椭圆和双曲线的类似的基本题型prt

1、学习必备欢迎下载椭圆和双曲线的类似的基本题型1、（椭圆）已知椭圆x 2y21(ab0) ， F1, F2 为焦点， AB 是过 F1（双曲线）已知双曲线x2y21(a0,b0) ， F1, F2 为焦点， AB 是过a 2b2a2b2Y的弦，则 ABF 2 的周长为多少？F1 的弦，若ABm ，则ABF2 的周长为多少？YB解：如图所示： C ABF 2ABAF2BF2解： C ABF2ABAF2BF2F1BXAF1BF1AF2BF22、O2AF1BF1AF2BF2dAF2a2a4am-dF1OF2Xd(md )AF2BF2Ad(md )2a (md )(2ad )4a2m注：以上两题是比较类

2、似的，都用到了第一定义，而且这个结果可以在选择和填空中直接应用。、（椭圆）求过点A(3,2)x 2y 21有相同的焦点的椭圆的标求过点A(3 2, 2)且与双曲线 x2y 21 有相同的焦点的椭圆的标准方程且与椭圆294164准方程解法 一： 由 题可 设 欲求 双 曲线 的标准方程为：解法一：由题可设所求椭圆方程为x 2y 21(4) ，则有x2y 21( 416) ，则有：94164946 ，所以所求方程为：x2y 2118414，所以欲求双曲线的标准方程为：x 2y291151016412148学习必备欢迎下载解法二： 由题知椭圆 x 2y 21的焦点坐标为 (5,0) ，而欲求椭圆和它

3、有相解法二： 由题知双曲线 x 2y 21 的焦点坐标为 ( 25,0) ，而欲求双曲线与94164同的焦点， 故可设欲求椭圆的标准方程为：x2y 2它有相同的焦点， 故可设欲求双曲线的标准方程为：x 2y20) ，5m1(m 0) ，则有：20m1(mmm941 m10 ，所以所求方程为：x 2y 21则有： 1841 m8，所以欲求双曲线的标准方程为：x 2y215m m151020 mm128注：以上两题属于共焦点的同类曲线问题，虽然用了两种解法，但是原理都是一样的，即利用有相同的焦点坐标。但是值得体会的是椭圆和双曲线对这类题目的解法也有很多相似之处。3、（椭圆）求过点A(5, 33),

4、 B(8,18) 的椭圆的标准方程（双曲线）求过点A(27,3), B(7,62 ) 的双曲线的标准方程5解：设欲求椭圆的方程为Ax 2By 21( A0, B 0) ，则依题意有解：设欲求双曲线的方程为Ax 2By 21( AB 0) ，则依题意有25A 27B 1A128A 9B 1A12564A324可解得： 10049A 72B 1可解得： BB11B 136，7525从而所求椭圆的标准方程为：x2y 21从而所求双曲线的标准方程为：x 2y21003625175注：以上两题虽然是求两个不同的标准方程，但是我们可以发现，在用待定系数法对方程的假设上，两个是一样的，只是条件有所不同，并且

5、这两个方程这样写出并没有规定所求曲线的焦点在哪个轴上，如果用常规解法，则要讨论焦点在 X 轴上和焦点在 Y 轴上两种情形，而用这种设法就可以避免这类讨论。这是解这类有曲线上两点确定，不能判断焦点所在的位置的标准方程的很简洁的方法。而且针对椭圆和双曲线，两者又有很多相似的地方，值得回味。x 2y21( a b 0) ， F1, F2 为焦点， P 为椭圆上 （双曲线）已知双曲线x2y21(a 0,b 0)， F1,F2 为焦点， P 为双4、（椭圆）已知椭圆2b 2a2b2a一点，曲线上一点，学习必备欢迎下载试证：S FPF2b 2 tanF1PF2122F1 P2F2 P2F2 Pcos F1

6、 PF2证明：F1 F22 F1PYF1 PF2 P22 F1PF2 P1cosPF1 PF222F1 PF2 P1 cosF1 PF2F1OF22c2aF1PF2 P4a 24c22b 2cosF1 PF21cos F1 PF22 1而SFPF1F2 PsinF1 PF212b2F1 PF22F1Psin122 1cos F1 PF2b 2 sinF1 PF2b2tanF1 PF21 cosF1 PF22试证：S FPFb 2 cotF1PF2Y122证明：PF1 F22222 F1PF2 P cosF1 PF2XF1 PF2 PXF1P F2 P2F2 P1cosF1 PF2F1OF22

7、F1P2c 22a 2F1P F2 P1 cosF1 PF2F1 PF2 P4c 24a22b 2cosF1 PF21cos F1 PF22 1而SFPF21 F1PF2 PsinF1PF212b 2sinF1PF2122 1cosF1PF2b2 sinF1 PF2b2 cotF1PF21 cosF1 PF22注：以上两题的结论在今后的选择和填空中可以直接应用，而且在历年的高考中都有直接应用的题目。x 25、求椭圆9解：设 A( x1 , y1 ),y 21 被点 Q (2,1) 平分的弦 AB 所在的直线方程求双曲线 x 2y 21 被点 Q (3,1) 平分的弦 AB 所在的直线方程444

8、x1 2y1 2 ；x12y12 ；B( x2 , y2 ) ，则有：1解：设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，则有：194441x2 2y22x2 2y2 22941414学习必备欢迎下载得 ： x1 2x2 2y1 2y2 20( x1 x2 )( x1 x2 )( y1 y2 )( y1 y2 )得 ： x1 2x2 2y1 2y2 20(x1 x2 )( x1 x2 )( y1 y2 )( y1 y2 )94944444而 x 1x 222y 1y 21代入式，得：24(x1x2 )2( y1y2 )y1y2894x1x29而恰好是弦 AB所在直线得斜率值，所以直线

9、 AB得方程为：y18 (x2)9即：8x9y250，而由点 Q(2,1) 在椭圆内部可知即为所求。x1x 23 y 1 2 y 2而1代入式，得：26( x1x2 )2( y1y2 )y1y2344x1x2而恰好是弦 AB所在直线得斜率值，所以直线 AB得方程为：y 13( x3)即 ： 3xy 8 0 再 将 与 双 曲 线 方 程 联 立 消 去 y 得 ：x2(3x8) 248x248x6442x212x170 ， 可知 判别式144421780所以，所求直线3xy80 与双曲线有两个不同的交点，满足题意，即式为所求。注：以上两题也可以用常规解法来做，椭圆和双曲线的解法也类似，但是计算

10、过程相对麻烦许多，而且道理也简单易懂，在此略去不写了。这种解法由于是将点的坐标设而不求，代入方程作差，利用中点坐标公式巧妙的求出直线斜率，从而简捷的解决问题。这种方法称为“点差法” 。但是这种方法对于椭圆只需要验证题目中给出的中点在椭圆内部就可以保证所求直线为所求。而对于双曲线，则要在求出直线方程后与双曲线方程联立，用判别式来判断所求直线是否与双曲线有两个不同的交点。如果有则是所求直线，若没有，则所求方程不满足。这些验证是必要的，尤其是对双曲线，因为有时用这种方法得到的直线和双曲线根本就没有交点。这里就不举例了。学习必备欢迎下载6、（椭圆）已知椭圆x 2y21内有一点 P(1, 1) ， F2

11、为右焦点，椭圆上（双曲线）已知双曲线x2y21，有一点Q(3,2) ， F2为右焦点，双曲线433Y一点 M ，使得MP2 MF2的值最小，求 M 的坐标Y上一点 M ，使得1MPMF 2的值最小，求 M 的坐标MN2.P12 ，如右图1：M解：由题可知椭圆的离心率为，如右图 1：解：由题可知双曲线的离心率为2F1OP F2XMF 2N.MN1 MF2MF1有：2F1O22MN2有：MN2MF2图 1F2MNY所以： MP1 MF2MPMN ，故最小值所以： MP2 MF2MPMN ，故最小值2图 1是2当 M ,P, N 三点共（见图2），并且当点M在P,N之1FFX是当 M , P, N 三点共线（见图2），并且当点 M 在 P, N 之O.PMNM 的纵坐标和点P 的纵坐标相同Y间时取得。此时点间时取得。此时点M 的纵坐标和点 P 的纵坐标相图 221NM.P为2 ，将 y2 代入双曲线方程可得：x26，同为 1，将 y31 代入椭圆方程可得： x，舍去负值，3OF2舍去负值，得点M坐