天津市五区县2018-2019年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

1、2018-2019 学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10 小题，每小题4 分，满分40 分）1直线 3x+y+1=0 的倾斜角是（）A30°B60°C 120°D 150°2如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）ABCD 3已知圆2222 9=0 ，则两圆圆心的距离等M ：（ x 5）+（ y 3）=9，圆 N ： x +y 4x+2y于（）A25B10C 2D 54抛物线x2 4y=0 的准线方程是（）A y= 1B

2、 y=C x= 1D x= 5以椭圆+=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（）A y=± xB y=± xC y=± xD y= ±x6“a=”是 “直线 l1 ：（ a+2）x+（ a2）y=1 与直线 l2：（ a 2）x+（ 3a 4）y=2 相互垂直 ”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件7设 L 、 m、n 表示不同的直线，、 、 表示不同的平面，给出下列三个命题：正确的是（） 若 m L 且 m ，则 L 若 m L 且 m ，则 L 若 =L ， =m， =n ，则 L m nA0

3、个B1 个C2个D3 个8已知M 、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点， P 点在线段MN上，且MP=2PN ，设=，=，=，则=（）A +B +C+D+9已知椭圆C：+=1（ a b 0）的左、右焦点为F1 、F2，离心率为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点，若 AF 1B 的周长为4 ，则 C 的方程为（）A+=12C+=1D+=1B +y =110有下列命题： 设集合 M=x|0 x3 ， N=x|0 x2 ，则 “aM ”的充分而不必要条件是“aN”；“ a Mb M ”“ b Ma M ”命题若，则?的逆否命题是若，则?；若 pq 是假命题，则p， q 都是

4、假命题；Rx2 x 10”的否定 P： “? xR， x2x 10”00 命题 P： “?x0 ，则上述命题中为真命题的是（）ABCD 二、填空题（共5 小题，每小题4 分，满分 20 分）11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12点 A （ 2，3）关于直线l ： 3x y 1=0 的对称点坐标是13过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B点 M ，若 MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为两点，设双曲线的左顶14斜率为1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点，与抛物线相交于A， B 两点，则|AB|=215椭圆+y =1 上的点到直线xy+3=0

5、 的距离的最小值是三、解答题（共5 小题，满分60 分）16已知圆C：（ x 3） 2+（y 4） 2=4 及圆内一点P（ 2， 5）（ 1）求过 P 点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程；（ 2）求过点 M （ 5， 0）与圆 C 相切的直线方程17如图，在三棱锥P ABC 中， AC=BC=2 ， ACB=90 °，侧面 PAB 为等边三角形，侧棱（）求证： PC AB ；（）求证：平面PAB 平面 ABC 18已知 ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（2， 0），（ 2，0），且 AC ， BC 所在直线的斜率之积等于（1）求顶点C 的轨迹方程；（）若斜率为1 的直线 l

6、 与顶点 C 的轨迹交于M ， N 两点，且 |MN|=，求直线l 的方程19如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧棱 PA 底面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，AD=2AB=2PA ， E 为 PD 的上一点，且 PE=2ED ，F 为 PC 的中点（）求证： BF 平面 AEC ；（）求二面角E AC D 的余弦值20已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若 M 的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M 的离心率，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l，交M 于A，B 两点（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设点 N （ t， 0）是一个动点，且，求实数t 的取值范围20

7、18-2019 学年天津市五区县高二 （上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题 4分，满分40 分）1直线 3x+y+1=0 的倾斜角是（）A30°B60°C 120°D 150°【考点】 直线的倾斜角【专题】 计算题；规律型；直线与圆【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【解答】 解：直线3x+y+1=0 的斜率为：，直线的倾斜角为：， tan，可得 =120 °故选： C【点评】 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力2如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底

8、面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）ABCD【考点】 平面的基本性质及推论【专题】 对应思想；分析法；空间位置关系与距离【分析】 根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征， 分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案【解答】 解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件；故截面图形可能是（1）（ 5），故选： D【点评】 本题考查的知识点是旋转体， 圆锥曲线的定义， 熟练掌握圆锥曲线的定义是解答的关键3已知圆M ：（ x

9、5） 2+（ y 3） 2=9，圆 N ： x2+y 2 4x+2y 9=0 ，则两圆圆心的距离等于（）A25B10C 2D5【考点】 圆与圆的位置关系及其判定【专题】 计算题；函数思想；方程思想；转化思想；直线与圆【分析】 求出两个圆的圆心坐标，利用距离公式求解即可【解答】 解：圆 M ：（ x 5） 2+（ y 3） 2=9 的圆心坐标（5， 3），圆 N ： x2+y 2 4x+2y 9=0 的圆心坐标（ 2， 1），则两圆圆心的距离等于：=5 故选： D【点评】 本题考查圆的方程的应用，两点距离公式的应用，考查计算能力4抛物线 x2 4y=0 的准线方程是（）A y= 1B y=C x

10、= 1D x= 【考点】 抛物线的简单性质【专题】 计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 利用抛物线方程，直接求出准线方程即可【解答】 解：抛物线 x2 4y=0，即 x2=4y，抛物线的直线方程为：y= 1，故选： A【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题5以椭圆+=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（）A y=±xB y=±xC y=±xD y= ±x【考点】 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】 计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 求出椭圆的焦点与顶点坐标，即可求出双曲

11、线的顶点与焦点坐标，然后求解双曲线渐近线方程【解答】 解：椭圆+=1 的焦点（ ±1， 0），顶点（ ±2，0），可得双曲线的a=1， c=2， b=，双曲线渐近线方程是：y=x故选： B【点评】 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6“a=”是 “直线 l1 ：（ a+2）x+（ a2）y=1 与直线 l2：（ a2）x+ （3a 4） y=2 相互垂直 ”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】 分类讨论；转化思想；简易逻辑【分析】对 a 与直线的斜率分类讨论，可得

12、两条直线相互垂直的充要条件即可判断出结论【解答】 解：当 a=2 时，两条直线分别化为：4x=1 ， y=1 ，此时两条直线相互垂直；当 a=时，两条直线分别化为：10x 2y=3 ，x= 3，此时两条直线不相互垂直，舍去；当 a ， 2 时，由于两条直线相互垂直，×= 1，解得a=综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=或3“a=”是“直线 l 1：（ a+2）x+ （ a 2） y=1 与直线 l2：（ a 2）x+ （ 3a 4）y=2 相互垂直 ”的充分不必要条件故选： A【点评】 本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题7

13、设 L 、 m、n 表示不同的直线，、 、 表示不同的平面，给出下列三个命题：正确的是（） 若 m L 且 m ，则 L 若 m L 且 m ，则 L 若 =L ， =m， =n ，则 L m nA0 个B1 个C2个D3 个【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】 空间位置关系与距离【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】 解：由 L、 m、 n 表示不同的直线，、 、 表示不同的平面，知： 若 m L 且 m ，则由直线与平面垂直的判定定理得L ，故 正确； 若 m L 且 m ，则 L 或 L? ，故 错误； 正方体中相交的两个侧面同时与底相交，得到交线并不平

14、行，故 错误故选： B【点评】 本题考查命题真假的判断， 是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8已知 M 、N分别是四面体OABC 的棱 OA，BC 的中点， P 点在线段 MN 上，且 MP=2PN ，设= ，= ，=，则=（）A+B+C+D+【考点】 空间向量的基本定理及其意义【专题】 数形结合；转化思想；空间向量及应用【分析】如图所示，=，=，=，=，= 代入化简整理即可得出【解答】 解：如图所示，=，=，=，=，=+= +=+=+=+故选： C【点评】 本题考查了向量的三角形法则、 平行四边形法则、线性运算， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知椭圆C：+=1（ a

15、 b 0）的左、右焦点为F1、 F2，离心率为，过 F2 的直线 l交 C 于 A、B 两点，若 AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（）A + =1B +y2 =1C+=1D+=1【考点】 椭圆的简单性质【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 利用 AF 1B 的周长为 4，求出 a=，根据离心率为，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程【解答】 解： AF B4，1 的周长为 AF 1B 的周长 =|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为， c=1，b=，椭圆 C 的方程为+=1故选： A【点评】 本题考查椭圆的定义与方程，

16、考查椭圆的几何性质， 考查学生的计算能力，属于基础题10有下列命题： 设集合 M=x|0 x3 ， N=x|0 x2 ，则 “aM ”的充分而不必要条件是“aN”；“ a Mb M ”“ b Ma M ”命题若，则?的逆否命题是若，则?； 若 pq 是假命题，则p， q 都是假命题；Rx2 x 10”的否定 P： “? xR， x2x 10”00 命题 P： “?x0 ，则上述命题中为真命题的是（）ABCD 【考点】 命题的真假判断与应用【专题】 计算题；规律型；函数思想；简易逻辑【分析】 利用充要条件判断 的正误； 逆否命题判断 的正误； 复合命题的真假判断 的正误；命题的否定形式判断 的正

17、误【解答】 解：对于 ，设集合M=x|0 x3 ，N=x|0 x2 ，aN 则“aM ”， aM 不一定有 aN，所以 “aM”的充分而不必要条件是“aN”； 正确；对于 ，命题 “若 aM ，则 b? M ”的逆否命题是“若 bM ，则 a? M”；满足逆否命题的形式，所以 正确对于 ，若 pq 是假命题，则p， q 至少一个是假命题；所以 不正确；对于 ，命题 P： “? x0R，x02 x0 10”的否定 P：“? xR， x2x 10”满足命题的否定形式，所以 正确故正确故选： A【点评】 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及四种命题的逆否关系，复合命题的真假以及命题的否定的判

18、断，基本知识的考查二、填空题（共5 小题，每小题4 分，满分 20 分）11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】 由三视图求面积、体积【专题】 计算题【分析】 由已知中的三视图， 我们可以判断出几何体的形状， 进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】 解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以（2+1 ）=3 为底，以棱锥的高为3故棱锥的体积V=（ 2+1 ） 13=故答案为：【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积，题的关键1 为高的三角形其中根据已知判断出几何体的形状是解答本12点 A （ 2，3）关于直线 l ： 3x

19、y 1=0 的对称点坐标是（4，1） 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】 方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】 设所求对称点的坐标为（a， b），由对称性可得，解方程组可得【解答】 解：设所求对称点的坐标为（a， b），则，解得，所求对称点的坐标为（4，1），故答案为：（ 4， 1）【点评】 本题考查点与直线的对称性，涉及中点公式和直线的垂直关系，属基础题13过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点 M ，若 MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为2【考点】 双曲线的简单性质【专题】 计算题；转化思想；数形结合法；圆锥曲

20、线的定义、性质与方程【分析】 由题意， AMF 为等腰直角三角形，|AF|为 |AB| 的一半， |AF|=而 |MF|=a+c ，由题意可得， a+c=，即可得出结论【解答】 解：由题意， AMF 为等腰直角三角形，|AF|为 |AB| 的一半， |AF|=而|MF|=a+c ，由题意可得， a+c= ，2 2即 a +ac=b =c两边同时除以2222 a，即 c ac2a=0a2 可得， e2 e 2=0，解之得， e=2故答案为： 2【点评】 本题主要考查双曲线的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题14斜率为 1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点， 与抛物线相交于A ，B 两点，

21、则 |AB|=8【考点】 抛物线的简单性质【专题】 计算题【分析】 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立， 消去 y，根据韦达定理求得x +x =|AB|=x +1 2 的值，进而根据抛物线的定义可知1+x2+ 求得答案【解答】 解：抛物线焦点为（ 1， 0）则直线方程为 y=x 1，代入抛物线方程得x2 6x+1=0x1+x 2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x 1+x 2+=x 1+x2+p=6+2=8故答案为： 8【点评】 本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是灵活利用了抛物线的定义15椭圆+y 2=1 上的点到直线 xy+3=0 的距

22、离的最小值是【考点】 直线与圆锥曲线的关系【专题】 计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 设与直线x y+3=0 平行的直线方程为：xy+c=0 ，与椭圆方程联立，消元，令 =0，可得c 的值，求出两条平行线间的距离，即可求得椭圆+y 2=1 一点P 到直线xy+3=0 的距离最小值【解答】 解：设与直线x y+3=0平行的直线方程为：x y+c=0 ，与椭圆方程联立，消元可得5x2 +8cx+4c 2 4=0令 =64c220（ 4c2 4） =0，可得c=±两条平行线间的距离为=2或，椭圆+y 2=1 上的点到直线x y+3=0 的距离的最小值是

23、：故答案为：【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线x y+3=0 平行，且与椭圆相切的直线方程三、解答题（共5 小题，满分60 分）16已知圆C：（ x 3） 2+（y 4） 2=4 及圆内一点P（ 2， 5）（ 1）求过 P 点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程；（ 2）求过点 M （ 5， 0）与圆 C 相切的直线方程【考点】 直线与圆相交的性质【专题】 方程思想；转化法；直线与圆【分析】 （1）过 P 点且与 CP 垂直的弦长最短，由此能求出点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程（）当直线垂直x 轴时，直线 x=5 与圆 C 相切，当直线不垂直x 轴时，设直线方程

24、kx y5k=0 ，由圆心 C 到直线的距离等于半径，能求出切线方程【解答】 解：（ 1242）圆 C：（ x 3） +（ y） =4 及圆内一点 P（ 2， 5），由题意，过 P 点且与 CP 垂直的弦长最短，（1 分）圆心 C 点坐标为（ 3， 4），（3 分）所求直线的斜率k=1，代入点斜式方程，（4分）得 y 5=x 2，即 xy+3=0 P 点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程为x y+3=0 （ 6 分）（）当直线垂直x 轴时，即x=5，圆心C 到直线的距离为2，此时直线x=5与圆C 相切，（8 分）当直线不垂直x 轴时，设直线方程为y=k （ x 5），即 kx y 5k=0，圆

25、心 C 到直线的距离（10 分）解得，所求切线方程为3x+4y 15=0，或 x=5（ 12 分）【点评】 本题考查直线方程的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用17如图，在三棱锥P ABC 中， AC=BC=2 ， ACB=90 °，侧面 PAB 为等边三角形，侧棱（）求证： PC AB ；（）求证：平面PAB 平面 ABC 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【专题】 证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】 （）设 AB 中点为 D，连结 PD， CD，推导出 PD AB ，CD AB ，从而 AB 平面 PCD，进而

26、PC AB （）由已知推导出，从而CD PD，进而CD 平面PAB ，由此能证明平面PAB 平面ABC 【解答】 证明：（）设AB 中点为 D，连结 PD ，CD ，（1 分）侧面 PAB 为等边三角形，AP=BP ，PD AB ，（ 2 分）又 AC=BC ， CD AB （ 3 分）PD CD=D ， AB 平面 PCD （ 5 分）PC? 平面 PCD ， PC AB （ 6 分）（）由已知 ACB=90 °， AC=BC=2 ，（7分）又 PAB 为正三角形，且PD AB ，（8分）222， PC =CD +PD CDP=90 °， CD PD（ 9 分）CD AB

27、 ， CD 平面 PAB ，（ 11 分）CD ? 平面 ABC ，平面PAB 平面 ABC （ 12 分）【点评】 本题考查线线垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18已知 ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（2， 0），（ 2，0），且 AC ， BC 所在直线的斜率之积等于（1）求顶点C 的轨迹方程；（）若斜率为1 的直线 l 与顶点 C 的轨迹交于M ， N 两点，且 |MN|=，求直线l 的方程【考点】 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】 综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （）设出C 的坐标，利用AC 、 BC

28、 所在直线的斜率之积等于，列出方程，求出点C 的轨迹方程；（）设直线l 的方程为y=x+m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|MN|=，即可求直线l 的方程【解答】 解：（）设直线 AC 的斜率直线 BC 的斜率由已知有C 的坐标为（x， y），则，（2分），化简得顶点C 的轨迹方程，（5 分）（）设直线l 的方程为y=x+m ， M （ x1 ，y1）， N（ x2， y2），由题意，解得 5x2+8mx+4m 2 4=0，（ 7 分）=64m 2 20（ 4m24） 0，解得（ 8 分），（10分）代入解得m2=1，m=±1，直线 l 的方程为y=x ±1（ 12

29、分）【点评】 本题是中档题， 考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，能力，属于中档题考查计算19如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧棱 PA 底面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，AD=2AB=2PA ， E 为 PD 的上一点，且 PE=2ED ，F 为 PC 的中点（）求证： BF 平面 AEC ；（）求二面角E AC D 的余弦值【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【专题】 综合题【分析】 （）建立空间直角坐标系A xyz，设B（ 1， 0，0），则D（ 0， 2， 0）， P（ 0，0， 1）， C（1， 2， 0），设平面AEC的一个法向量为，由，知，由，得，由此能够证明BF平面（）由（）知平面AEC 的一个法向量为平面 ACD 的法