天门市、仙桃市、潜江市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

1、天门仙桃潜江20182018 学年度第二学期期末联考试题高二数学 ( 理科 )本试卷共 4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。 祝考试顺利 注意事项：1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。3、填空题和解答题用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试卷上无效。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 焦点在 x 轴上且渐近线方程为 (3

2、x4 y)(3 x 4y) 0 的双曲线的离心率为545D.5A .B.C.32342“ x 1 ”是“ 11 ”的xA 充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件3在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为 1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4给出下列四种说法（ 1）平均说来一队比二队防守技术好（ 2）二队比一队技术水平更稳定（ 3）一队有时表现很差，有时表现又非常好（ 4）二队很少失球其中说法正确的个数有A1个B. 2 个C3个D. 4 个4登山族为了了解某山高y( km) 与气温 x(

3、 oC) 之间的关系，随机统计了4 次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温 x( oC)181310- 1y( km)24343864由表中数据，得到线性回归方程? ?y2x a ( a R ) ，由此估计山高为 72km 处气温的度数为A - 4 oCB - 6 oCC - 8 oCD - 10oC5 执行右边的程序框图，若p0.8，则输出的 n A 3B 4C 5D 66圆 C : x2y2x 2 y0 关于直线 x y1 0 对称的圆的方程为A x2y24x y 4 0B. x2y22x 3 y 4 0C x2y24x 3 y 4 0D. x 2y 24 x 3 y 5 07某学校开设

4、 A 类选修课3 门， B 类选修课4 门，一位同学从中共选修3 门，若要求两类课程中各至少一门，则不同选法共有A. 15种B. 30种C. 42种D. 48种8已知过曲线y(a x b)ex 上的一点 P（ 0， 1）的切线方程为2x y1 0 ，则 a b =A. -1B. 0C. 1D. 29某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20，40）， 40， 60）， 60，80）， 80， 100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是A45B 50C55D 6010 2018 年国庆节期间，甲、乙、丙三位打工者计划回老家陪伴父母，甲、乙、丙回老家

5、的概率分别为1 ， 1， 1 ，假设三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间至少有1345人回老家的概率为3235A .B.C.D.45512224 与抛物线 y2 x2 相交于 A， B 两点 .由圆的劣弧 AB 和抛物线弧 AOB11. 圆 O : xy2所包络而成的区域记为，在圆 O 中任取一点 P，则 P 点取自区域中的概率为1111C.111A .3B.64D.62412412.为圆周率， e 2.71828为自然对数的底数. 根据函数f (x)ln x 的单调性可得x3 ,3 , e ,e 这四个数中的最大数为A . eB.e33C.D .二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分

6、，共 20 分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13已知复数z1 3i ，则 11z2z14 (1 2x2)4 的展开式中 x4 的系数等于15已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y22 px( p 0) 的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为16一辆汽车在平直的高速公路上行驶，由于遇到紧急情况， 汽车以速度 v(t)4t （ t 的345单位为秒， s 的单位为米 / 秒）紧急刹车到停止。则紧急刹车后，汽车滑行的路程为（米）三、解答题（本大题共6 个小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（ 本题满分10 分）用数学归纳法证明： 122 2n 21n(

7、 n 1)(2n 1)(n N ) 618（ 本题满分12 分）心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样方法抽取50 名同学（男所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答。表：（单位：人）某数学兴趣小组30，女 20），给选题情况如下几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？附表及公式P(K 2k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282K

8、 2n(adbc), n abcd.(ab)(cd )(ac)(bd )（）现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2 名同学对他们的答题情况进行全程研究，记丙，丁2 名女生被抽到的人数为X，求 X 的分布列和数学期望 E (X ) 19 （本题满分12 分）如图在直角梯形ABCP 中， BC AP ， AB BC， CD AP ，AD =DC =PD =2， E， F ， G 分别是线段 PC、 PD， BC 的中点，现将PDC 折起，使平面 PDC 平面 ABCD（如图）PP（）求证 AP平面 EFG ；FEFE（）求二面角G- EF- D 的大小DCDGCGABAB22上，过点 Q 作 x

9、 轴的垂线段 MQ，垂足为 M，20（ 本题满分 12 分）已知点 Q 在圆 xy 1动点 P 满足： MP2 MQ .当点 Q 在圆上运动时，记动点P 的轨迹为曲线（）求曲线的方程和焦点坐标；（）过原点的直线与曲线相交于A、 B 两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为C，求ABC面积的最大值.21（ 本题满分12 分）已知函数f ( x)xln x（）求f (x) 的最小值；（）求证： ln x12 , x (0, )exex请考生在22，23， 24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。22（ 本

10、小题满分 10 分）【选修 4 1 几何证明选讲 】A如图 ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点E.（）证明：ABE ADC ；BDC（）若 BC 为ABC 外接圆的直径且 AD AE=2，求ABC 的面积 .E23（ 本小题满分10 分）【选修 4 4 坐标系与参数方程选讲】x a2tx4cos已知直线 l 的参数方程为(t 为参数），圆 C 的参数方程为y( 为参数）y4t4sin（）求直线l 和圆 C 的普通方程；（）若直线l 与圆 C 有公共点，求实数a 的取值范围24（ 本小题满分10 分）【选修 4 5 不等式选讲 】设函数 f ( x)x1x5 ， x R.（）求不

11、等式f ( x) x 10 的解集；（）如果关于 x 的不等式 f ( x) a ( x2在 R 上恒成立，求实数a 的取值范围2)天门、仙桃、潜江2018 2018 学年度第二学期期末联考高二数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题： （1-5） CACBB ；（ 6-10） DBDBC ；（ 11-12） DC二、填空题：13、 0； 14、 24； 15、 (42 3) p ；16、 40.三、解答题 ：17评分建议：（ 1）初始验证正确得2 分；假设式子书写正确得2 分；假设推理正确得6 分；归纳正确得2 分共计12 分18解：（）由表中数据，得 K 2 50 (22128 8)250

12、5.556 5.024302030209所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关。4 分（）由题设可知， 在选择做几何题的8 名女生中任意抽取2 名的方法共有2C8 28种。其中丙，丁 2人没有被抽到的方法有 C6215 种，恰有 1 人被抽到的方法 C21C6112 种，2 人都被抽到方法有1 种，所以 X 的可能取值为0,1,2 8 分P(X 0)15121,P( X 1),P( X 2)282828X 的分布列为X012分E(X) 0151 3211 12 分28728219解法一： （）在图中平面 PDC平面ABCD ，平面 PDC平面 ABCD

13、=DC ，PD CD， PD平面 ABCD PD AD 2 分如图，以 D 为坐标原点，直线 DA 、DC 、 DP 分别为 x、y 与 z 轴建立空间直角坐标系1 分则 D 0,0,0A 2,0,0B 2,2,0C 0,2,0P 0,0,2E 0,1,1 F 0,0,1 G 1,2,0AP2,0,2EF 0,1,0 FG1,2, 1 3 分设平面 GEF 的法向量 n( x, y, z) ，由法向量的定义得：nEF0(x, y, z)(0, 1,0)0y0y0nFG0(x, y, z)(1,2, 1)0x2 y z 0xz不妨设 z=1，则 4 分n(1,0,1)APn212 012 0 5

14、 分APn ，点 P平面 EFG AP 平面 EFG 6 分（）由（）知平面GEF 的法向量(1,0,1)，因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合n则它的一个法向量为i=（ 1， 0， 0）8 分设二面角 GEFD 为.则 cosn i12 9 分n22由图形观察二面角GEFD 为锐角，故二面角 G-EF-D 的大小为 45°12 分解法二：（ 1） EFCD AB ， EGPB ，根据面面平行的判定定理平面 EFG平面 PAB，又 PA面 PAB，AP 平面 EFG 6 分（ 2）平面 PDC平面 ABCD ， AD DCAD 平面 PCD，而 BC AD ， BC 面 EFD过

15、 C 作 CR EF 交 EF 延长线于R 点连 GR，根据三垂线定理知GRC 即为二面角的平面角， GC=CR ， GRC=45° ，故二面角 G-EF-D 的大小为 45°。12 分20解：（）设 Q(x0 , y0 ), P( x, y) 则 M( x0 ,0) ，MP ( x x0 ), MQ(0, y0 )xx00x0x由 MP2 MQ ，得 y2 y0y02 y代入圆的方程中，得P 点的轨迹方程：x2y212所以曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，焦点坐标分别为（0,1）与（ 0， -1）4 分当 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为： ykx 与 的方程联立，消去

16、 y ，整理得x2，设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 )k 22则 x x2 2 , y y2 2 k12k 2212k22AB8(k 21)8 分k 2，2设 C(0,2k) ，则点 C 到直线 AB 的距离 d2 k(k 21)(k 2k222)S ABC2 k10 分k22当 k 0时， S=0，当 k0 时 S22 ，当 k2时取等号k22k故三角形 ABC 面积的最大值为2 12 分2121解：（） f / ( x)1ln x ，令 f /( x)0, 得 xe当0x1时， f /(x)0， f (x) 在（ 0，1 ）上单调递减；ee当 x1时， f / ( x)0

17、 ， f (x) 在（1 ， +）上单调递增 .ee所以函数 f ( x) 的最小值为1)1.即 f ( x)1(0,)6分f (e, xee（）将不等式化为：x ln xx2 ，令 g( x)x2exeexeg / ( x) e x (1 x) ，令 g / ( x)0 ，得 x 1当 0x1时， g /(x)0 ， g (x) 在（ 0,1）上单调递增；当 x1 时， g/( x)0 ， g (x) 在（ 1,）上单调递减；所以，函数当 x(0,) 时， g( x) g(1)1 10 分e由（）可知函数f ( x) 与 g( x) 取得最值时对于的 x 的值不同，故 x(0,) 时， f ( x)g( x) ，即 ln x12ex, x (0, ) 12 分ex22证明：（）有已知条件可得BAECAD 2 分因为AEB 与 ACD 是同弧上的圆周角所以所以AEBACDABEADC 5 分解：（）由（）知ABEADC ，所以有 ABADAEAC即ABACAD AE2 8 分又 BC 为直径，所以BAC90 ,S ABC1AB AC 1 10 分0, C : x2y 2223解：（） l