北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结

1、北师大版数学（八年级上册）知识点总结组勾股数分别是：2n,n2-1,n 2+1第一章 勾股定理如：（6,8,10 ）（8,15,17 ）（10,24,26 ）1、勾股定理4、常见题型应用：（1）直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c（ ）已知任意两条边的长度，求第三边斜边上1/的平方，即 a 2b 2c 2的高线/周长/面积（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法之间的关系，求各边的长度 /斜边上的高线 /周长/面（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法积或等积法）（ ）判定三角形形状：a2

2、 +b 2c2 锐角，a23（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形+b2=c2 直角，a2 +b 2c2 钝角2、勾股定理的逆定理判定直角三角形 a.找最长边；b.比较长边的如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2b2c2 ，平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.那么这个三角形是直角三角形。确定形状满足 a2 b2c2 的三个正整数 a，b，（4）构建直角三角形解题3、勾股数：，称为勾股数。例 1. 已知直角三角形的两直角边之比为 3：4，斜边为c（）（）（，）10。求直角三角形的两直角边。常见的勾股数 有： 6,8,103,4,55,12,13（9,12,15）（7,24

3、,25）（9,40,41）解：设两直角边为，由题意知：3x4x规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。(3x) 2(4 x) 2100， 9x 216x 2100， 25x2100， x 2即当 a 为奇数且 ab 时，如果 b+c=a2 那么 a,b,c 就，则，故两直角边为， 。x=23x=6 4x=86 8是一组勾股数 . 如（ 3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）中考突破（1）中考典题（9,40,41）例. 如图（1）所示，一个梯子 AB 长 2.5米，顶端（2）大于 2 的任意偶数，2n(n1) 都可构成一A 靠在墙

4、 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5米，梯子滑动后停在 DE 位置上，如图（2）所示，测得得 BD=0.5米，求梯子顶端 A 下落了多少米？AAECBCBD（1）（2）思维入门指导：梯子顶端 A 下落的距离为 AE，即求 AE 的长。已知 AB 和 BC，根据勾股定理可求 AC，只要求出 EC 即可。解：在 RtACB 中，AC2=AB 2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2BD=0.5，CD=2在Rt ECD 中， EC 2ED 2CD 225. 2222.25EC=1.5AEACEC215.05.答：梯子顶端下滑了 0.5 米。点拨：要考虑梯子的长度不变。例 5

5、. 如图所示的一块地， AD=12m，CD=9m，ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。4ADCB思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结 BD，似乎不 得要领，连结 AC ，求出 S ABCS ACD 即可。解：连结 AC，在 RtADC 中，ADCBAC 2CD 2AD 212292225AC15在ABC 中，AB2=1521算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a实数2a负有理数，即x那么这个非负数x就叫做 的算术平方根，记为a，a正无理数算术平方根为非负数a0正数的平方根有2 个，它们互为相反数无理数无限不循环小平方根 的平方根是

6、00数负数没有平方根2. 无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即 x2a，那么这个数就负无理数叫做 a的平方根，记为a2、无理数： 无限不循环小数叫做无理数。AC 2BC 21523621521AB 2AC 2BC2，ACB90°正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时S ABCS ACD11CDAC BCAD2211536112927054216(m2 )22答：这块地的面积是 216 平方米。点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。第二章 实数基本知识回顾1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。00之，归纳起来

7、有四类：的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即x3a，那么这个数xxa等；（1）开方开不尽的数，如 7 , 3 2就叫做 a的立方根，记为3a.（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含概念有理数和无理数统称实数有 的数，如 /3+8 等；正数（ 3 ）有一定规律，但并不循环的数，如有理数0.1010010001等；分类或 0无理数（4）某些三角函数值，如 sin60o 等3. 实数及其相关概念负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数二、实数的倒数、相反数和绝对值实数与数轴上的点是一一对应1、相反数实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两运算规律相

8、同。个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，一、实数的概念及分类如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之1、实数的分类亦成立。正有理数2、绝对值有理数零有限小数和在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫无限循环小数做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|= -a，则 a0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要

9、素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算利用非负数解题的常见类型根。特别地，0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“a ”，读作根号 a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。表示方法：正数 a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号 a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。注意 a的双重非负性：被开方数与结果

10、均为非正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，ab0ab,ab0ab,ab0ab（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数，a1a b; a1a b; a1a b;bbb（ 4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则例 1. 已知 x 5 | y 3|0，求 x22 y的值。负数。即 a0，解：3、立方根x 50，| y 3|0，且 x 5| y 3| 0一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那x5

11、0， |y3|0么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根）。x5 0，y30表示方法：记作 3 ax5，y 3性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有x 22y 25 6 19一个负的立方根；零的立方根是零。点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。注意：3a3 a ，这说明三次根号内的负号可三、平方根、算数平方根和立方根以移到根号外面。1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等四、实数大小的比较于 a，即 x2 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，=a1abab 。（ 5 ）平方法：设a、 b 是两负实数，则a 2b 2ab 。（6）倒数法

12、：设 a、b 是同正,如果 1/a1/b ，则 ab; 同负，如果 1/a1/b，则 ab五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） (a )2a(a0)（2） a 2aa(a0)a(a0)（3）abab( a 0, b 0)（ a bab ( a0, b0) ）（4）aa ( a0 , b0 )bb（ aa (a 0,b0) ）bb3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘

13、方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律abba加法结合律(ab) ca(b c)乘法交换律abba乘法结合律(ab)ca(bc)乘法对加法的分配律a(bc)abac例. 计算：（1）2121；移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；（ 2）3232；作法 2：将线段一端点平移，然后过平移 后的点（3） 23 23；作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为（ 4）5252.指定线段长度，则所得线段为所求 .通过以上计算，观察规律，写出用 n（n 为正整数）表示上面规律的等式。二、旋转解：1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个22232

14、2方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个211；321； 41；54 1n1n n1n1定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。规律：2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转方向（顺第三章 图形的平移与旋转时针/逆时针）、旋转角度（03600）一、平移3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成一定的距离，这样的图形运动称为平移。的角等于旋转角。2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；4、旋转作图：距离，即对应点之间的距离（1）作图步骤：观察基本图案（确定关键点） 3、性质：平移前后

15、两个图形的形状和大小不变（即确定旋转的三要素 找到对应点 连接对应点全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线上）作答且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，（2）旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中对应角相等。心连接4、平移作图：、按要求向顺时针/逆时针2线段的平移作法：旋转相应角度作法 1：将线段两端点分别平移，然后将两个平、截取对应线段3、连接对应点2、平行四边形的性质相等）4、作答（1）平行四边形的对边平行且相等。两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条5三、简单的图案设计：（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等直线的距离，叫做这两条平行线的距离。第四章 四边形性质探索

16、（3）平行四边形的对角线互相平分。5、平行四边形的面积： S平行四边形=底边长×高=ah一、四边形的相关概念（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对三、菱形1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的角线的交点。1、菱形的定义四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、四边形具有不稳定性交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对2、菱形的性质3、四边形的内角和定理及外角和定理角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面（1）菱形的四条边相等，对边平行四边形的内角和定理：四边形的内角和等于积。（2

17、）菱形的相邻的角互补，对角相等360°。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对四边形的外角和定理：四边形的外角和等于3、平行四边形的判定角线平分一组对角360°。（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对推论：多边形的内角和定理： n 边形的内角和等边形称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距于(n-2) × 180 °；（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。多边形的外角和定理：任意多边形的外角四边形3、菱形的判定和等于 360°。（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是