x B2y C2 O若为1到2的角，tank2 k1-1 或 tan1 k-k1A1B2 A2 B1A1A2 B1B2若为1和-的夹角，则tank2k11k-kr或tanA1B2 A2 B1A1A2 B1B2当 1 k1 k- O 或 A1 A- B1B2 O 时，90° ；当有注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直;一条直线

8、斜率不存在时，用数形结合法处理直线1到2的角与1和2的夹角 ：（-）或（-）；| Axo ByO C | A2 B2五、点到直线的距离公式:1点P(x°,y°)到直线 : AX By C O的距离为:高中数学解析几何总结(非常全)2.两平行线 l1: AX By C1 0, l2: AX By C2 0 的距离为：d 1 2一 2 ;Ja2 B2六、直线系：(1) 设直线 1 : AIX Biy Ci 0，2 ： A2X B2y C2 O ,经过 ,2 的交点 的直线方程为AX Ry Ci(A2X B?y C2) O (除去2)；如：y kx 1 y 1 kX O ,即也就

9、是过y 1 O与X O的交点(0,1)除去X 0的直线方程。直线 : (m 1)x (2m 1)y m 5恒过一个定点 。注意：推广到过曲线 f1(x,y) O与f2(x,y) O的交点的方程为：f1(x)f(X2) O ；(2) 与 : AXByCO平行的直线为AX ByG0 ；(3) 与 : AXByCO垂直的直线为 BX AyG0 ；七、对称问题：(1) 中心对称： 点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点(2c a,2d b) 直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求

10、出直线方程；n、求出一个对称点，在利用1 /2由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如口：求与已知直线1 :2X 3y 6 0关于点P(1, 1)对称的直线2的方程。(2) 轴对称： 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如口：求点A( 3,5)关于直线l : 3x 4y 4 0对称的坐标。 直线关于直线对称：(设a,b关于I对称)I、若a,b相交，则a到I的角等于b到I的角；若a/l ,则b/l ,且a,b与I的距离相等。

11、n、求出a上两个点 代B关于I的对称点，在由两点式求出直线的方程。川、设P(x, y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于I的对称点P'的坐标适合a的方程。女口：求直线a:2x y 40关于I : 3X 4y 10对称的直线b的方程。八、简单的线性规划：(1) 设点 P(xo, yo)和直线 I : AX By C 0,若点P在直线I上，则Ax0 By0 C 0 ；若点P在直线I的上方，则B( AXO By 0 C)0 ；若点P在直线I的下方，贝y B(Ax0 By0 C) 0 ；(2) 二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 AX By C 0( 0),当B0时,则 A

12、X ByC0表示直线I : AX By C0上方的区域;AXByC0表示直线I:AXBy C0下方的区域：当B0时,则 AX ByC0表示直线I : AX By C0下方的区域;AXByC0表示直线I:AXBy C0上方的区域：注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线AX By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 (, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当B0时，将直线立AXBy0向上平移，则ZA

13、X By的值越来越大;直线AXBy0向下平移，则ZAXBy的值越来越小；当B0时,将直线AXBy0向上平移，贝U Z AXBy的值越来越小：直线AXBy0向下平移，则ZAXBy的值越来越大：如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数Z X ay取得最小值的最优解有无数个，则a为；第二部分：圆与方程2 2 22.1圆的标准方程：(X a) (y b) r圆心C(a,b),半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：X2 y2 r2 .2.2点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d ,圆半径为r:点在圆上，一'd=r; (2)点在圆外 一d>r;

14、(3)点在圆内 dvr.2 2 2 M 在圆 C 内(0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (Xo a)2 (yo b)2 r22. 给定点 M(xo,y°)及圆 C :(X a) (y b) r .7 / 16 M 在圆 C 外(0 a)2 (y0 b)2 r22.3圆的一般方程：X2 y2 DX Ey F 0当D2E24F0时,当D2E24F0时,当D2E24F0时,注：(1)方程Ax2方程表示一个点方程无图形(称虚圆)2BXy Cy DX Ey F方程表示一个圆，其中圆心0表示圆的充要条件是:2 2D2 E2 4F2D2 E2 4AF 0.圆的直径系方程：已知AB

15、是圆的直径A(x1,y1)B(x2 ,y2)(X x1)(x x2) (y y1)(y y2) 02.4直线与圆的位置关系:2直线AXByC 0与圆(X a)(y b)22r的位置关系有三种,d是圆心到直线的距离，(dAa Bb CJa2 B2(1)d r 相离0 ;dr相切0 ；( 3 )dr 相交0。2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为01, 02,半径分别为r1, r2, O1O2(1) dr1 r2外离4条公切线；(2) d r1 r2夕卜切3条公切线;高中数学解析几何总结（非常全）(5) 0 d I外离(3)rr22.6圆的切线方程：1直线与圆相切：（1）圆心到直线距离等于半径 互为

16、负倒数）（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率kx :门 k r 过圆 2 y2 DX Ey F0上一点P（xo,yo）的切线方程为：xox yoy DX xo Ey yo F o.222圆x2 y2 r2的斜率为 k的切线方程是y般方程若点(xo ,yo)在圆上，贝V (X -a)(xo -a)+(y -b)(yo -b)=R2.13 / 16特别地，过圆X2 y2 r2上一点P（xo,yo）的切线方程为x°x 怕 r2.y yo k（x xo）若点（xo,yo）不在圆上，圆心为（a,b）则RIby k（aXI）I,联立求出k切线方程.Jr2 12.7圆的弦长问题：1.半弦、半径r

17、、弦心距 d构成直角三角形，满足勾股定理:2L212R d22AB(X X2)2 (y1 y2)22.弦长公式（设而不求）：(1 k2)(X1 X2)2 4X1X2第三部分：椭圆一椭圆及其标准方程1 椭圆的定义：平面内与两定点F1, F2距离的和等于常数 2a F1F2的点的轨迹叫做椭圆，即点集 M=P PF 1+PF2=2a, 2a> F 1F2=2c;这里两个定点 R, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（2a F1F22c 时为线段 F1 F2, 2a F1F22c 无轨迹）。OOO2 标准方程：CZa2 b2焦点在X轴上：2a2yb21 (a> b>0

18、);焦点 F (± C, 0)2y焦点在y轴上：2ax21 (a > b> 0);焦点 F( 0,± C)注意：在两种标准方程中,总有a> b> 0, a2b2 c2并且椭圆的焦点总在长轴上;2 2一般形式表示：y-m n1 或者 mx2 ny21(m O, n 0, m n)二椭圆的简单几何性质：1. 范围2 2(1) 椭圆 X- L 1 (a > b> 0)横坐标-a x a ,纵坐标-b X ba2 b22 2(2) 椭圆y2 X-1 (a > b > 0) 横坐标-b x b,纵坐标-a X aa2b22. 对称性椭圆

19、关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1)椭圆的顶点：A (-a ,0),Ae( a,0),Bl(0, -b ),B2(0,b)(2)线段AA, BE分别叫做椭圆的长轴长等于 椭圆的长半轴长和短半轴长。2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做4 .离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比-G2a即E称为椭圆的离心率，a2记作 e ( 0 e 1), e(b)2e越接近于0(e越小)，椭圆就越接近于圆；e越接近于1(e越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。(2) 椭圆的第二定义：平面内与

20、一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数| PF |e,( 0V ev 1)的点的轨迹为椭圆。(e)d焦点在X轴上:2X-2a1 (a>b>0)准线方程:焦点在y轴上:2y2a1 (a>b> 0)准线方程:小结一：基本元素（1）（2）（3）基本量：基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） 基本线：对称轴（共两条线）a、b、C、e、（共四个量），特征三角形5 椭圆的的内外部(1) 点 P(Xo, yo)在椭圆2y 1(a b0）的内部b2(2)点P(Xo, yo)在椭圆2y21(a bb20）的外部2X2a6.几何性质（1）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）MF（

21、2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB2b2（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）S MF1F2b2 tan 其中2F1MF27直线与椭圆的位置关系:（1）判断方法：联立直线方程与椭圆方程消y（或X）得到关于X的一元次方程,根据判别式的符号判断位置关系:0 有两个交点 相交0 相切 有一个交点0 相离没有交点2 2Z L I 联立 a2 b21消y 得:AX By C 0a2A2 b2B2 X2 2a2ACx a2 C2 b2B2X1X22a2AC 2 2 2a A b BX1X2a2 C2 b2B2a2A2 b2B2高中数学解析几何总结(非常全)15 / 16联立2 2a2

22、 b21 消 X 得:AXByC 0a2A2 b2B2 y2 2b2BCy b2 C2 a2A2 0yy22b2BC 2 2 2 a A b By1y2b2 C2 a2A2a2A2 b2B2(2)弦中点问题2斜率为k的直线I与椭圆m21(m0,n0, m n)交于两点A(x,yJB(x2,y2)M (Xo,y°)是 AB的中点，则:2 n2nXo-2 myo弦长公式：AB(Xi 2)2 (y y2)2(1 k2)(X1 X2)2 4X1X2高中数学解析几何总结（非常全）IPK一 yy” XPIyy /7Pk:XF'范围Xa， y Ry a，X R对称轴X轴，y轴；实轴长为2a

23、,虚轴长为2b对称中心原点0(0,0)焦点坐标F( c,0)F2(c,O)F1(0, C)F2(0,c)焦点在实轴上，C Ja2 b2 ；焦距：F1F22c顶点坐标(a,0)( a,0)(0,a,) (0，a)离心率C Ie-(e 1)a重要结论（1）焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）（2） 通径（过焦点且垂直于实轴的弦）AB（3）焦点三角形（双曲线上的任意S MF1F2b Cot 2tan 2a C MF2b2a就一点与两焦点够成的三角形）：准线方程2 aXC2 a y C2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2aC渐近线方程byxabX_ ya共渐近线的双曲线系方程PrbT

24、k( k 0)a b2 2 X2 k (k 0) ab（1）判断方法：联立直线方程与双曲线方程消y（或X）得到关于X的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：0有两个交点相交0 相切有一个交点0 相离没有交点2 2X y I联立 a2 b21 消y 得:AXByCQ19 / 16直线和双曲线的位Xi2A2联立X2222b B X2a2AC2a2X2a2a2 ACXA2 b2B22 y b2AX By C2 2 22ayiX1X21 消 X 得:0222A b B y2b2BCy22 "2 I 2 2a A b B2 C2 b2B20a2 C2 b2B22A2 b2B2222b B

25、Cy b弦中点问题：斜率为y1y2C2a2A2 b2 C202 2a A2A2I2f2k的直线I与双曲线X2m22y21(m O, n 0)交于两点n2nX02mYcA(x,yj B(X2,y2)M(Xq, y()是 AB的中点，则:弦长公式:ABXiX2)2(% y2)2(1 k2)(X1 X2)2 4x1X2补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为X2 y2 C其中C0；（3）离心率e 2；（4）渐近线：两条渐近线 y= ± X互相垂直;（5） 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点 P处

26、的切线夹在两条 渐近线之间的线段，必被 P所平分;7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数a 2第五部分：抛物线知识点总结图象2y 2px(p 0)lIY2y42px(p 0)2X 2 py( P 0)4-X22py-7°)y(p 0)ITIXZF定义平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线。 MllMF=点M到直线I的距离范围x 0, y RX 0, y RX R, y 0X R, y 0对称性关于X轴对称关于y轴对称焦占八 '、八、(2,0)(冬O)吒）(0,-)2焦点在对称轴

27、上顶点O(0,0)离心率e=l准线方程X子X子y iy 1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线 的距离卫2焦点到准线 的距离P焦半径A(X, y)AF x1 P2AFX1 P2AF y1 iAFy1 子焦点弦长IABl(Xi X2) P(X1 X2) P(y1 y2) P(y1 y2) P高中数学解析几何总结(非常全)焦点弦IAB的几条性质A(, y)B(2,y2)(以焦点在X轴正半轴为例)以AB为直径的圆必与准线 丨相切,以MN为直径的圆与 AB相切与点F,即MF FNAF x1 P2P1 CoSBFP PXX 21 cos若AB的倾斜角为，贝U AB Xi X2 P2p(通径)Sin23 / 16y2X1X211 2 s P2参数方程AF BF P SAOB 2sinaX2 Pt（t为参数