北京市各区年高考数学一模试题分类解析(12)-圆锥曲线-理

1、十二、圆锥曲线10（ 2012 年海淀一模理10）过双曲线x2 - y2 = 1的右焦点，且平行于经过一、三象限的916渐近线的直线方程是.答案： 4x-3y - 20 = 0 。7（ 2012 年门头沟一模理7）已知点 P 在抛物线 y24x 上，则点 P 到直线l1 : 4x 3 y6 0 的距离和到直线 l2 : x1 的距离之和的最小值为（C ）3711C. 2D. 3A.B.16513（ 2012 年东城一模理13）抛物线 y2x 的准线方程为；此抛物线的焦点是F ，则经过 F 和点 M (1,1)，且与准线相切的圆共有个答案： x1； 2 。49（ 2012 年丰台一模理9）已知双

2、曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为y 3 x，则该双曲线的离心率是 _4答案： 5.413（ 2012 年密云一模理13）若双曲线 x2y21(a 0,b0)的两个焦点为 F1 , F2 ，P 为a2b2双曲线上一点，且 PF13 PF2 ，则该双曲线离心率的取值范围是 _答案： 1<e2.9. （ 2012年朝阳一模理9 ） 已知双曲线的方程为x2y21 ，则此双曲线的离心率3为，其焦点到渐近线的距离为.答案： 2313；13. （ 2012年东城 11 校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与 x 轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范

3、围是_.43（ 2，2）答案：。19. （ 2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1 ( 1,0) ， P 为椭圆 G 的上顶点，且PFO145 . （）求椭圆 G 的标准方程；（）已知直线 l1 ： ykx m1 与椭圆 G 交于 A ，B 两点，直线 l2 ： y kxm2（ m1m2 ）与椭圆 G 交于 C ， D 两点，且 | AB | | CD |，如图所示 . （）证明： m1m20;（）求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 .解：（）设椭圆 G 的标准方程为x2y21(a b0) .lyl2a2b21AD因为 F1(1

4、,0)，PFO145，所以 b = c = 1.OxB222C所以a= b+ c= 2 .所以椭圆 G 的标准方程为x2y21.2（）设 A( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， C ( x3 , y3 ) ， D( x4 , y4 ) .ykxm1,（）证明：由消去 y 得： (1 2k2)x222 0 .x2y24km1 x 2m11.2则8(2k2 m12 1) 0 ，x1 x24km12,12kx1x22m12212k2 .所以 |AB|( x1x2 )2( y1y2 )21 k2(x1x2 )24x1 x21k2(4km1)242m1222k212k2122 1k 22k

5、 2m2111.2k2同理 | CD | 2 2 1 k 22k 2m2112.2k2因为 |AB| |CD|,所以 2 2 1 k 22k 2m12 12 2 1 k 22k2m22 1.12k 212k 2因为 m1m2 ，所以 m1m2 0 .（）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形， 设两平行线AB,CD 间的距离为d ,则 d = m1 - m2 . 1+ k2因为m1m20 ，所以 d =2m1.1+ k2所以 S | AB | d 2 2 1 k22k2m121 2m112k 21k2(2k2m121)m122k 2m12 1m124242222 .12k 212k 2（或

6、S42(2k 21)m12m1442 (m121) 212 2 ）(12k 2 ) 212k 224所以 当 2k 212m12时，四边形 ABCD 的面积 S取得最大值为 22 .19. （ 2012 年西城一模理 19）已知椭圆 C : x2y21 (a b 0) 的离心率为5 ，定点a2b23M (2,0) ，椭圆短轴的端点是B1 ， B2 ，且 MB1MB2 .（）求椭圆C 的方程；（）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C 于A ，B两点.试问x 轴上是否存在定点 P，使PM平分APB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.5e2a2b2b2b2解：（）由a212 ，得.9aa

7、3依题意 MB1 B2 是等腰直角三角形，从而b2，故 a3 .所以椭圆 C 的方程是 x2y21.94（）设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，直线 AB 的方程为 xmy2 .将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 x 得 (4m29) y216my200 .所以y1y216m， y1 y220.4m294m29若PF 平分APB ，则直线 PA ， PB 的倾斜角互补，所以 k PAkPB0.设 P(a,0) ，则有y1y20 .x1a x2a将 x1my12 ， x2my22 代入上式，整理得2my1 y2(2a)( y1 y2 )0 ，(my12a)(

8、 my22a)所以2my1 y2(2a)( y1y2 ) 0 .将 y1y216m， y1 y220代入上式，4m294m29整理得(2a9) m0.由于上式对任意实数m 都成立，所以9a.2综上，存在定点P( 9 ,0) ，使 PM 平分APB .219（ 2012 年东城一模理19）已知椭圆 C ： x2y21 ab 0 的左、右顶点分别为A1 ，a2b2A2 ， B 为短轴的端点， A1BA2 的面积为 2 3，离心率是1 （） 求椭圆 C 的方程；（）2若点 P 是椭圆 C 上异于 A1 ，A2 的任意一点， 直线 A1P ，A2 P 与直线 x4 分别交于 M ，N两点，证明：以MN

9、 为直径的圆与直线PF2 相切于点 F2 (F2为椭圆 C 的右焦点 ) ab23,解：（）由已知c1 .a2解得 a2， b3 故所求椭圆方程为x2y2143证明：（）由（）知A12,0， A22,0，设椭圆右焦点F21,0 设 P x0 , y0 x02 ，则 3x024 y0212 于是直线 A1P 方程为 yy0x 2，令 x4 ，得 yM6 y0；x02x02所以 M ( 4, 6 y0) ，同理 N( 4,2 y0) x02x0 2所以 F2M ( 3,6y0)，F2N (3,2y0) .x0x022所以 F2M F2N ( 3,6 y0) (3,2 y0)96 y02 y0x022x02 x02x012 y0293 12 3x0299 x02499094x024x024x02所以 F2MF2 N ，点 F2 在以 MN 为直径的圆上设 MN 的中点为 E ，则