高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

1、椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)备注1.将煤油配制成含苯甲酸的混合物(配制成饱和或近饱和)，然后把它灌入轻相槽内。注意：勿直接在槽内配置饱和溶液，防止固体颗粒堵塞煤油输送泵的入口。2.接通水管，将水灌入重相槽内，用重相泵将它送入萃取塔内。水漫过螺栓，注意：磁力泵切不可空载运行。通过调节转速来控制外加能量的大小，在操作时转速逐步加大，中间会跨越一个临界转速(共振点)速可取300-500转。开启电机，让水在萃取塔内搅拌流动，并连续运行5min后，开启分散相一一煤油管路，调节两相的体积流量一般2040Lh范围内，根据实验要求将两相的质量流量比调为1:1。注：在进行数据计算时， 对煤油转子流量

2、计测得的数据要校正，即煤油的实际流量应为，其中为煤油流量计上的显示值。高三数学备课组12.3.4.在,一般实验转13.1.点P处的切线 PT平分 PF1 F2在点P处的外角.2.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的3.4.5.6.7.8.9.10.11.两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.占 1上，则过Po的椭圆的切线方程是 b2P0(X0,y0)在椭圆PO(X0 , y0 )在椭圆XoX是2a2X椭圆一2ayoyb22y1.角形的面积为1.2.3.4.5.6.

3、PO(X0 , yO)在椭圆PO(X0 , yO)在椭圆2爲 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是b2y2 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b双曲线点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆2X 若P) (0, y0)在双曲线一2ax2 若P) (0, y0)在双曲线一2aPT上的射影H相切.(内切:XoXyo y-2"a2X2ab2XoX-2"a2Xo-2a2yoYo y点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长P在右支；外

4、切：P在左支)2 X_ 2 a2XaXoX-2aYoY I眉1.2y2yb2XoX1 (a> 0,b> 0)1 (a> 0,b> 0)上,则过Po的双曲线的切线方程是XoX-2a,则过Po作双曲线的两条切线切点为切点弦P1P2的直线方程是2aYoY I音1.-y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为bP1、P2,则切点弦P1P2的直线方程1 (a> b> 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点2S FIPF2b tan .22X y椭圆一22a b| MF1 | a exo,| MF2| a exo(R( c,0) , F2(c,O) M

5、(x°, y°).1 (a > b> 0)的焦半径公式:设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结点F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.过椭圆一个焦点和A1Q交于点2XAB是椭圆a7.2 2Xy,、双曲线一221 (a> 0,b>o)的左右焦点分别为ab则双曲线的焦点角形的面积为SFPF2 b2cot?.F1PF2,则椭圆的焦点AP和AQ分别交相应于焦8.9.F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,N ,贝U MF 丄 NF.2y2 1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,yo)为AB的中点，

6、则bA1P和A2Q交于点M , A2Pb22 ，aF1 , F 2,点P为双曲线上任意一点YoY I亏1.P1、 P2,则F1PF2,2 2X y双曲线一22 1 (a>0,b>o)a b当M (Xo, yO)在右支上时，I MF1当M(Xo,y°)在左支上时，|MF1的焦半径公式：(F1( C,0) , F2(c,O)| ex0 a ,| MF2 | ex0 a .|ex0 a, | MF2 |ex0 a设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结交相应于焦点F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10.过双曲线一个焦点 F的

7、直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,点M, A2P和A1Q交于点N ,则MF丄NF.2 y2221 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦,a b 警，即KAB a Yo11. AB是双曲线M (Xo,yo)为AP和AQ分别A1P和A2Q交于AB的中点，则KOMKABb Xo-2-。a yo12.若 PO(X 0, y Q)2X在双曲线一2a2-y21 ( a > Q,b > 0 )内，则被Pa所平分的中点弦的方程是b7.2 2(X Xo)(y yo)13.1.2.3.4.5.6.XqXyoyb22xQ-2ayo2若FQ(o, yo)

8、在双曲线2Xa2 y b2XqXy°y椭圆2Xa2X2a2y21( a > Q,b > 0 )内，则过 Pa的弦中点的轨迹方程是b椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)高三数学备课组2-y2 1 (a> b>a)的两个顶点为 A( a,0) , A2(a,O),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时bA1P1与A2P2交点的轨迹方程是则直线BC有定向且2X若P为椭圆PaPF2F1设椭圆中，记若椭圆8.9.10.11.(a>0, b>0)上任一点A(Xq, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,kBC2 y b2a C,则 -些(常数

9、).a Yo1 ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,tan cot .2 2PF1F212.2 X 2 a2y_b2(a> b> 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F213.F1PF2PF1F2F1F2P"亠 Sin,则有Sin Sine.22Xy2,2ab(a> b> 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为则当0v e21时,可在14.椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2XP为椭圆a2y 1(a>b>0)上任一点,F1,F2为

10、二焦点A为椭圆内一定点15.16.2a | AF21 | PA I I PR | 2a | AR |,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立.2ar2, 2B b2Xa2 11IOQ I2 x2过椭圆一2a已知椭圆1IOPI2(Axq2L 1b2 112ab22Byo C).1与直线 AX ByC Q有公共点的充要条件是(a> b> 0) , O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 OP OQ . (1)1-2 ； (2) iop2+ioqi2的最大值为ba b4北；(3) SOPQ的最小值是一.2a2 b2轴于P,则2yIPF II MN I(a> b> 0)的右

11、焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交 Xx2已知椭圆二aP(Xq,Q),则(1)PF1PF2PBAtan tan2yb22ab2a> b > 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点a22Xy2I 2abb2设P点是椭圆Xq1 CaS .2X是椭圆ra2X已知椭圆一2aBPA 21 e .(3)a2 b2a> b > Q)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则PF1F2b2 ta n2S PAB(a > b > 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PABe分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

12、 I PA |22ab Icos I222.(2)a CCaSa2b2冇Cata> b > 0)的右准线I与X轴相交于点E,过椭圆右焦点F于A、B两点,点C在右准线I上，且BC X轴，则直线AC经过线段EF的中点.的直线与椭圆相交过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17. 椭圆焦三角

13、形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)x27. 双曲线一2aA 2 22 2A a B b2X8. 已知双曲线一2 a帀QI22 2Xy2 T2 ab(1)9.1.2 X 双曲线2 a2.3.4.5.6.高三数学备课组双曲线2爲 1 (a> 0,b> 0)的两个顶点为 A1( a,O),A2(a,O),与y轴平行的直线交双曲线于bPi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是2X过双曲线a2y_1 (a> 0,b> o)10.B,C两点，则直线BC有定向且kBC

14、若P为双曲线PF2F12X设双曲线a1OP?过双曲线2X2a,则y 2b2在厶PF1F2中，记2X若双曲线 a2 y_ b211.上任一点 A(Xo I y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b2x02-a y。(常数).12.2y2 1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点， b2C aC atan CQt (或tan Cot-).C a 22 C a 2PF1F21 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,13.F1PF2PF1F2, F1F2PSin,则有(Sin Sin )C一 e.a1

15、4.1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2XP为双曲线 a1V e. 2115.2 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则AF2 2a | PA | | PF1 |,当且仅当Al F21 P三点共线且P和代F?在y轴同侧时，等号成立2y_ 1b21C2.2_y_丄2a直平分线交X轴于2X已知双曲线raP,交于点P(x0,0),则a > 0,b > 0 )与直线AX By C 0有公共点的充要条件是(b> a &

16、gt; 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP2 2E ; (2) OP2+OQ2 的最小值为 4a b 2 ； ( 3) Sbb a(a> 0,b> 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于则应圭MN |2X0(a>0,b> 0) ,A、2,2a b卡或X0aOPQ的最小值是M,N两点，弦OQ .a2b2MNB是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与Xa2 b2a2的垂轴相2 _y_ b2 2b21 CQS2X是双曲线一2a2X设P点是双曲线一2a则(1) IPFIIlPF2 |PBABPA1( a> 0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,.(2)PFIF2b2cot .2tantan2y(a> 0,b > 0)的长轴两端点，Pe分别是双曲线的半焦距离心率，则有2a2b2(3) S PAB22 CQtb a是双曲线上的一点,2ab2l PAll7-2PAB| COSCQS2|2X已知双曲线一2a2 y b21 ( a>0,b> 0)的右准线I与X轴相交于点E ,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点,点C在右准线I上，且BC X轴，