2014数学(理)二轮复习专题训练：立体几何汇总

1、清大附中三维设计 2014 年高考数学（理）二轮复习专题精品训练：立体几何本试卷分第 I卷（选择题）和第 H卷（非选择题）两部分满分 150 分考试时间 120 分钟.第 I卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给岀的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1.如图，平面四边形ABCD中，AB二AD二CD =1，BD = . 2,BD CD，将其沿对角线BDA .5【答案】C4.三个不重合的平面可把空间分成n 部分，则 n 的所有可能取值为（）A. 4B . 4 或 6C. 4 或 6 或 8D . 4 或 6 或 7 或 8【答案】

2、D5.如果内接于球的一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1,则该球的体积为（）【答案】D个不同的位置，则数字丨、2、3 对面的数字是（）折成四面体A_BCD，使平面ABD_平面 则该球的体积为（）BCD，若四面体A_BCD顶点在同一个球面上,2 已知三棱锥 S ABC 的三条侧棱两两垂直，且C.D. 2 二3SA=2, SB=SC=4 则该三棱锥的外接球的半径为A.36B. 6C. 3D. 9【答案】C3. 一条长为 2 的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段,则ab的最大6.如图一个封闭的立方体，它6 个表面各标岀1、2、3、4、5、6 这 6 个数字，现放成下面A.C.D.【答案】CA.

3、 4、5、 6D . 5、6、47. 一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球B . 6、4、 5C. 5、4、6fl【答案】C11在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点岀发沿球面运动， 经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）c f7f8f7二RA.2二RB.RC. - RD.336【答案】B12. a， p， 丫为不同的平面，m n，1 为不同的直线，则ml p的一个充分条件是（）An _ :, n _ :, m _ ：B-:-=m, ：_，:的体积等于（）KHIC.2二D.2 的正三角

4、形，则该三棱锥的侧视9 .一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm，则球的表面积是2 2A.8 二 cmB.12 二 cmC.【答案】D10如图，点 P、Q R、S 分别在正方体的四条棱上，异面直线的一个图是（）16 二 cm $(D.2JT2cm并且是所在棱的中点，则直线PQ 与 RS 是【答案】D8已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为【答案】Bc.【答案】A第 H卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为_【答案】3414 .在正三棱锥

5、 S ABC中，SA =1/ASB =30。，过 A 作三棱锥的截面AMN，则截面三角形AMN的周长的最小值为【答案】、215 .如图，在正三棱锥 A- BCD 中，E、F 分别是 AB BC 的中点，EF 丄 DE 且 BC= 1,则正三棱锥【答案】2416 设球 0 的半径为 R，A、B C 为球面上三点， A 与 B、A 与 C 的球面距离都为一.，B 与 C 的R2球面距离为2-，则球 O 在二面角 B-OA-C 内的那一部分的体积是 _R3三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤)17.如图,直角梯形 ABCD 中，./ABC /BAD

6、=90,AB=BC 且厶 ABC 的面积等于 ADC 面积的1.梯形 ABCD 所在平面外有一点 P,满足 PA!平面 ABCD,PA二AB.2(1 )求证：平面 PCDL 平面 PAC ;(2 )侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE/平面 PCD?若存在，指岀点 E 的位置并证明；若不存在，请 说明理由.(3 )求二面角 A -PD -C 的余弦值.【答案】设AB =BC =PA=1,01 /ABC /BAD =90,AB =BC,S歩BC =S就DC,二AD =2BC =2D.7R4 - 9以点 A 为原点，以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则

7、(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,1)，(1)设平面PC的一个法向量为n =(x, y,z),则有:PC =0(x,y,z)1,1,-1) =0nLPD =0 (x,y,z)L(02 1)=0令y =1,则z=2,x=-1,即有n= (1,1,2)同理，可求得平面PAC的一个法向量吩(_1,1,0)(2 ) 假设存在满足条件的点E，使BE/ /平面PCD则可设点E(0 0 z)，由(1)知平面PC的一个法向量为 n=(1,1,2),则依题意有:BELF=0,即(-1,0,z)_(1,1,2)=0，1.-1,2z=0得z=2存在满足条件的点

8、E(PA的中点)(3 ) 由(1)知平面 PC 的一个法向量为 n =(1,1,2),又显然 AB 为平面 APD 的一个法向量,18.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形,平面ABCD所成角的正切值依次是1和1，AP =2，E、F依次是PB、PC的中点2(I)求证：PB _ 平面 AEFD；x y一z = 02y -z =0.Rm =(1,1,2)J-1,1,0 -1 1=0平PCDL 平面PAC设二面角 A-PD-C 的平面角为则COST-|cos：n, AB|=(1,1,2L(1,0,0K 6.121222|_16PA_ 平面ABCD，PB、PD与(H)求直线EC与平面PAD

9、所成角的正弦值【答案】(1)PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次-1)是1和1，AP= 2几AB = 2,AD = 42PA_平面ABCD，底面ABCD是矩形 AD_ 平面PAB二AD _ PBE是PB的中点 AE _ PBPB _ 平面 AEFD(2 )解法一：PA_ 平面ABCD，CD _ PA，又CD _ AD，CD_平面PAD，取PA中点G，CD中点H，联结EG、GH、A(0, 0 0)，B(2, 0 0)，C(2, 4, 0)，巴4, 0)，P(0, 0 2)，E(1, 0 1)，F(1,2 1)，EC = (1,4又AB_ 平面PAD, 平面PAD的法向量为 设直线EC与平面

10、PAD所成的角为：，则则EG/AB/CD且1，. EGHC疋干仃四边形,EG = AB = 12 FHGD即为直线EC与平面PAD所成的角在Rt GAD中，GH =，sin HGD直线EC与平面PAD所成角的正弦值为二.6解法二：分别以AB、AD、AP为 X 轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，依题意，AD =4 AB =2，则各点坐标分别是GD，n = AB =(2,0,0)2丁 _2辺=IEC|n了 8 .2 二619 已知正方体 ABCA1B1C1D1, O 是底 ABCD 寸角线的交点。又AA_平面A1B1C1D1,所以A1A_B1D12又AA1- AQ = A13由1 2 3有B1D1

11、_ 平面A1ACC1,而A1C平面A1ACA1,所以A1C_BQ1(2).连接A1C1交B1D1于。1,连接AO由 ABCA1BCD1是正方体，所以1AC/A1C1,且 OG =AO =?AC.即四边形oCGO!是平行四边形。所以AO1/OC1.又AO1二平面AB1D1, CC1/平面AB1D1.20.如图，在正四棱柱 ABCAA1BQD1中，AA1=1AB,点 E、M 分别为 AB、CC 的中点，过点 A,B, M 三点的平面 A1BMN 交 GD 于点 N.sin .：二直线EC与平面PAD所成角的正弦值为2.6(1)AC _ B1D1C1O/面 ABD ;【答案】 （1）由 ABCA1B

12、1C1D是正方体，所以AG _ B1D1求证:(I)求证：EM/平面 ABiGD;(H)求二面角 B AiN Bi的正切值.【答案】解法一：(I)证明：取 AiBi的中点 F,连 EF, CiF/ E 为 AB 中点 EF/iBBi2又 M 为 CC 中点 EF/ CiM四边形 EFGM 为平行四边形 EM/ FG而 EM 平面 AiBCiD . FCiu 平面 AiBiGD .EM/平面 AiBGDi(H)由(I) EM/平面 AiBiCiD EM u 平面 AiBMN 平面 AiBMNT 平面AIBICIDI=AIN AiN/ EM/ FCiN 为 CD 中点过 Bi作 BiH 丄 AiN

13、 于 H,连 BH 根据三垂线定理BH 丄 AiN/ BHB 即为二面角 B AiN Bi的平面角设 AAi=a, 则 AB=2a,/ AiBiCiD 为正方形AiH=；5a又 AiBiHM NADi在 Rt BBH 中，tan / BHB=BBia 0),则 Ai(2a, 0, a), B ( 2a, 2a , 0 G (0, 2a, a)/ E 为 AB 的中点，M 为 CG 的中点 E (2a , a ,a), M (0 , 2a,a(0, 2a，0)，) EM/ AiBiCiDi形ADB以AB为轴运动.(H)设平面 ABMn=( x, y , z又AB=(0,2a，BM由 得=(_2a

14、,o,旦)n丄AB,n丄BM，得2ay - az = 0而平面 AiBiCiDi的法向量为 -ni二(o,o,i).设二面角为则又：二面角为锐二面角4、2icos-=4，2i从而tan日.521 .如图,A, B,C, D为空间四点在 ABC中，AB = 2, AC二BC等边三角(I)当平面ADB_平面ABC时，求CD；(n)当ADB转动时，是否总有AB I CD?证明你的结论.【答案】(I)取AB的中点E，连结DE CE，因为平面ADB平面ABC= AB，所以DE_平面ABC，可知DE_ CE在RtDEC中,CD二 DE2EC2=2(n)当 ADB以AB为轴转动时，总有AB _ CD-证明如

15、下：1当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD = BD，所以C,D都在线段AB的垂直平分线上，即AB丄 CD2当D不在平面ABC内时，由(I)知AB|DE-又因AC =BC，所以AB CE-因为ADB是等边三角形，所以DEIAB- 当平面ADB平面ABC时，由已知可得DE八3,EC =15又DE, CE为相交直线，所以AB丄平面CDE，由CD平面CDE，得AB _ CD- 综上所述，总有ABCD22 如图，已知直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 2,底面 ABC 是等 腰直角三角形，且/ ACB=90, AC=2, D 是 A A1的中点.（I）求异面直线 AB 和 CiD 所成的角

16、（用反三角函数表示）；（H）若 E 为 AB 上一点，试确定点 E 在 AB 上的位置，使得 AiE 丄 CiD;（皿）在（H）的条件下，求点D 到平面 BiCiE 的距离.【答案】（I）法一：取 CC 的中点 F,连接 AF，BF，则 AF/ CiD./ BAF 为异面直线 AB 与 CiD 所成的角或其补角.ABC 为等腰直角三角形， AC=2, AB=2 2/ cos / BAF=- 一V2 二山 055arccos 5即异面直线 AB 与 CD 所成的角为arccos又CCi=2,AF=BF=5法二：以 C 为坐标原点，CB, CA CC 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标

17、系,则 A (0, 2, 0), B (2, 0, 0),G (0, 0, 2), D( 0, 2 , 1),AB=(2，2,0),C1D=(0,2, -1)-由于异面直线 AB 与 GD 所成的角 为向量AB与CD的夹角或其补角.设AB与CD的夹角为则 cos 严 Y = Jc，2 ,2、55一=.10，恵一 arccos-5即异面直线 AB 与 CD 所成的角为怖.arccos-5(H)法一： 过 C 作 CiMLA1B1,垂足为 M 贝UM 为 AiB的中点， 且 CiM!平面 AAiBiB.连接 DM.DM 即为 CiD 在平面 AABiB 上的射影. 要使得 AiE 丄 CiD,由三

18、垂线定理知，只要 AiEL DM/ AAi=2, AB=22,由计算知，E 为 AB 的中点.法二：过 E 作 ENL AC,垂足为 N,则 EN 丄平面AACiC.连接 AiN.AiN 即为 AiE 在平面 AACiC 上的射影.要使得 AE 丄 CiD,由三垂线定理知，只要 AiN 丄 GD.四边形 AACiC 为正方形， N 为 AC 的中点， E 点为 AB 的中点.法三：以 C 为坐标原点，CB, CA CG 分别为 x 轴，y 轴,则 Ai（ 0，2，2），B （2, 0，0 ），C （ 0，0，2）， D （0，2，1 ），设 E 点的坐标为（x，y，0）, 要使得 AiE 丄 CiD， -= ( x, y 2, 2)，AlE y=i .又点 E 在 AB 上,AEIIAB. x=i. E 点为 AB 的中点.（皿）法一：取 AC 中点 N,连接 EN, GN,z 轴建立空间直角坐标系,只要AE-=0CiDCiD(0, 2, i),55贝 U EN/ BO/ BiCi丄平面 AAGC,面 BGNE 丄平面 AAGC.过点 D 作 DH 丄