北大版金融数学引论第二章答案

1、版权所有，翻版必究第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款 1000+X元，年利率 7%。计算 X 。解：S = 1000s ?+Xs?p7%10p7%20X =50000 - 1000s20?p 7%= 651 72s ?p7%.102价值 10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限 4年。月结算名利率 18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为 X ，则有10000 = X + 250a48?p1.5%解得X = 1489.363设有 n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率 i = 1。

2、试计算该年金的现值。n解：P V=na?npi=1 - v nn1n=(n + 1)nn2-nn+2(n + 1) n4已知： a?np= X ， a ?np= Y 。2试用 X 和Y 表示 d 。解： a2?np= a?npn p(1 - d)n则1+ a?Y - X) nd = 1 - (X5已知： a?7p= 5.58238, a ?p= 7.88687, a ? = 10.82760。计算 i。1118 p解：a18 ?p = a?7p + a11?pv7解得i = 6.0%6.证明： 1s10? p +a? p 。=s10? p1-v 10北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权

3、所有，翻版必究证明：s ?+ a ?(1+i) 10- 1+1110pp=ii =10p101 - v10(1+i)- 1s ?i7已知：半年结算名利率6%，计算下面 10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：P V = 100a?8p3% + 100a20?p 3% = 2189.7168某人现年 40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计 25年。然后，从 65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前 25年的年利率为 8%，后15年的年利率 7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为 X ，选择 65岁年初为比较日1000¨?

4、X¨ ?p7%25 p8%=15解得X = 8101.659已知贴现率为 10%，计算 ¨?8p。解： d = 10%，则 i 1-d - 1 =1 9=11 - v 8= 5.6953¨?8p = (1 + i)i10.求证：npnp+ 1 -(1) ?¨ = a?vn ；(2) ?¨np = s? - np 1 + (1 + i) n并给出两等式的实际解释。证明：(1) ¨?np =1- d vn=1- i vn =1 - v ni+ 1-vn1+i所以¨?np = a?np + 1 - v n(1+ nnnn - 1n

5、p(1+i ) - 1=(1+i) - 1i) - 1(2) ?¨ =i+ (1 + i)d1+ii所以np= s? -np1 + (1 + i)n¨?版权所有，翻版必究12.从 1980年 6月7日开始，每季度年金100元，直至 1991年 12月 7日，季结算名利率6%，计算： 1）该年金在 1979年 9月 7日的现值； 2）该年金在 1992年 6月 7日的终值。解：P V = 100a49?p1.5% - 100a?2 p1.5% = 3256.88AV = 100s 49?p1.5% - 100s?2 p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年

6、金A 和 B。年金 A 在第 110年和第 21 30年中每年1元，在第 11 20年中每年 2元；年金 B在第 1 10年和第 2130年中每年付款金额为 Y ，在第 11 20年中没有。已知：v10=1 ，计算 Y。2解： 因两种年金价值相等，则有a30 ?pi +a10?piv10=Y a30 ? - piY a10? piv10所以Y = 3- v10- 2v30= 11+v10- 2v30 .814.已知年金满足： 2元的 2n期期末年金与 3元的 n期期末年金的现值之和为 36；另外，递延 n年的 2元 n 期期末年金的现值为 6。计算 i。解： 由题意知，2a?npi+ 3a?=

7、 362npi2a?npivn = 6解得a?7p15.已a11?p知i = 8.33%a?3p + sX ?p= aY ?p + sZ?p 。求 X ，Y 和 Z。解： 由题意得1 - v1 - v解得711= (1 + i) X - v3 (1 + i) Z - vYX=4,Y =7,Z=416.化简 a15?p(1 + v15 + v30)。解：15p153045pa ?(1 + v+ v) = a ?北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在 4月 1日的价值

8、为 P 4.5%×2000 = 46444.44 ，则= 1+4 .5%P V =P= 41300.657(1 + i)2+ 2318.某递延永久年金的买价为P ，实利率 i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为 t，有1P = i vt解得lnt = - ln(1+ iPi)19.从现在开始每年初存入 1000元，一直进行 20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额 X ，直至永远。计算 X 。解： 设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有X1000¨20? pi=v29i解得X = 1000(1 + i) 30- (1 + i) 10 )20.某人将遗产以永久年金的

9、方式留给后代A 、B、C、和 D ：前 n年， A 、 B和C三人平分每年的年金， n年后所有年金由 D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算 (1 + i) n。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为i ，那么 A,B,C 得到的遗产的现值为 i，而 D 得到遗产的现值为 vn。由题意得3a?npi1 - v n= vn3所以(1 + i) n= 421.永 久 期 末 年 金 有 A 、 B、C、和 D四 人 分 摊， A 接 受 第 一 个 n年， B接受 第 二个n年， C接受第三个 n 年， D接受所有剩余的。已知： C与A 的份额之比为 0.49，求B与D 的份额之比。版权所

10、有，翻版必究解： 由题意知PVC =a?np= 0.49P VvnA2那么a?npPVB =a?np= 0.61vn13nP VvDi22.1000元年利率 4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷 100元，直至还清，如果最后一次的还款大于 100元。计算最后一次还款的数量和时间。100a?<1000n p4.5%v4解得 n = 17解：n+1? p4.5%v4>1000100a列价值方程100a ?p4.5%+Xv1 = 1000162解得X = 146.0723.36年的期末年金每次 4元，另有 18年的期末年金每次 5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内

11、将增加一倍，计算 n。解： 两年金现值相等，则4 ×a36pi= 5× ，可知?1818= 0.25v由题意， (1 + i) n= 2解得 n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元， 5年还清； k个月后一次还 6000元。已知月结算名利率为12%，计算 k。解： 由题意可得方程100a60 ?p1% = 6000(1 + i) - k解得k = 2925.已知 a?2pi = 1.75，求 i。解： 由题意得1 - v 2= 1.75i解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元， 20年

12、的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前 5年半内提前支取，银行将扣留提款的 5%作为惩罚。已知：在第4、 5、 6和7年底分别取出 K 元，且第十年底的余额为一万元，计算 K 。解： 由题意可得价值方程10000 = 105Ka?2 p4%v3+Ka? 2p4%+ 10000v10则 K = 10000-10000v 10= 979.94105a?+a?52p4%v32 p4%v28.贷款 P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为 i ，后面的利率为 j。计算首次付

13、款金额 X 的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 + i) 2= X + 2Xa? 4pi + 2Xa? 5 pj(1 + i) - 4所以P (1 + i) 12X =1 + 2a?4pi + 2a?5 pj (1 + i) - 429.已知半年名利率为 7%，计算下面年金在首次付款 8年后的终值：每两年付款2000元，共计 8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前 5年每季度初支付 400元，然后增为 600元。已知年利率为 12%。（缺命令）解：P V = 4×400 + 4600v×5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为 9

14、%，计算每半年付款 600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、 11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：1(1 +i)24= a28? - pa?4pP V =24pi v3=- 14s?4pa ?27- 1s?3p1p(1 + i) (1 + i)+ s?i北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页版权所有，翻版必究33.750元的永久年金和每 20年付款 750元的永久年金可以用每次 R元的 30年期末年金代替，半年换算名利率 4%，求 R的表达式。解： 设年实利率为 i，则 (1 + 2%) 2= 1 + i 。有题意得750+750i20pi

15、i =Ra30? pis ?解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知1 = 125 is?3pi 91解得i = 20%35.已知： 1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算 R。解： 由题意得20= 1=Rda?2pii解得R = 1.9536.已知每半年付款 500元的递延期初年金价格为 10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)1解： 设贴现率为 d，则 1=i2(1 - d)+12设递延时间为 t，由题意得10000 = 2t (2)?×500v¨ p1解得t

16、=ln 20 + ln(1 - (1 - d)2)ln(1 - d)37. 计算： 3a?(2)np= 2a(2) 2? np =45s?(2)1p，计算 i。ia?= 45 × s?解：n pi1 piiia3 ×?n pi= 2×n=11i (2)i2i2解得： v, i =。2 30北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页版权所有，翻版必究38.已 知 i(4) = 16%。计 算款1元，共12年。（问题）解：39.已知： t =1+1t。求 ?n p解：以下期初年金的现值：现在开始每4个月付的表达式。n?n p =e- R0t sdsdt= ln(1 +

17、n)040.已知一年内的连续年金函数为常数 1，计算时刻 t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为1vtdt =1 - e - 0第二种年金的现值为 e- t，则ln所以t = 1 +1 i1 - e - = e- t41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入 100元的 20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为 i。因 a(t) = e ，则 e= (1 + i) 所以t141 - v 80= 4030.5380piiP V = 100 ¨? = 100(1 + i)42.现有金额为 40,00

18、0元的基金以 4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为 i，则 i = e- 1设基金可维持 t年，由两现值相等得40000 = 2400a?tpi解得t = 28北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页版权所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金额为： 1，3， 5， . . . 。另外，第 6次和第 7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意：1113(1+i) 6=(1+i) 7?i = 112P V = v + 3v 2+ ···+ (2n - 1)v n+ ·&

19、#183;·2+···= v1 + P V + 2(v + v)= v(1 + P V +1-v)2v解得:P V= 6644.给出现值表达式 Aa? np + B (Da) n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次 100元，然后每次减少 3元。解： 年金序列： A + nB, A + (n - 1) B, . . . , A + 2B, A + B 所求为 25a25 ?p+ 3(Da) 25|45. 某期末年金（半年一次）为： 800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记： A =

20、 a10?p8% ，试用 A 表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和 500元的递减，故有：2 × (10-A)10p8%+ 500(Da)10 |8%= 300A +i(2)= 6250 - 325A300a ?46. 年利率 8的十年储蓄：前 5年每年初存入 1000元，然后每年递增 5。计算第十年底的余额。解： 由题意：AV =1000s? 5p8%(1 + 8%)6+ (1000 ×1.05 ×1.085 +24···5×1.08)1000 ×1.05×1.08 + 10

21、00×1.05=100(1 + 8%)5 - 16+ 1000×1.0558%1.08×1.0801(1.051.08)511.051.08=16606.7247. 已知永久年金的方式为：第 5、 6年底各 100元；第 7、 8年底各 200元，第 9、10年底各 300元，依此类推。证明其现值为 :v4100北京大学数学科学学院金融数学系i - vd第 9 页版权所有，翻版必究解： 把年金分解成：从第5年开始的 100元永久年金，从第 7年开始的 100元永久年金 . . .。从而P V =v41001 1 = 100v411= 100v4i a?2pi ii

22、 1 - v 2i - vd48. 十年期年金：每年的 1月1日 100元； 4月1日200元； 7月 1日 300元； 10月 1日 400元。证明其现值为：1600¨10p(4)(4)1|元?(I¨)证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)(4)¨) 元1|再贴现到开始时：10? p(I(4)(4)1|元1600¨¨)49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解： 半年的实利率： j = (1 +

23、8%) 12- 1 = 3.923%PV =1+1.03 +1.032+ ···1 + j(1 + j) 21.03= (1 - 1 + j )- 1= 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初 500元，共计 4年。证明当前的准备金为：6000¨?4p (12) /12|¨ 9证： 首先把 9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000从而每年初当年的年金现值：(12)6000¨9/12|贴现到当前：4p (12)9/12|6000¨? ¨

24、;北京大学数学科学学院金融数学第 10页系版权所有，翻版必究51. 现有如下的永久年金：第一个 k 年每年底还；第二个 k 年每年底还 2R ；第三个k 年每年底还 3R；依此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为 R的永久年金 (n = 0, 1, 2, ···):每个年金的值为Ra?p在分散在每个 k年的区段里：Ra|ak|再按标准永久年金求现值：R(a|)2ak|52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, ···的现值。计算贴现率。

25、解： 由题意：1X =1i 1+i20X = (111解得： i = 0.05即： d =i 1+i= 0.04762i+i 2)(1+i) 253. 四年一次的永久年金：首次 1元，每次增加 5元， v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入解： (期初年金 )5-4= 64P V = 1 + 6v4+ 11v9+=(4n-4) =···(5n - 4)v(1 - v 4)21 -v4i=1(期末年金 )P V¨= v + 6v5+ 11v10 +····P V= v59.558754. 永久连续年金的年金函数

26、为 :(1 + k) t，年利率 i ，如果： 0 < k < i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于 0 < k < i ，故下列广义积分收敛：P V = 1 + kt- t)tdt=(1 + k) e =( 1 + i0dt01ln(1 + i) - ln(1 + k)北京大学数学科学学院金融数学系第11页版权所有，翻版必究it=11 n 1 ¨ ? t-p55. 递延一年的 13年连续年金的年金函数为 t2 - 1 ，利息力为 (1 + t) - 1 ，计算该年金现值。与原答案有出入解：114t- 1P V = exp(-1(t2- 1) exp

27、(-101 + t dt)101 + s ds)dt = 47.4356. 给出下列符号的表达式 :nn(Ia)t|和(Da) t|t=1t=1解： 由 (Ia)t|表达式有：n(Ia)t|=t=1= ntvtn¨tp? -tv tit=1it=11=1 n(1 + i) - vt- 1-i(Ia)n|展开求和即得i2=1 t=12¨np + nv ni2n(1 + i) -?由(Da) t|表达式有：ntpnt - a?t=1(Da)t| =t=1i=1 nt -n1 - vtit=1t=1i=1 n(n + 1) - 1(n - a? np)i2i2i=n2(n + 1

28、) - n + a? n pi257. 现有两种永久年金： A 金额为 p的固定期末年金； B金额为 q, 2q, 3q,的···递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利率。北京大学数学科学学院金融数学系第12页版权所有，翻版必究解： 年金现值分别为：P VA=pa?pi=pi qqP V =q(Ia)|=i+i2B(1)当P VA = P VB时有：ip = iq + qi=qp-q , p > q解得：i不存在 ,p q(2)令 f(i) = pi- qi- i q2p+ q + 2 q = 0f0(i) = -i2i2i 3

29、解得： ip-qp > q= 2q58. 某零件的使用寿命为 9年，单位售价为 2元；另一种产品，使用寿命 15年，单价增加 X 。如果某人需要 35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的 X 为多少？ (缺少利率 ?下面的计算年利率i = 5%)( 与原答案有出入 )解： 用 9年一周期的产品，则有支付的现值为：1.04)1.04)1.041= 2×1 + ( 1.01.0)P V9+ (18+ (1.027555用15年一周期的产品，则有支付的现值为：PV2=(2+X)1. 041.0415+ (1.0301×+ ( 1

30、.0 )由P V1255= PV有：X=0.699259. 计算 m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率 7%，后 n年年利率11%，smp7%np11%。?= 34, s?= 128解： 由 s?np的表达式有： (1 + 0.11) n= 0.11s?np11%+ 1AV=s ?(1 + 0.11)+ s?np11%mp7%×n=sm?p7%×(0.11s?np11% + 1) + s?np11%= 640.72北京大学数学科学学院金融数学系第13页版权所有，翻版必究60. 甲持有 A 股票 100股，乙持有 B股票 100股，两种股票都是每股 10元。

31、A 股票每年底每股分得红利 0.40元，共计 10年，在第 10次分红后，甲以每股 2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率 6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。 B股票在前 10年没有红利收入，从第 11年底开始每年每股分得红利 0.80元，如果乙也是以年利率 6%进行投资，并且在 n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对 n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。解： 设 X 为买价，有价值方程：+0.4s10?p6% + 2 = 0.8sn- 10|6% X(1 + 0.06) -(n-10)从而有：X = (0.4s 10?p6%+ 2- 0.

32、8sn - 10|6%)(1 + 0.06)(n-10) 5.22 n = 15解得：X=2.48n = 2061. 某奖学金从 1990年元旦开始以十万元启动，每年的 6月 30日和 12月 31日用半年结算名利率 8%结算利息。另外，从 1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。 (从 1991年的 7月开始？ )每年的 7月 1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在 2000年元旦的 5000元捐款后基金的余额。解： 由题意：AV = 100000(1 + 4%) 20+ 5000 s20 ?p4%- 12000(1 + 4%)s20? p4% = 109926.021s?s

33、?2 p4%2p4%62. 已知贷款 L经过 N （偶数）次、每次 K 元还清，利率 i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为 K 1，试比较 K 1与 2K 的大小。解： 由题意：2m?pi? K1=K1+1m < 2K1 mpi= Ka(1 + i)K a ?63. 已知贷款 L经过 N 次、每次 K 元还清，利率 i 。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与 N/2 的大小。解： 由题意：N1 +N2KaM ?pi =KaN ?p i? vM = v> v 2即：M < N/22北京大学数学科学学院金融数学系第14页版权所有，翻版必究64. 从 1990年

34、的元旦开始在每年的 1月和 7月的第一天存款 500元，年利率 6%，问：什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。解： 半年实利率： i = (1 + 6%) 1/2 - 1 = 2.9563% 余额首次超过 X 的时刻：500¨2n|i X8X = 10000从而解得： n 35 X = 10000065. 帐户 A 从 1985年元旦开始每年初存款 1000元，共计 10年；帐户 B从1985年元旦开始每年初存款 500元；两帐户年利率均为 5%。问：何时帐户 B的余额首次超过帐户A 。解： 由题意，设所求时间为n:1000¨10? p5% 500¨?n p5%

35、解得： n - 1 故30在 2015年的元旦 B超过 A 。66. 已知 A = s n|i,B = sn+1|i。用 A 和 B给出 n和 i的表达式。解： 由 =(1+i) n- 1 得： (1 + i)A = B - 1i从而 i = B -A-12Aln(+1)带入 sn |i=A 解得： n =AB2-A-1ln(B - 1)A67.分别对以下三种情况给出i的表达式 :1)A = a? npi, B = s?n pi2)A = a? npi, B = a2?npi3)A = a? npi, B = s2?npi解： 1)Bv n = A ? i = nBA -1a 2 n |- A

36、B22)ia?np + a n |= 2 ? i = A 22nA ? i =n 2B3)vnB = A + vA+A2+4AB - 168. 对于固定的 n和L ，且 L > n ，证明： L = a?n p在 - 1 < i < 1 上有唯一解。版权所有，翻版必究证： (斯图姆判别？ ) 考虑如下现金流：初始时刻投入L, 而后的 n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率 i满足L = a?n pi由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在- 1 < i < 1, 有唯一的内部收益率。69. 证明： (Ia)n pi + (Da)ni= (n + 1)anpi ;sn+1pi=i(Is) npi + (n + 1)。并给出实际背景解释。n, n - 1, 1···证： 1)实际意义：现金流拆分 (n + 1), (n + 1), ···, (n +1) ?1, 2,···, n(Ia)npi+ ( Da)ni =&#