特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

1、特殊平行四边形知识归纳和题 型精讲特殊平行四边形知识归纳和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形边对边平行 且相等对边平行， 四边相等对边平行，四边相 等性角四个角都 是直角对角相等四个角都是直角质对角线互相平分 且相等互相垂直平 分，且每条 对角线平分 一组对角互相垂直平分且相 等,每条对角线平 分一组对角判疋有三个 角是直 角；是平行 四边形且 有一个角 是直角；是平行 四边形且 两条对角 线相等.四边相等 的四边形；是平行四 边形且有一 组邻边相 等；是平行四 边形且两条 对角线互相 垂直。是矩形，且有一 组邻边相等；是菱形，且有一一 个角是直角。对 称 性既是轴对称图

2、形，又是中心对称图形.矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩 形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直 线，有两条对称轴；矩形的性质:（具有平行四边形的一切特征）性质1：矩形的四个角都是直角.性质2:矩形的对角 线相等且互相平分.女口图，在矩形ABCD中，可以得至直角三角形 的-个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半.矩形的判定方法.方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.方法2:有三个角是直角 的四边形是矩形.方法3:有一个 角是直角的平行四边形是矩 形方法4:对角线相等且互相 平分的四边形是矩形.

3、例1已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长.例2已知：如图，矩形ABCD中， E是BC上一点，DF丄AE于F, 若 AE=BC . 求证：CE = EF.例3.如图，已知矩形ABCD中， E是AD上的一点，F是AB上 的一点，EF 丄EC, 且 EF=EC,ADBE CBCDE=4cm,矩形ABCD的周长为 32cm,求AE的长.例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F.求证：AB=CF ;FD.菱形(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边 形ABFC是矩形，并说明理由.菱形定义:有一组邻

4、边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质 2菱形的对 角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.方法2:四边都相等的四边形是菱形.例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是 AB上一点，DF交AC于E.求证：/ AFD= / CBE .例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD、BC分别交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.例3、如图，在 ABCD中， O是对角线AC的中点，过点 0作AC的垂线与边 AD、BC分别交于E、F，求证：四边形 AFCE是菱形.C例4、已知如图，菱形ABCD中， E是BC上

5、一点，AE、BD交于M，若 AB=AE, / EAD=2 / BAE。求证：AM=BE。例5.如图，在菱形ABCD中，/ A=60° ab =4,0PC为对角线BD的中点，过0点作0E/送B,垂 为E.求线段BE的长./例6、如图，四边形ABCD是菱形，DE丄AB交 BA的延长线于E，DF丄BC,交BC的延长线于 F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并 证明你的猜想例7、如图，菱形ABCD的边长为2, BD=2, E、F分别是边 AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.(1) 求证： BDE BCF ;(2) 判断 BEF的形状，并说明理由；(3) 设厶BEF的面积为S,求

6、S的取值范围.三.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含 两层意思： 有一组邻边相等的平行四边形(菱形) 有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的 矩形，又是特殊的菱形.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形叫做正方形.正方形是中心对称 图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴 对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所 在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形, 所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质 总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是 直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条

7、 对角线平分一组对角.正方形的判定方法：1）有一个角是直角的菱形是 正方形；2）有一组邻边相等的矩形是正方形.例1已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为O, E是OB 上的一点，DG丄AE于G，DG交 OA 于 F.求证：OE=OF .例2已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点A、C两点 作h/ 12,作BM丄li于M , DN丄li于N，直线 MB、DN分别交12于Q、P点.求证：四边形PQMN是正方形.例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角 线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在 射线BC上，且PE=PB.(1) 求证： PE=PD ;PE丄PD;(2) 设A

8、P=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出 这个最大值.B E C例4:如图，在梯形 ABCD中, AB/ DCABEDC图5DB平分/ ADC过点 A作 AE/ BD 交CD的延长线于点E,且/C= 2/E.(1) 求证：梯形ABCD是等腰梯形.(2) 若/ BDC = 30°, AD = 5,求 CD 的长.课后训练1、如图，将矩形纸ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH若EH =3厘米，EF= 4厘米，则边AD的长是厘米.2、菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E ,AB

9、=4cm .那么，菱形 ABCD的面积是 ，对角线BD的长是3、已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC = 4Cg则菱形的边长是cm ;4、 如图所示，两个全等菱形的边长为 1厘米， 一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的 边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂 蚁停在点.5、已知：如图，菱形 ABCD勺对角线交于0点， 菱形的周长为 40cm,BD=0.75AC求菱形 ABCD的 面积。6、如图，在 ABC中，/ BAC=90，AD丄BC于D CE平分/ ACB交AD于G, 交AB于E，EF丄BC于 F，求证: 四边形AEFG为菱形.7、如图，在平行四边形 ABCD中, AB=2AD双 向延长AD?使DE=DA=AF求证：BE! CF& 如图，E、F分别在正方形ABCD 的边 BC，CD 上，(1)若/ EAF=45，求证：EF=BE + DF若 ECF的周长等于正方形ABCD周长的一 半，求证：/ EAF=45。9、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异， 我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接 近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形 的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为 m和n,将菱形的“接近度”定义为|m-n，于是，m n越小，菱形越接近于正方形.