北京市海淀区-2014年海淀高三上学期期中考试数学理试题

1、海淀区高三年级第一学期期中练习数学 (理科 ) 2013.11本试卷共4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 A 1,1,2 ， B x | x1 0，则A B()A.1,1,2B. 1,2C. 1,2D. 22.下列函数中，值域为(0,) 的函数是 ()A.f ( x)xB.f ( x)ln xC.f ( x) 2xD. f ( x)tan x3.在ABC 中，若 tan A2 ，则

2、 cos A =()A.5B.525D.2555C.554.在平面直角坐标系xOy 中，已知点 O(0,0), A(0,1), B(1,2),C( m,0) ，若 OB / / AC ，则实数 m 的值为 ()A.2B.1C.1D.2225.若 aR ，则 “a 2a ”是 “a1 ”的（ B）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列 an的通项公式 a 2n(3n13) ，则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是（）nA.S3B.S4C.S5D.S67.已知 a0 ，函数 f ( x)sin x, x 1,0),112若 f (t)，则

3、实数 t 的取值范围为（）ax2ax1,x0, ),32A.2B. 1,0)C. 2,3)D.(0,),0)3sin xcos x8.已知函数 f (x)，在下列给出结论中：sin x cos x是 f ( x) 的一个周期；f ( x) 的图象关于直线 x4对称； f ( x) 在 (,0) 上单调递减 .2其中，正确结论的个数为（）A.0 个B.1 个C.2 个D.3个二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分。11)dx9.(2 x_.010.已知数列 an 为等比数列，若a1a35,a2a410 ，则公比 q_.11.已知 a log 2 5,2b3,c log 32

4、，则 a,b, c 的大小关系为 _.y12. 函 数 f ( x)2 s i n (x)(图 象)如图所示，则_ ，0,| 的|21_.O3x13.已知ABC 是正三角形，若 aACAB 与向量 AC 的夹角大于 90，则实数的取值范围是 _.14.定义在 (0,) 上的函数 f ( x)满足：当 x1,3)时， f ( x) 1| x2 |； f (3 x)3 f ( x) . 设关于 x 的函数F ( x) f ( x) a的零点从小到大依次为x , x , , x ,. 若a 1xxx3； 若a ( 1 , 3 )12n， 则 12， 则x1x2xn2 _.三、解答题 :本大题共 6

5、小题，共 80 分。解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13 分）在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A 60 , 3b 2c,33S ABC.2（）求 b 的值；（）求 sin B 的值 .16. （本小题满分 14分）已知函数 f ( x)3cos4 x 2cos2(2 x) 1.4（ I ）求 f ( x ) 的最小正周期；（ II ）求 f ( x) 在区间 , 上的取值范围 .6417.（本小题满分13 分）如图，已知点 A(11,0) ，直线 xt ( 1t11) 与函数 yx1 的图象交于点P ，与 x 轴交于点 H ，

6、记APHy的面积为f (t) .P（ I ）求函数f ( t) 的解析式；OHA（ II ）求函数f (t) 的最大值 .x18.（本小题满分13 分）已知数列 an 满足： a20；对于任意正整数p, q 都有 ap aq2 p q 成立 .（ I ）求 a1 的值；（ II ）求数列 an 的通项公式；（ III ）若 bn( an1)2 ，求数列 bn 的前 n 项和 .19.（本小题满分14 分）已知函数f ( x)x22(a1)x2a ln x(a0) .（ I ）当 a（ II ）求（ III ）若1 时，求曲线yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；f ( x) 的

7、单调区间；f (x)0 在区间 1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围 .20.（本小题满分13 分）an, a3l ,lN* ,已知数列 an 的首项 a1a,其中 aN* ， an 13n令集合 A x | x an ,n N* .an1 , an3l ,lN* .（ I ）若 a4 是数列 an 中首次为1 的项，请写出所有这样数列的前三项；（ II ）求证： 1,2,3A；（ III ）当 a2014 时，求集合A中元素个数 Card ( A) 的最大值 .海淀区高三年级第一学期期中练习一、选择题ACBCBBDC二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9.210

8、. 211. a b c12. 2, 3 613. 214； 6(3n1)三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13 分）解：（）由 A60 和SABC3 3可得1 bcsin 603 3, -2分222所以 bc6 ，-3分又 3b2c,所以 b2, c 3 .-5分（）因为b2, c3 , A60 ,由余弦定理 a2b2c22bccos A 可得-7分a222326 7 ，即 a7 .-9分由正弦定理ab可得 -11分sin A sin B72，-12分sin60sin B所以 sin B21.-13分716. （本小

9、题满分14 分）解：（ I） f ( x)3cos4 x -2分cos(4x)23cos4 xsin4x-4分2sin(4 x -6分)3f ( x) 最小正周期为T -8分，2（ II ）因为 x，所以 4x 4-10 分64333所以3sin(4 x1-12分2)3所以3 2sin(4 x2，-13分)3所以 f ( x) 取值范围为 3,2 .-14分17.（本小题满分 13 分）解：（ I）由已知 AH11t, PHt1-1分所以APH 的面积为 f (t)1t )t1,1t11. -4分(112（ II ）解法 1.f '(t)1t11(11t)21122t3(3t)-7分4 t1由 f '( t) 0 得 t3 ，-8分函数 f (t) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表：t(1,3)3(3,11)f '(t)+0f ( t)极大值-12分所以当 t3 时，函数 f (t) 取得最大值 8.-13分解法 2.由 f (t )1 (11t )t 11(11t)2 (t1),1t1122设 g(t)(11 t) 2 (t 1), 1t11，-6分则 g '(t)2(11t)(t1)(11t) 2( t11)(t112t2)3(t 3)(t 11) .-7 分函数 g(t) 与 g '(t) 在定义域上的情况下表：t(