MATLAB在数学教学中的应用

1、MATLAB在数学教学中的应用张兴元1MATLAB简介1.1 简介MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的、功能强大的、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。其产品Logo为 ，目前该产品已经发展到R2009版。Cleve B.Mole是其创始者和首席科学家，他曾任密歇根大学、斯坦福大学和新墨西哥大学的数学系或计算机系教授，也曾在Intel和Ardent Computers公司工作过，他还是矩阵计算软件包LINPACK和EISPACK的作者之一，撰写过两本MATLA

2、B方面的著作：Numerical Computing with MATLAB，Experiments in MATLAB。MATLAB现在已经发展成为适合多学科的大型软件，在世界许多高校，它已经成为线性代数、数值分析、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真等课程的基本教学工具。一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动，使得它在国内很快普及。【演示例子】：分形蕨1。【程序】：【Fern.m】。1.2 软件学习使用方法学习的方法：l 一本基础的MATLAB使用教程；l 运行并学习Demo;l 借助帮助系统使用；l 相互交流。2MATLAB在数学课程教学中的应用类型MATLAB在数学课程教学中的

3、应用可以包含数学计算即解数学题、数学概念的几何形象化、数学规律的形象化理解等。（纯属个人观点）2.1 数学计算利用MATLAB具有符号演算和数值计算功能，但很多教师、工程师和研究人员把主要它作为主要的数值计算和图形演示工具。2.1.1 符号演算MATLAB的符号演算功能是通过调用数学软件MAPLE的符号处理内核来完成。其使用方法，可以采用如下形式：Step1：定义符号变量和表达式；Step2：调用符号运算函数完成演算；Step3：借助图形函数展示演算结果。【例1】微积分计算（1）；【程序】：syms x;syms n;f2=n(1/n);v2=limit(f2,n,inf,'left&

4、#39;) （2）；【程序】：syms x;f6=x*(sin(log(1+3/x)-sin(log(1+1/x);v6=limit(f6,x,inf,'left') （3）求函数的极值；【程序】：【Step1】：绘制函数的图形：hold on;grid on;fplot('3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1',-2 2.5);fplot('0*x',-2,2.5)hold off; 【Step2】求出函数的驻点syms x;f=3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1;df1=diff(f,x);df1=factor(df1)x0=sol

5、ve(df1,x) 【Step3】判断驻点是否为极值点df2=diff(f,x,2)x20=subs(df2,x,0)x22=subs(df2,x,2)x21=subs(df2,x,-1)y0=subs(f,x,0)y2=subs(f,x,2) y1=subs(f,x,-1) （4）计算定积分： ； ； 【程序】：syms x;I1=int(tan(x)3,0,pi/4)I2=int(1/(3+6*x-x2)(1/2),0,1)I3=int(exp(-x2),0,1)I1D=double(I1)I2D=double(I2)I3D=double(I3) （5）求方程组满足条件，的特解。【程序】：

6、syms x y;f='D2x+y=0,D2y-4*x=0'S=dsolve(f,'x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2');S.x;S.yezplot(S.x,S.y,-10,10) 【例2】线性代数计算（1）设，计算。【程序】：A=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1;d=det(A) % 计算行列式tr=trace(A) %计算A的迹：a11+a22+.+anninvA=inv(A) %计算A的逆矩阵mA=A10 %计算A的10次幂 （2）求线性方程组的通解。【程序】：S=solve('x+2*y+6*z+7*w=67

7、9;,'x+9*y+7*z+14*w=117','x+2*y+5*z+9*w=79','3*x+6*y+16*z+25*w=225');S.x;S.y;S.z;S.w （3）计算方阵的特征值与特征向量：，。【程序】：% 第一小题clear;clc;A1=1 2 3;2 1 3;3 3 6;V1,D1=eig(sym(A1) % 第二小题A2=-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4;V2,D2=eig(sym(A2) 2.1.2 数值计算与模拟MATLAB的数值计算功能非常强大，既可以完成数值代数、数值逼近和微分方程数值解等传统内容，也可以借助编

8、程完成如统计计算、分形与混沌研究等，还可以借助Simulink完成系统模拟等任务。【例3】生日问题2。 美国数学家柏格米尼曾经做过一个别开生面的试验：在一个盛况空前的人山人海的世界杯足球赛赛场上，它随机地在某看台上请23个球迷分别写下了自己的生日，结果竞发现其中的两个人生日相同。怎么会这么凑巧呢？请用概率的知识加以说明。【理论推导】：设随机选取个人，记A=至少有两个人的生日相同，则=所有人生日全不相同，则因此，随着选取人数的增加，概率接近于1；当时，就成为一个必然事件。【计算机模拟演示】：下面通过计算机程序模拟生日问题，即从1，2，365个整数中随机产生s(用户自己输入)个可重复的整数来模拟实

9、验结果。步骤如下：Step1：产生个随机数，统计结果；Step2：重复Step1多次，统计试验结果，并计算出现相同值的频率；Step3：改变s，重复Step1和Step2，每一种情况下的频率；Step4：绘制频率图和频率累计图并与理论结果比较。【程序】：【BirthdayProb.m】【例4】微分方程数值解求解初值问题，并绘制斜率场及解曲线。【步骤】：【Step1】：单独定义微分方程；【Step2】：利用ode函数求解微分方程；【Step3】：绘制解曲线。【程序】：【微分方程1】：Exam05Demo03Prob2.m；【求解并绘图】：【DifEq.m】。2.2 数学概念的形象化可以借助编程实

10、现很多数学概念如连续与可微、定积分、行列式、线性变换、矩阵的秩、特征值、特征向量等的几何直观解释。【例5】微积分【项目1】连续函数、可微函数观察选定两个函数，如，在点处连续，而连续可微，观察它们在点附近的图像的区别。【方法】：分别作出函数在包含的一系列区间上的图像，并进行对比。【程序】：【Continuity_Differentiability.m】。【项目2】 处处连续处处不可微的函数例子-魏尔斯特拉斯曲线3魏尔斯特拉斯函数是 （1）级数（1）在中一致收敛，所以在上连续，它是无穷多个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为其周期为，振幅为。余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点处

11、，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为的陡度，即得的陡度就是现令 为一整数，且，所以的陡度又比的陡度大（ab）倍，所以构成函数（1）的正弦波就越来越窄，越来越陡，其振幅也越来越小。图1就b=1/2，a=5画出了级数（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02_1.m）。短划线是部分和：；虚线是部分和：；实线：。【程序】：【程序1】：Weierstrass0.m【程序2】：Weierstrass100.m观察图像，我们可以想象由无穷多项余弦波叠加而成的函数的图像会成为一条“毛茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像。事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微。【项目3】定

12、积分定义的几何演示定积分与其积分和的关系。【原理】：依据定积分的定义：【步骤】：【Step 1】：将区间0,pi分成n等份即取，取每个区间右端点为，并计算积分和；【Step 2】：画出被积函数的图形和S(n)所表示的面积；【Step 3】：改变n，重复Step1和Step2。【程序】：【Integral.m】【项目4】二重积分定义的几何演示演示二重积分的积分和变化过程（极坐标和直角坐标）。【原理】：二重积分的定义为：。【直角坐标系】：体积微元的底面面积为，上式变成【步骤】：（直角坐标）【Step 1】：对区域进行划分成等份即取，取每个矩形的右上角点为，则积分和；【Step 2】：画出的图形和S

13、(m,n)所表示的体积；【Step 3】：改变m,n，重复Step1和Step2。【程序】：【DoubleIntegral.m】【项目5】旋转曲面的生成2用动画演示由曲线绕轴旋转产生的旋转曲面的过程。【步骤】：【Step1】写出曲面的参数方程：旋转曲面的方程为：，其参数方程为。【Step2】画出旋转面在区间内的图形； 采用镂空技术：将不需要画出的部分的Z值赋值为NaN。【Step3】连续显示这些图形，形成动画。【程序】：【SurfaceofRevolution.m】。【例6】线性代数【项目】特征值与特征向量的定义及几何演示设是方阵的特征值，是对应于特征值的特征向量，则。几何上可理解为当数时，非

14、零向量在线性变换的作用下的像与向量的方向平行（方向相同或相反）；当数时，非零向量在线性变换的作用下的像为零向量。试用如下方阵验证。（1）； （2） ； （3）。【原理】：二维情况：依次取单位圆周：上的向量，分别绘制向量r、Ar，当它们共线时就绘制一条直线。【程序】：【Eigenvalue_Vector.m】。2.3 数学规律的直观化理解很多的数学结果和数学规律，可以使用MATLAB借助几何图形或者动画加以直观化，以帮助理解。例如：【例7】Fourier级数展开及其和函数的逼近 数学原理：Fourier级数展开定理。设是以为周期，振幅为1的方波函数，它在上的表达式为试将展开成Fourier级数，

15、并画出图形观察该函数的部分和逼近的情形。【原理】：以为周期的函数的Fourier级数为，其中 ，。【步骤】：Step1：求出f(x)的Fourier系数； 由于函数f(x)为奇函数，由Fourier系数的公式知道，an=0，因此它的Fourier级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数Step2：绘制逼近图形【程序】：【Fourier.m】。【例8】线性代数：特征值与特征向量的迭代性质【实验21】。【例9】概率统计：二项分布的Galton实验4【实验22】。3关于在数学教学中引入数学软件和数学实验的一些思考3.1 引入原因（Why）（1） 数学教学应该包含一个“全”过程：实践à理论à实践；（2）数学教学应该与时俱进：与计算机结合，新的数学内容引入；（3）知识应与技术有机结合：数学知识与数学技术问题。3.2 内容和素材的选择(Where and What)（1） 哪些数学概念和内容？（Where）重要概念、重点内容。问题：l 多大范围内考虑？单门课程à公共数学课程à每个专业应用领域分类l 当前如何确定它们的重要性？可用PageRank算法1确定吗？（2）使用怎样的素材？（What）l 丰富多彩n 数学领域