椭圆标准方程典型例题及练习题

1、学习必备欢迎下载椭圆标准方程典型例题4525例 1已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3和 3，过 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程PF145PF225F1、 F2，且3从椭圆定义知 2aPF1PF2 25 即 a5 解：设两焦点为3 ，sinPF1F2PF21PF1PF2PF2RtPF2F1PF2从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，1，PF1 F22cPF1cos25b2a 2c 2106 ，63 ，从而可求出3 x23y 213x2y215105所求椭圆方程为或 10x2y21 a b0例 2已知椭圆方程 a2b2A1， A2 ，焦

2、点为 F1， F2 ， P是，长轴端点为椭圆上一点，A1PA2，F1PF2求：F1 PF2 的面积（用 a 、 b 、表示）S1ab sin C分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用2求面积解：如图，设P x， y，由椭圆的对称性，不妨设P x， y，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限由余弦2PF1222 PF1PF2 cos4c2定理知：F1F2PF2·PF1PF22a，则 2 得PF1PF22b2由椭圆定义知：1cosS FPF1 PF1PF2sin12b2sinb2 tan故1222 1cos2 例 3已知动圆 P 过定点 A3，0，且在定圆 B：x3 2y

3、 264 的内部与其相内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解：如图所示，设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点，即定点 A3，0和定圆圆心 B 3，0距离之和恰好等于定圆半径，即 PAPBPMPBBM8 点 P 的轨迹是以 A ， B 为两焦点，4232x2y21半长轴为4，半短轴长为 b7 的椭圆的方程：167学习必备欢迎下载说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法211xy21P，且被 P 平分的弦所在直线的方程；例4已知椭圆 2，（ 1）求过点22（ 2）求

4、斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；kOP1（ 4）椭圆上有两点P 、 Q ， O 为原点，且有直线OP、OQkOQ斜率满足2 ，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为M x1， y1， N x2， y2，线段 MN 的中点 R x， y，则22，得x1 x2 x1x22 y1 y2 y1y20x12y1222，y1y2x22y22x1 x22 y1y20x1x2，x1x2x1 x2x1x2由题意知，则上式两端同除以，有，2xy1y2，y1y22yx2 y

5、x20将代入得x111y1y21（ 1）将xyx1x22 ，故所求直线方程为： 2x 4 y 3 0 2 ，2 代入，得x22 y226 y26y103646100 为所求将代入椭圆方程得4，4符合题意， 2x 4y 3y1y22（ 2）将 x1x2x4 y0 （椭圆内部分）代入得所求轨迹方程为：y1y2y1（ 3）将 x1x2x2 代入得所求轨迹方程为：x22y 22x2 y 0 （椭圆内部分）x12x22222（ 4）由得2y1y2：，将平方并整理得x12x224x22x1x2 ，y12y224 y 22y1 y2 ，将代入得：学习必备欢迎下载4x22x1x24 y22 y1 y2 24，

6、1 x1x21 x1x2x2y21y1 y22x 2x1x2 4y2221再将2代入式得：2，即2此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 5已知椭圆 4x2y21及直线 y xm （ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？2 10（ 2）若直线被椭圆截得的弦长为5 ，求直线的方程解：（ 1）把直线方程 yxm代入椭圆方程4x2y21得4x2x m 21，2m 245 m2116m2200 ，解得5m5即 5x22mx m2 10 22 x1x22mx1 x2m21（ 2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ， x2 ，由（ 1）得5，52m2m 21 21

7、011240 方程为 yx 根据弦长公式得：555解得 m说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程x2y2例6以椭圆121l ： x y 90 上一点 M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，3的焦点为焦点，过直线点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程x2y2解：如图所示，椭圆121的焦点为F，F，313 0， 23 0点 F1 关于直线 l： xy 90 的对称点 F 的坐标为（9， 6），直线 FF

8、2 的方程为 x 2 y 3 0x2y 30解方程组 xy90 得交点 M 的坐标为（5， 4）此时 MF1MF2最小所求椭圆的长轴：2aMF1MF2FF265 ， a 3 5 ，又 c3 ，学习必备欢迎下载 b2236 因此，所求椭圆的方程为x2y21a2c23 5324536例 7求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3 ,2)和B(23 , 1) 两点的椭圆方程解：设所求椭圆方程为mx2ny 21( m0 ， n0)由 A( 3 ,2)和B(2 3 , 1) 两点在椭圆上可得m (3)2n( 2)21,3m4n1,11x2y2m1m (2 3)221, 即12mn1, 所以n5 故所求

9、的椭圆方程为 15n 115 ，5例 8 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F1 作倾斜解为 3 的直线交椭圆于 A ，B 两点，求弦 AB 的长分析：可以利用弦长公式AB1k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 ) 24x1x2 求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB1k 2x1 x2(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 因为 a6 ， b3 ，所以 c3 3 因为焦点在 x 轴上，x2y2361，左焦点 F( 33 , 0) ，从而直线方程为y3x 9所以椭圆方程为913

10、x 20 设 x1 ， x2 为方程两根，所以x1 x2723由直线方程与椭圆方程联立得：723x36813，x1x23683 ，AB1k 2x1x2(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 4813， k从而13( 法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解x2y2361，设 AF1m ，BF1n ，则 AF212 m ， BF212 n 由题意可知椭圆方程为92AF122F1F2cos(12m) 2m236 32 m 6 31在 AF1F2 中，AF2F1 F22 AF13 ，即2 ；m6n6ABm483 同理在BF1F2 中，用余弦定理得43 ，所以n所以413( 法 3)利用焦半径求解先

11、根据直线与椭圆联立的方程13x272 3x 36 8 0 求出方程的两根x1 ， x2 ，它们分别是 A ， B 的横坐标再根据焦半径AF1a ex1， BF1a ex2 ，从而求出ABAF1BF1x2y212，N 为 MF1 的中点，则 ON （ O 为坐标原点） 的值为 A 4椭圆 259例 9上的点 M 到焦点 F1 的距离为学习必备欢迎下载3B2C8D 2解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆第一定义得MF1 MF22a 10 ，所以 MF210MF1 102 8 ，又因为 ON 为ON1 MF24MF1F2 的中位线，所以2，故答案为 A说明： (1)椭圆定义：平面内与两定点

12、的距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆(2) 椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1MF22a ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离x2y21C：3l： y4xm ，椭圆 C 上有不同的两点例 10 已知椭圆4，试确定 m 的取值范围，使得对于直线关于该直线对称解：设椭圆上 A( x1, y1 ) ， B( x2, y2 ) 两点关于直线 l 对称，直线 AB 与 l 交于 M ( x0, y0 ) 点y1 xn,14ynx 2y21, l 的斜率 kl4 ，设直线 AB 的方程为x43消去 y 得4由方程组13 x2 8nx 16n2480x1x28nx0x1

13、x24ny01 x0n12n。13 于是213 ，413 ，( 4n , 12n )点 M 在直线 y 4xm 上，n44nmn13 m即点 M 的坐标为 131313解得4 将式代入式得 13 x226mx169m2480(26m)2413(169m248)0 解得213m213 A ， B 是椭圆上的两点，1313tanM12 ， tan N2 ，建立适当的坐标系，求出以M 、N为焦点且过 P例 11 在面积为1的 PMN中，点的椭圆方程学习必备欢迎下载解：以 MN 的中点为原点，MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设P( x , y) y2 ,xc5254x1,y13c12a23b

14、215,a2xc243523,cy1.P()224y且,a b,23cc2 即23 34得 b 3.则4x2y2所求椭圆方程为1531x2y2例 12 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆 361l9所截得的线段的中点，求直线的方程解：设所求直线方程为y 2k( x4) 代入椭圆方程，整理得(4k 21) x28k (4k2)x4(4k2) 2360A( x1, y1 ) ， B(x2, y2 ) ，则 x1 、 x2 是的两根，x1x28k( 4k2)设直线与椭圆的交点为4k 214x1x24k( 4k2)124k 21k2 y8 0 P(4 , 2) 为 AB 中点，2 所求直线方程

15、为 x例 13.已知 F1、F2 是椭圆 x2 y2 1 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点10064(1)若 F1PF23，求 F1PF2 的面积；(2)求 PF1·PF2 的最大值解：(1)设 PF1m，PF2n(m>0，n>0)根据椭圆的定义得mn20.在 F1PF2中，由余弦定理得 PF2PF22PF· · F12，即 m2n22mn·cos 12PF2 cos F1PF21F23256122. m2n2mn144，即(mn)23mn144.2023mn144，即 mn3 .又111×2563643· ·

16、 ·，SF3×23 .SF1PF22PF1 PF2 sinF1PF22mn sin31PF2 2(2) a10，根据椭圆的定义得 PF1PF220. PF1PF2 2 PF1·PF2，PF1·PF2 PF1PF2 2 20 2100，当且仅当PF1PF210 时，等号成立 PF1·PF222的最大值是 100.练习题题型一求椭圆的标准方程例 1(1) 若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的学习必备欢迎下载距离为3，则椭圆的标准方程为 _；(2)(2011 ·课标全国 ) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中

17、心为原点，焦点F1，2F2 在 x 轴上，离心率为 2 . 过 F1 的直线 l 交 C于 A，B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭圆 C的方程为 _题型二椭圆的几何性质例 2 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点， F1PF260°.(1) 求椭圆离心率的范围；(2) 求证： F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关x2y2(2012 ·安徽 ) 如图， F1、F2 分别是椭圆C：a2b21( a>b>0) 的左、右焦点， A 是椭圆 C的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C的另一个交点， F1AF260°.(1) 求椭圆 C的离心率；(2) 已知 AF1B 的面积为 40 3，求 a，b 的值题型三直线与椭圆的位置关