市场调查与预测第十七章 回归分析预测

1、第十七章第十七章 回归分析预测回归分析预测1、概述概述2、一元线性回归、一元线性回归一、概述一、概述w 1、变量间的关系、变量间的关系w 确定性关系确定性关系函数关系函数关系：nY与与X之间存在确定的函数关系。之间存在确定的函数关系。n距离距离=速度速度*时间；时间；n电流电流=电压电压/电阻；电阻；n银行存款年利率银行存款年利率2%，存入本金，存入本金X，到期到期本息本息Y=x(102%).w 非确定性关系非确定性关系，但两者又有密切联系，但两者又有密切联系相关关系、统计相关。相关关系、统计相关。n当自变量取确定值时，因变量值是不确当自变量取确定值时，因变量值是不确定的。在社会经济生活中，存

2、在大量的定的。在社会经济生活中，存在大量的相关现象：孩子身高和父母身高的关系；相关现象：孩子身高和父母身高的关系；施肥量和粮食产量；市场需求规模和市施肥量和粮食产量；市场需求规模和市场价格的关系；航空运量和场价格的关系；航空运量和GDP的关系的关系等等等等w 无关系无关系。w 2、回归分析、回归分析w 回归分析是一种定量分析变量间回归分析是一种定量分析变量间相关关系相关关系的数理统计方法。的数理统计方法。w 它可以提供表示变量之间相关关系的数学它可以提供表示变量之间相关关系的数学表达式（经验公式、回归方程）表达式（经验公式、回归方程）y=f(x)w 处于被解释地位的变量处于被解释地位的变量y是

3、是“因变量因变量”，处于解释地位的变量处于解释地位的变量x是是“自变量自变量”。w 可以判断所建立回归方程（经验公式）的可以判断所建立回归方程（经验公式）的有效性，判别它是否能够代表变量有效性，判别它是否能够代表变量XY间间的相关关系。的相关关系。w 可以利用经验公式，根据自变量的取值对可以利用经验公式，根据自变量的取值对因变量进行预测；或者根据自变量的取值因变量进行预测；或者根据自变量的取值对因变量进行控制。如价格和销售量的关对因变量进行控制。如价格和销售量的关系。系。w 可以知道预测或控制可达到的精确程度。可以知道预测或控制可达到的精确程度。w 3、回归分析预测法、回归分析预测法w 利用回

4、归分析的理论和方法建立起回归方利用回归分析的理论和方法建立起回归方程进行预测的方法。程进行预测的方法。4、回归分析预测法的分类、回归分析预测法的分类w按变量的多少可以分为：按变量的多少可以分为：n一元回归分析：只涉及一个自变量、一元回归分析：只涉及一个自变量、一个因变量一个因变量n多元回归分析：涉及两个或两个以上多元回归分析：涉及两个或两个以上自变量，一个因变量自变量，一个因变量w按回归方程的类型可分为：按回归方程的类型可分为：n线性回归分析：因变量是自变量的一次线性回归分析：因变量是自变量的一次函数函数n非线性回归分析非线性回归分析按回归方程的类型和变量多按回归方程的类型和变量多少综合分类：

5、少综合分类：w一元线性回归分析一元线性回归分析基础基础w一元非线性回归分析一元非线性回归分析要转化为一要转化为一元线性回归分析元线性回归分析w多元线性回归分析多元线性回归分析和一元线性回和一元线性回归分析类似归分析类似w多元非线性回归分析多元非线性回归分析要转化为多要转化为多元线性回归分析元线性回归分析 5、回归分析预测法的步骤、回归分析预测法的步骤w1）确定预测变量）确定预测变量w2）确定影响预测变量的因素）确定影响预测变量的因素w3）收集整理预测变量及其影响因素）收集整理预测变量及其影响因素的历史统计资料的历史统计资料w4）分析因变量和自变量的关系，确）分析因变量和自变量的关系，确定回归模

6、型定回归模型n经验确定经验确定n散点图分析确定散点图分析确定n理论试算（计算拟和误差（预测误理论试算（计算拟和误差（预测误差），选出拟和程度最好的模型差），选出拟和程度最好的模型w5）求解模型参数，建立回归方程）求解模型参数，建立回归方程w6）检验回归方程的有效性）检验回归方程的有效性w7）利用检验通过的回归方程进行预）利用检验通过的回归方程进行预测，并确定预测值的置信区间测，并确定预测值的置信区间二、一元线性回归预测法二、一元线性回归预测法 1 1、相关分析、相关分析 （1 1）散点图法）散点图法 1r10 r01r1r（2）相关系数分析法）相关系数分析法:2()xxLxx 自变量与平均值的

7、离差平方和自变量与平均值的离差平方和 2)(yyLyy因变量与平均值的离差平均和因变量与平均值的离差平均和 上式可简化为上式可简化为 xyrx yx xy yLLL01rxyL()()xxyy xyr2222() .()n xyx yn xxn yy w r值与两变量之间的关系值与两变量之间的关系w r=1完全正相关完全正相关w 1r0正相关，越接近正相关，越接近1，相关性越强。越接近，相关性越强。越接近0，相关性越弱相关性越弱w r=0不线性相关不线性相关w 0r-1负相关，越接近负相关，越接近-1，相关性越强；越接近，相关性越强；越接近0，相关性越弱，相关性越弱w r=-1完全负相关完全负

8、相关7 . 0rX与与Y强相关：强相关：r平方大于平方大于0.49，说明自，说明自变量的变动对总变差的影响大于一半。变量的变动对总变差的影响大于一半。7 . 03 . 0 rX与与Y中度相关中度相关3 . 00 rX与与Y弱相关弱相关0rX与与Y不相关不相关2、选择回归预测模型、选择回归预测模型曲线比较分析法：与标准曲线比较曲线比较分析法：与标准曲线比较 误差比较分析法误差比较分析法 3 3、参数的确定：、参数的确定：参数确定可采用最小二乘法，参数确定可采用最小二乘法，min(yi-a-bxi)2 22()n xyx ybn xx aybx式中，式中，x x为非均匀分布，故为非均匀分布，故0

9、x因此不能用简化公式因此不能用简化公式 。得到预测模型：得到预测模型： y=y=a+bxa+bxw 4、回归模型的显著性检验：、回归模型的显著性检验：w 相关系数检验法：相关系数检验法：w 1）、从样本计算相关系数）、从样本计算相关系数r0w 2）、根据回归模型的自由度）、根据回归模型的自由度n-2和给定的显著和给定的显著性水平性水平a，从相关系数临界值表中查出临界值从相关系数临界值表中查出临界值ra(n-2).w 3）、若）、若r0大于等于临界值，表明两个变量之间大于等于临界值，表明两个变量之间显著相关，回归模型有效。可依此预测。显著相关，回归模型有效。可依此预测。w 方差分析法：方差分析法

10、：w 基本特点是把因变量的总变动平方和分为基本特点是把因变量的总变动平方和分为两部分，两部分，w 一部分反映因变量的实际值与用回归方程一部分反映因变量的实际值与用回归方程计算出的理论值之差计算出的理论值之差Q.w 一部分反映理论值与实际值的平均值之差一部分反映理论值与实际值的平均值之差U.w Y的总变差的总变差=Y的残余变差的残余变差+Y的说明变差，的说明变差，SST=SSE+SSRw 或：总离差平方和或：总离差平方和=剩余平方和剩余平方和(Q）+回回归平方和（归平方和（U）UQSyyQyySnyyyyyyyyyyiiiiyyiiiiiiUYX)(YX)()()()()(222222差、可解释

11、变差，记为的影响造成的，说明变对由于为差、不可解释变差，记的影响造成的，残余变以外其它因素对除了离程度，记为个数据和其平均值的偏回归平方和U与剩余平方和Q相比越大，说明回归效果越好。w F检验：构造统计量检验：构造统计量F=（U/m-1）/Q/（n-m）w 其中：其中：m为变量个数（总数）；为变量个数（总数）；n为样本数。为样本数。w 统计量统计量F服从第一自由度为服从第一自由度为m-1、第二自由度为、第二自由度为n-m的的w F（m-1，n-m）分布。）分布。w F=r2/(1-r2)*(n-m)/(m-1)w判断规则：判断规则：w对于给定的置信度对于给定的置信度，从，从F分布表中查出分布表

12、中查出F（m-1，n-m），把其与用样本计算出），把其与用样本计算出来的统计量来的统计量F0比较：比较：w若若F0 F（m-1，n-m）成立，则认为）成立，则认为回归方程在回归方程在水平上显著。反之则认为水平上显著。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。在线性关系。5 5、进行、进行预测预测得到预测方程得到预测方程y=y=a+bxa+bx点估计：点估计：把自变量的把自变量的取值取值mx代入预测方程中，代入预测方程中，得到对应的得到对应的 值即为预测结果。值即为预测结果。my区间估计：区间估计：标准误差：标准误差：S=sqrt(e2)/(n-m

13、)w 区间估计：w 标准误差：S=sqrt(e2)/(n-m) 5 5、预测结果的可靠性检验预测结果的可靠性检验检验：采用统计方法进行检验，检验：采用统计方法进行检验，P311 p313 P311 p313 例：某五金公司历年的销售总额与供应地区例：某五金公司历年的销售总额与供应地区的工业产值资料如表所示，并预计的工业产值资料如表所示，并预计20042004年年该地区工业产值达该地区工业产值达60.760.7亿元，试用一元线性亿元，试用一元线性回归预测回归预测20042004年该公司的销售总额。年该公司的销售总额。6、应用举例、应用举例年份年份销售额销售额 （百万元）（百万元） 产值产值 （亿

14、元）（亿元）19968.527229.5729199710.631328.696119981334.5448.51190.25199915385701444200017.5427351764200119.745.5887.252070.2520022249.61091.22460.16200324.654.21333.322937.64130.9321.85623.3713556.3iyixiiyx2ix解：解：首先列计算表首先列计算表计算参数：计算参数： b预测模型为：预测模型为：xy6 . 0772. 765.287 .606 . 0772. 72004y（百万元） 预测预测：2004年：

15、 = 60.7亿元 2004x22.()n x yxyn xx 285632.47130.9321.80.68 13556.3321.82ayxbnn13037288 三、一元线性自回归预测法三、一元线性自回归预测法引言，普遍一元线性普通回归预测对数据要求较高，要求：已知：1nmyyy1mnxxx mx为自变量的先期预测值。 而实际应用中nxx1，尤其是mx获得很困难。 如何才能既适用回归预测的方法，又对数据在的要求不太高，以至于在更多的场合能应用，人们提出一元线性自回归预测方法，即设1ttyx，则预测模型： ttttbyaybyay11:或其它与普遍一元线性回归完全相同年

16、份销售额 （百万元） 19968.5199710.68.572.2590.119981310.6112.36137.819991513169195200017.515225262.5200119.717.5306.25344.7520022219.7388.09433.4200324.622484541.2130.924.6iy1ttyx2txttyx .b预测模型：xy023. 195. 11158.276 .24023.195.12004y（百万元） 计算参数： 预测：2004年 = 24.60万元 2004x22.()n XYXYn XX 27 2004.75 122.4 106.31.

17、0237 1756.95 106.32ayxbnn122.4106.31.0231.9577四、一元线性加权回归预测分析法四、一元线性加权回归预测分析法 1、一元线性普通回归、一元线性普通回归 iYab X 22.()n XYXYbn XX yXY矩阵形式方程组： 2XYa Xb X YXabnn2nXaXXb 2、直接用矩阵形式求参数、直接用矩阵形式求参数 写成矩阵baXXYYnn1111求a,b 设 nnXXYY11近似在直线方程上 111ebXaYnnnebXaY11bXaY1bXaYn两边同乘以 1111nnYXXYYXY说明两种方法求解公式等价。 111111nnXaXXbX 2nX

18、aXXb 3、在矩阵求解公式中，可以看出对每个历史数据同等对待，对于加权回归，给以不同时期的历史数据以不同权数iW 且： nnWWWW121分别对不同期历史数据以不同权数 1122nnYYYYYY112211111nnXXXaXbXXX ab 矩阵方程解出的即为加权回归的参数方法同上，两边同乘 nnYYXX1111111WnW11111111nnnnYYXXXXYY111111111111nnnnXXaXXXXbXX WYWXY即 2wwwwXbXaWXYXbanWY与普通一元线性回归相比，每项多WiWi一般取，1，2n自然数 例：见书上实例P252 2WWXaWXWXb 五、一元非线性回归分析预测法五、一元非线性回归分析预测法w 思路：思路：w 与一元线性回归分析基本相同。即通与一元线性回归分析基本相同。即通过变量替换将非线性方程转化为线性方程；过变量替换将非线性方程转化为线性方程