特级教师明知白抛物线的一个重要模型

1、特级教师明知白抛物线的一个 重要模型抛物线焦点弦模型线于A、B两点，则称线段AB为抛物线的 焦点OF【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物A, B分别抛物线准线I的垂线，交I于D、C ,过抛物线y2 =2px（p 0）的焦点弦AB的端点构成直角梯形ABCD （图1）这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许 多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时， 它又体现了解析几何的重要思想方法。在图 1中, 有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪 些重要结论呢？【模型示例】设直线AB的倾角为当AB x轴（d =90=）时，称弦AB为通 径

2、。例1.求通径长.例2.求焦点弦|AB长.例3. 求 AOB的面积.例 4. 连 CF，DF,求证 CF _ DF （图2）.例5.设准线I与x轴交于点E，求证：|FE|是CE与DE|的比例中项，即 FE2 =|CE DE .例6.如图3,直线AO交准线于C ,求证：直线 BC/X轴.（多种课本中的 题目）例7.设抛物线y2 =2px（p - 0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A, B两 点.点C在抛物线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点.例&证明：梯形中位线MN长为一.sin2 日例 9.连 AN、BN,图（5）,证明：AN _ BN .例10.求证：以线段AB为直径

3、的圆与准线相切.2例 11.连 NF,证明：NF丄AB,且 NF = AF BF .例12.已知抛物线x2 =4y的焦点为F, AB是抛物线的焦点弦，过 A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.(I )证明：点M在抛物线的准线上;(U)求证：FM AB为定值；【模型解析】设直线AB的倾角为/ ,当AB _ x轴(=90)时，称弦AB为通径。例1求通径长.解：由于 AB_x 轴(二=90)F(号,0),二当 x = p 时，代入 y2=2px(p>0)中，得y2 = p2,故Ya = p,yB = -p-二 AB=2 p例2求焦点弦| AB长.解法一：设Ady), B&y)，

4、当八90时，设直线AB的方程为:y=k(x- p).y2 =2px,2 2由 <p 得 k2x2 p(k2+2)x+ =0，y = k(x _ 匕)4/ 22为X2二p(12)-k丁 AB = AF 十 BF = AD + BC，准线方程 x =卫，2.AB =% +号乜 +# = (% +X2) + p由知，AB|=2p+2p k当二=90；，由(一)知 AB =2p.说明：t k =tan=1cos2 二sin =29sin v cos 'sin2 Q1sin2 二因此，由 得AB =2p（1 +丄）二一2.k sin 0特别，当8 =90时，上式为AB=2p,是通径长解法二

5、：设 A(xn y!), B(x2, y2).0 =90：时，上式为AB =2p;-90时，设直线AB的方程为x=my，号（其中tan 丿.y2 =2px,px =my+j2得 y2 _2 pmy _ p2 二 0.2y1 y2pm, y2 P .AB= (x1 -X2)2(% - y2)2(% -丫2)22 2 2=m (% - y2)(% -y?)2 2=(m1)(y1-y2)= (m2 1)(y1y2)2 -4如丫2】=(m2 1)(4 p2m2 4p2)(由得)2 2 2=4 p (m 1),AB2= 2p(m 1).对于抛物线y2 =：'2px( p 0),多用 x =my

6、* ,对于抛物线 x2 =2py(p . 0),多用 y=k(x- p).(n)上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方 法，要多多玩味。其中 AB| = Ji +k2 lx, x2| = Jm2y2的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。(川)如果给出x2='2py(p 0)，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，为直线AB与y轴的夹角。总之，抛物线焦点弦长结论中，r为直 线AB与抛物线对称轴的夹角此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：2x,x2与y y2均为定值：xm二乩(由得)，y,y? - - p2，以及y< y 2 pm.4【探

7、究】抛物线的焦点弦为AB，设A(x,y,),B(x2,y2)，则有y2二-p2，此命题的逆命题是否成立？为什么？例3 求 AOB的面积.解法一：直线AB的方程为：x = my 卫，即x - my卫=0 .2 2=2 2（yi-y2）=P 4p2m2 4p2 （由得）42 =m212（由得）2sin v连 CF, DF ,证明：CF _ DF （图2）.证明:则KKcf Kdf =T,故 CF DF .例5 设准线I与x轴交于点E，证明：FE是CE与DE的比例中项,即 fe2 = ce de容易证明，留给读者完成。例6 如图3,直线AO交准线于C ,证明：直线 题目）分析：只要证C、D两点纵坐标

8、相同。证明：设 A（xyj B（X2, y2），贝U 丫1丫2=-卩2.yj = 2pxk°A =y1=x<| '0y12y=2py12p直线AC的方程为 宀、它与准线方程联立，得C点纵坐标yc二2pyi由 yi y2 二- p $ 得 c = - =2.yi因此C、D两点纵坐标相同，BC/x轴.例7设抛物线y2 =2px(p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于代B两点点C在抛物线的准线上，且分析：只要证kOC = kOA.证法 1 如图 3，设 A(x1, y1), B(x2 再设直线AB的方程为x = my P .222 cyiy2=P ， yi =2Pxi，

9、2yikoCy2 _ 2y2_p- pyi-2p2-pyi2p _ 2pxiyi图koA ,yi Xi yiXi yiXiA, O,C三点共线.证法2:如图4,设AC与EF相交于N，准线与x轴交于E.v AD/X轴 /BC .LJCEN _CDA, LANFACB.ENCNBFADACAB”ad|bf(即刑=记)，NFBCAFAB（即NFaf|bcab|又 AF =|AD,BF =|BC二 EN = NF ,即点N是EF的中点，与抛物线的顶点0重合，所以直线经过原点0.【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即 上题）是课本习题八第8题（系指y2 =-p2），第1

10、3题（系指（六）的转化， 揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线y2=2px的焦点为F ， A,B是抛物线 上的两点.点C在它的准线上，且 BC/x轴则A, 0,C三点共线的充要条件是A, F,B共线【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线y2 =2px（p 0）及图3）：弦AB过焦点F ;点C在准线上；BC/x轴；AC过顶点0.可组成以下四个命题：A.（高考题）B. =（课本题）C-是否正确？D.=例8证明：梯形中位线MN长为 £ .sin2 日留给读者做。例 9 连 AN、BN （图 5）,证明：AN _ BN .证明较难，留作习题。例10证明：以线段AB为

11、直径的圆与准线相切。 由例9，这个性质是显然成立的。例 11 连 NF,证明：NF丄AB,且 NF| = AF BF .证明：设 A（X1, yj, B（x2,y2）,又设直线AB的方程为x = my 卫，则N （-卫，北,2 2 20 y1 +y2kN2 “泄购一m (由得) P- (-2) 2p 2p 2 2kNF kAB = 1,此即 NF AB._ 1kAB - 一m在RtLlANB中，NF为斜边上的高，故有 NF=AF BF .说明：在平面几何中，有下述定理:R ABC中，斜边BC上的高 AD是BD与CD的比例中项。例12已知抛物线x2 =4y的焦点为F，AB是抛物线的焦点弦，过A、

12、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.（I ）证明：点M在抛物线的准线上;（U）求证：FM AB为定值；证明：(I)设 A(x1, y1), B(x2, y2)，22则 =牛,y2二严,由已知，f（0,1）,44设直线AB的方程为：y = kx 1，则由x2 = 4y得 x2 -4kx - 4 = 0,XrX2 二-41=2x，所以过A，B两点的切线方程分别为:1x21x2yjX1(X-X1) 丁厂2X2(X-X2)寸2X21 xi1yX1X, yX2X2 424【注：X2=2py过点（Xo, yo）的切线方程为：XoX = p（厂yo）】由上式可得 2(x1 - x2) = x( -x2

13、1显然X1 = X2,故X -%x2 y JXZ 丛二住12244由于抛物线准线方程为y = “，故点M在抛物线的准线上丄2222x. x21 2 1 2x2 - x.X. - x2FM AB =(2,2)(x2x., x2x.)2- = 0.24422因此，FM AB为定值，其值为0.【推广】 过抛物线y2 =2px(p . 0)的焦点F的直线交抛物线于 A、B两点，过A、B两点的切线交于点M，则点M在抛物线的准线上，且FM _ AB【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容, 可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各 类问题时，又贯穿着解析几

14、何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两 种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。上面十多条结果归纳起来有:(1) 焦点弦长(通径长)；(2) MOB的面积；(3) 梯形中位线长；(4) y°2 = -p2 ；(5) A O，B三点共线=A, F，B三点共线；(6) 两组直角三角形：Rt|ANB(斜边AB上的高为NF),RtLICFD(斜边CDh的高FE)，以及相应的比例线段；(7) |MN|= AM|=|BN|,以AB为直径的圆与准线相切；(8) 过抛物线上A，B两点的切线的交点G落在准线上，且GF_AB.1. (高考题)过抛物线y2 =2px(p

15、0)的焦点F作倾斜角为45的直线，交抛物线于A、B两点，若AB的长为8,则p=分析：由例2知，AB = 2? =一 =4p.由已知4p=8,故p=2.sin 日 sin 452. 抛物线x2=2py(p 0)线的焦点为F,其焦点弦为AB,直线AB与y轴的夹角为a ,贝U AB =.分析：仿例2可得：AB.cos 日 sin «3. 已知直线y=J3x-2与抛物线x2=_8y交于M N两点，O为坐标原点，求弦MN的长及L MON的面积。解：t F(0, -2)在直线上，MN为焦点弦，且倾角为60，故:=30.2p二 MN =2 = 32,Smon =16.sin a4. (高考题)过抛

16、物线y二ax2(a 0)焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别为p，q，则丄等于p q11A2aB.C.4aD.2a4a解1 (解析法)：较繁，略。1解2 (向量法)：设P(x1,y1), Q(x2,y2)，由F(0,)及定义可知：4ay1二p-丄，y2二q-丄.因为F分PQ的定比为,故4a4aq1 + p /1、14a11p qp (q ) 4a q 4a因此选C.111解3：取特例，PQ为通径，即y二一,则ax2 ,故x4a4a2a1 1所以 I+1I 4a,选 C.X1仪25. 直线AB交抛物线y2 =2px(p 0)于A、B两点，作BC LI x轴交抛物线准线于C

17、, 且A、O C共线，证明：直线 AB过抛物线的焦点F。证明：设 A(x“ yj B(x2，y2), AB与 x轴交于点 E(a,O),故直线AB的方程为x = my a,代入yRtUBNC中,BN = 2px( p 0)中,得2 y _2pmy _2ap 二 0,故 y2 = -2ap koA -吐-上-空xiyi2p2 2 直线AO的方程为y = 22 x,它与准线方程x p联立得y-p.yi2yi2又BCLI x轴，故yc = y2,于是y2二-丄,即yiy2 - - p2.由知a , yi2即点E与F重合，直线AB过抛物线的焦点F。6. 已知抛物线y2=2px(p 0)的焦点为F，AB为焦点弦，过A、B分别作抛物线准线的垂线，交准线于 D C两点，线段CD的中点为N,求证AN _ BN.解1 (解析法略)解2 (几何法)：作BH _ AD,在L ABH中