八年级数学上册第一章全等三角形的辅助线知识点与同步训练(含解析)(新版)苏科版

1、全等三角形辅助线的作法知识精讲一.中点类辅助线作法见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是：ABC 底边的中线）.角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;3. OA =0B，这种对称的图形应用得也较为普遍.三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一

2、条线段等于已知的两条较短 线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关 系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.三点剖析点：全等三角形辅助线的作法A3二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三.易错点：1 辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助 线，关键是如何分析题目；2 辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少 度”这种辅助线

3、就不一定能作出来.题模精讲题模一：中点类例 1.1.1 已知：ABC中，AD是BC边上的中线， AB =8 , AC =6，试求AD的取值范围.A【答案】1：AD：7【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等.延长AD至E,使得 DE =AD，连结 CE在厶ABD和 CEC併1.: ZADB ZEDCAA 降AEECD(SAS AB 二 CEAE的取值范围为 CE AC : AE : CE AC自itifenxoM010-566399842 : AE 141：AD：7例 1.1.2 如图所示，在ABC 中，AB =AC，延长 AB 到 D，使 BD =AB , E 为 AB 的中点，连接C

4、E、CD，求证：CD =2 EC A5【答案】见解析【解析】 解法一：如图所示，延长 CE 到 F ,使 EF =CE，连接BF.容易证明 AEBF 也 AEAC，从而 BF =AC，而 AC =AB =BD，故 BF =BD .注意至 U . CBD =/BAC . ACB =/BAC . ABC，.CBF - . ABC . FBA 二.ABC . CAB ,故.CBF - . CBD，而 BC 公用，故 厶 CBF：CBD , 因此 CD =CF =2CE .解法二：如图所示，取 CD 的中点 G，连接 BG .因为 G 是 CD 的中点，B 是 AD 的中点，11故 BG 是.DAC

5、的中位线，从而 BG 二AC 二AB 二 BE ,22由 BG / AC 可得.GBC 二.ACB = ABC 二.EBC，故.BCE 也.：BCG ,从而 EC =GC , CD =2CE 1.2.1 如图，.A . D =180 , BE 平分.ABC , CE 平分.BCD，点 E 在 AD 上.1探讨线段 AB、CD 和 BC 之间的等量关系.2探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系.【答案】见解析【解析】AB CD =BC :BE_CE 证明如下：在线段 BC 上取点 F，使 FB =AB，连结 EF 在. ABE 和.：FBE 中AB 二 FB.AB

6、E FBEBE 二 BE. ABE 也 FBE . AEB = FEB ,. BAE =. BFE . AD =180而.BFE . CFE =180 . CDE =. CFE在.CDE 和.:CFE 中CDE ZCFE；_DCE = FCECE =CECDE 也 CFE . DEC - . FEC , CD =CF AB CD = BC ,. BEC 二.BEF . CEF = 90aitifeinxaw题模二：角平分线类D7如图，已知 AB=AC，也BAC=90,BD为/ABO的平分线，CEL BE求证：BD =2CE .C【答案】【解析】见解析延长CE交BA的延长线于点F./ BD为/A

7、BC勺平分线，CEL BEBEF BEC： BC =BF , CE =FE . NBAC =90,CEL BE NABD =NACF ,又 AB 二 AC, ABDAACF- BD 二 CF. BD =2CE.例 1.2.3 已知 NMAN =120s, AC平分/MAN点B、D分别在AN AM上.例 122FD8(1) 如图 1,若.ABC ADC =90，请你探索线段AD AB AC之间的数量关系，并证明之；(2) 如图 2,若.ABC . ADC =180，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】见解析9【解析】（1）关系是：AD - AB =AC

8、.证明：TAC平分/MAIN ZMAN =120 . CAD =/CAB =60又.ADC =/ABC =90 , . ACD =/ACB =30r,1则 AD 二 AB AC （直角三角形一锐角为 30,则它所对直角边为斜边一半）2- AD AB =AC ；（2 ）仍成立.证明：过点C分别作AM AN的垂线，垂足分别为E、F/AC平分/MAN CE =CF （角平分线上点到角两边距离相等）/ . ABC . ADC =180 , . ADC . CDE =180 . CDE =/ABC又.CED =/CFB =90CEDACFB（AAS/ ED =FB , AD AB =AE -ED AF

9、FB =AE AF由（1）知 AE AF =AC , AD AB 二 AC .例 1.3.1如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，.汨 DC 是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 的/MDN，点 M、N 分别在 AB、AC 上，求.：AMN 的周长.【答案】 见解析【解析】 如图所示，延长 AC 到 E 使 CE 二 BM .在 BDM 与 CDE 中，因为 BD =CD ,. MBD - . ECD =90 , BM =CE ,itifenxoM题模三：截长补短类010-566399810所以：BDM 也 CDE，故 MD 二 ED .因为.BDC =120 , .

10、MDN =60，所以 BDM . NDC = 60 .11又因为.BDM 二.CDE，所以.MDN 二.EDN =60 .在.MND 与 END 中，DN =DN , . MDN 二/EDN =60 , DM 二 DE , 所以. MND 也 END，贝 U NE =MN，所以.AMN 的周长为 2 .例 1.3.2阅读下列材料：如图 1,在四边形 ABCD 中，已知/ ACBN BAD=105，/ ABC2ADC=45 .求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，/ CAB=30，/ DAC=75，/ DCA=60，/ ACB+ZDAC=180，由 求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角

11、形 即过点 A 作 AE AB 交 BC 的延长线于点 E,则 AB=AE/E=ZD.在厶 ADCMCEA 中,rZD=ZELAC=CAADC2ACEA得 CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题:如图 2,在四边形 ABCD 中，若/ 请你给出证明；若不相等，请说明理由【答案】 见解析【解析】 该题考查的是全等三角形的判定与性质.CD 与 AB 相等.证明如下：E010-566399812【答案】见解析【解析】延长 AD 到 M，使 DM =AD，连结 EM，利用 SAS 证明 ADC：MDE , . 3 - . M , AC =EM .作 AE =AB 交 BC 的延

12、长线于点E, . B =/E.B =/D . D =/E, . ACB . DAC =180 . DAC =/ECA ,在 DACn ECA 中.ACB . ECA =180 ,.D = E: ZDAC ZECAAC =CADACAECACD =AE - CD 二 AB .随堂练习随练 1.1 如图所示，已知 UABC 中，AD 平分 BAC , E、F 分别在 BD、AD 上. DE =CD , EF =AC .求证：EF / AB .aitifenxow13又 AC =EF , EM =EF , . 1 = . M . 1 - . 3,/ AD 平分.BAC , 2= 3,010-5663

13、99814.仁/2 , EF / AB .M随练 1.2 已知 AABC 中，.A =60 , BD、CE 分别平分.ABC 和.ACB , BD、CE 交于点 O , 试判断 BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明.【答案】见解析【解析】BE CD =BC ,理由是：在 BC 上截取 BF BE，连结 OF ,利用 SAS 证得.BEO BFO , Z1 Z2 ,1 . A =60. BOC =90、_A=120 ,二 DOE =120 ,2 EA . DOE =180，三 AEO ZADO =180 ,13 =180 , . 2.4 =180. 1 = . 2. 3=/4 ,利用 AAS

14、 证得 CDO 也. CFO , CD =CF , BC =BF CF =BE CD .随练 1.3 如图，在ABC中，NBAC=60*, NACB=40*,P Q分别在BC CAh,并且AP BQ分别是/BAC/ABC的角平分线求证：(1) BQ =CQ ;辛爱提分 aitifenxowQ15(2) BQ AQ 二 AB BP .【解析】该题考察的是全等三角形.(1 )BQ是 ABC 的角平分线，1 ./QBC ABC .2 . ABC . ACB . BAC =180，且.BAC =60 , . ACB =40 , ABC =80 ,1- /QBC80 =40 ,2 ZQBC ZC , B

15、Q =CQ ;(2)延长AB至M使得 BM =BP，连结MP . M - . BPM ,ABCKBAC =60 , . C =40 , . ABC =80 , BQ 平分.ABC , QBC =40 ZC , BQ =CQ ,TZABC ZM ZBPM, EM 二.BPM =40 /C , AP 平分.BAC , . MAP =/CAP ,在AMPAACF中,M =/C !ZMAP/CAPIAP =APAMAACP AM = AC ,/ AM =AB BM =AB BP , AC =AQ QC =AQ BQ , AB BP =AQ BQ010-566399816随练 1.4 五边形ABCD中，

16、AB =AE , BC DE =CD , . ABC . AED =180，求证：AD平分/CDE【答案】 见解析【解析】 延长DE至F,使得 EF =BC，连接AC/ . ABC . AED =180 ,. AEF . AED =180 , . ABC =. AEF/ AB=AE,BC=EFABCAAEF EF =BC , AC =AF/ BC DE =CD , CD =DE EF = DF ADC ADF -. ADC =/ADF即AD平分/CDE随练 1.5 如图， ABC 中，.BAC B C , AD 是 BC 边上的高，如果 C AB BD，我们就称 ABC 为“高和三角形” 请你

17、依据这一定义回答问题：(1 )若 ZBAC =90 , ZC =30，则 ABC_ “高和三角形”(填“是”或“不是”);(2) 一般地，如果 ABC 是 “高和三角形”，则 NB 与三 C 之间的关系是 _ ，并证明你的结论Q17【答案】(1)是(2). B=2C;见解析【解析】 该题考察的是全等三角形.(1)如图，Rt ABC 中，.BAC =90,. B =60,. C =30在 BC 上截取 BE =AB，则 ABE 为等边三角形 AB =BE =AE/ . BAE =60,. BAC =90. EAC =30 : _CAE =ECAB=EC/ AD _ BC，且 ABE 为等边三角形

18、 BD 二 DEDC =DE EC =BD AB是高和三角形.(2)如上图，在 ABC 中，在 DC 上截取 DE =BD . CD =AB BDCE二ABC EACBEA =2 C/ AD 是 BC 边上的高且 BD 二 DEABDAAED( SAS乙 AEB ZB乙B =2/C随练 1.6 如图所示，.乙 BAC ZDAE =90 , M 是 BE 的中点，AB 二 AC , AD 二 AE，求证 AM _ CD .自itifenxoM010-566399818【答案】 见解析【解析】 如图所示，设 AM 交 DC 于 H，要证明 AM _CD，实际上就是证明.AHD =90，而条件 BM

19、 二 ME 不好运用，我们可以倍长中线 AM 到 F ,连接 BF 交 AD 于点 N，交 CD 于点 O .容易证明AME 也.FMB则 AE =FB , ZEAF ZF，从而 AE / FB , . ANF =90而. CAD . DAB =90 , . DAB . ABN =90，故.CAD =/ABN从而 CAD 也 ABF，故.D /F而.D. DON =/FOH . F =90故.AHD =90，亦即 AM _ CD .在厶ABE中，T厶.3AEB =180 , 3 =90Z1同理， 4 =90 - 2 . 1 - . 2，乙 3 Z4 , AB =AM/ BEXAE- BM =2

20、BE, AC - AB 二 AC - AM 二 CM ,/ 4 是厶 BCM 勺外角，. 4 = 5 CABC中，.ABC =3. C , . 1=.2 ,BEX AE求证：AC-AB=2BE .延长BE交AC于M,/ BEXAE WAEB ZAEM =90AEE【解19itifenxoM/ . ABC =3. C , . ABC =/3 . 5 =/4： /5二 3. C =/4： /5 =2. 5： /C . 5 =/C - CM =BM , AC _AB =BM =2BEy自我总结课后作业作业 1 已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且.BAE =/CDE .【解析】

21、延长 DE 到 F,使 EF =DE，连接 BF,/ E 是 BC 的中点， BE 二 CE ,010-566399820在 BEF 和厶 CED 中BE =CE上 BEFCEDEF =DEBEFA CED . F =/CDE , BF =CD . . BAE =. CDE , . BAE =. F . AB =BF ,又 BF =CD , AB =CD .作业 2 如图，在ABC 中，D 为 BC 边上的中点，AE 平分乙 BAC 交 BC 于 E, DF /AE 交 AC 于 F, AC =2 , AB=1，求 CF 的长.3【答案】-2【解析】解：延长 DF 交 BA 延长线与点 G,延

22、长 FD 到 H 使得 HD =FD，连接 BHAE 平分/BAC , DG /AE ,. BAE - EAC - DFC - AFG - DGA , FA =GA,又-DH =DF , CD =DB，易得.：CFD =.：BHD ,.CF 二 BH , - CFD = BHD = AGF ,贝 U BH =BG =CF，设 AF =x，贝 U BG =1 x , CF =AC AF =2 x =BH =BG =1 x ,13解得，x =- , CF=2-x 二一.22彳爱提分itifenxoM010-566399821作业 3 如图，在ABC中，NC=2B ,AD平分/BAC求证：ABAC

23、=CD .【答案】见解析【解析】在AB上截取点E,使得 AE 二 AC ./ AD平分/BAC .EAD =. CAD ,ADE2AADC(SAS. NAED =NC,ED =CD.C =2BAED=2B ./ ZAED ZB ZEDB，乙 B ZEDB , BE =DE . CD =BE =AB _AE =AB AC .作业 4 已知：.AOB =90 ,OM是/AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA OB交于C D.(1)_PC和PD的数量关系是.(2) 请你证明(1)得出的结论.G辛爱提分 aitifenxow010-566399822【答案】见解析【解

24、析】(1) PC=PD.(2)过P分别作PE! OB于E,PF丄0A于F, . CFP 二/DEP =90 , OM是/AOB勺平分线， PE =PF ,T. 1. FPD =90，且.AOB =90 , /FPE =90 ,. 2 FPD =90. 1=/2 ,在厶CFPfHADEP中CPF =. DEP2PF =PE, CFPADEPPC=PD.1 =/2作业 5 已知：如图， ABC 中，AB =AC，BD 平分/ ABC BC 上有动点 P.(1)DPI BC 时(如图 1),求证：BP=DC CP ;(2)DP 平分/ BDC 时(如图 2), BD CD CP 三者有何数量关系？A

25、【答案】(1)见解析(2) BD 二 CD CP23【解析】(1)证明：在 BP 上截取 PM =PC，连接 DM/ DP 丄 BC, DM 二 DC , . C =/DMC , AB =AC , . ABC 二/C =/DMP ,/ BD 平分/ ABC . ABC =2. DBC =/C , . DMC =2 DBC ,.DMC =. DBC . BDM , . DBC =/MDB , DM 二 BM 二 DC , BP =BM PM =DC CP .(2)解：BD =CD CP ,理由是：在 BD 上截取 DM =DC，连接 PM/DP 平分/ BDC EMDP /CDP,在厶 MDPI

26、 CDP 中JDM=DCZMDPZCDPDP =DP MD CDP( SAS , CP 二 MP，/C ZDMP ,vZC ZABC =2/DBC, ZDMP =2EDBC ZDBC ZMPB , DBC ZMPB , BM =MP 二 CP ,辛爱提分 aitifenxow010-566399824 BD 二 CD CP .作业 6 已知等腰ABC , A =100 , ABC 的平分线交 AC 于 D，贝 U BD AD =BC .25【答案】见解析【解析】如图，在 BC 上截取 BE =BD，连接 DE ,过 D 作 DF / BC，交 AB 于 F，于是.3 =. 2 , ADF 二/

27、ECD .又T.仁 2, . 1 二/3，故 DF 二 BF .显然 FBCD 是等腰梯形. BF 二 DC , DF 二 DC .1 1 1T. 2 ABC180 -100=20,1.BED =. BDE 1802 =80 , . DEC =180 一/BED =100. FAD 二/DEC =100 ,- . AFD 也.：EDC , AD =EC .又 BE =BD , BC =BD EC = BD AD .E作业 7 如图，在 ABC 中，AB =AC , D 是三角形外一点，且 .ABD =60 , BD DC =AB .求证:【答案】见解析【解析】延长 BD 至 E,使 CD =DE，连接 AE AD,/ BD CD =AB , BE =BD DE , BE =AB ,/ . ABD =60 , ABE 是等边三角形，辛爱提分 aitifenxow010-566399826 AE =AB =AC , .