MATLAB实用技巧精讲之四

1、数学物理建模与计算机辅助设计第二部分第二部分 复变函数的计算机仿真复变函数的计算机仿真数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 2本部分内容本部分内容 复数和复数运算 复变函数的图形 复变函数的极限与导数 解析函数的图形 复变函数的积分 留数和级数的计算 复变函数的变换和逆变换数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 3复数和复数运算复数和复数运算 复数的构成 数学上的复数的表示方法 (1) 代数表示 (2) 几何表示 (3) 三角表示 (4) 指数表示zxyi,zx ycossinzrizriez=a+b*iz= r*exp(i*theta)数

2、学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 4复数和复数运算复数和复数运算 创建复数矩阵(1) 如之前一样输入(直接输入小矩阵，M文件输入大矩阵)例1：A=3+5i, -2+3i; 9*exp(6i), 23*exp(33i); A = 3.0000 + 5.0000i -2.0000 + 3.0000i 8.6415 - 2.5147i -0.3054 +22.9980i例2：Exm x = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 3.0000i 3.0000 + 4.0000i 4.0000 + 5.0000i 5.0000 + 6.0000i 6.0000

3、 + 7.0000i%Exm.mx=1+2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+6i 6+7i;数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 5复数和复数运算复数和复数运算 创建复数矩阵(2) 可用复数矩阵的实部矩阵和虚部矩阵构造例：re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im com= 0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i 0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i 0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i 数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助

4、设计Page 6复数和复数运算复数和复数运算 创建复数矩阵(3) 可用复数矩阵的模矩阵和辐角矩阵构造例：r=rand(3,2); theta=rand(3,2); com=r.*exp(i*theta) com= 0.8529 + 0.4188i 0.4387 + 0.2091i 0.2311 + 0.0043i 0.7278 + 0.5146i 0.4134 + 0.4443i 0.5353 + 0.5424i数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 7复数和复数运算复数和复数运算 复数的实部和虚部的计算real(z) 返回复数的实部imag(z) 返回复数的虚部例1

5、：real(com) ans = 0.8529 0.4387 0.2311 0.7278 0.4134 0.5353 例2：imag(com) ans = 0.4188 0.2091 0.0043 0.5146 0.4443 0.5424com= 0.8529 + 0.4188i 0.4387 + 0.2091i 0.2311 + 0.0043i 0.7278 + 0.5146i 0.4134 + 0.4443i 0.5353 + 0.5424i对复数矩阵则返回对应的实部或虚部构成的矩阵对复数矩阵则返回对应的实部或虚部构成的矩阵数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page

6、8复数和复数运算复数和复数运算 复数的模和辐角的计算abs(z) 返回复数的模angle(z) 返回复数的辐角例：angle(0) ans = 0 angle(exp(-i*5*pi/4) ans = 2.3562 angle(exp(i*5*pi/4) ans = -2.3562 angle(exp(i*pi), angle(exp(-i*pi) ans = 3.1416 -3.1416复数复数0的辐角系的辐角系统默认为统默认为0系统返回的辐角为系统返回的辐角为辐角主值，主值区辐角主值，主值区间为间为- +数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 9复数和复数运算复数

7、和复数运算 共轭复数conj(x) 返回复数的共轭 复数的乘法和除法*和/ 注意：()/5i= ()/(5*i) 复数的幂例：z = sym(a+i*b); collect(z2) ans = a2+2*i*a*b-b2数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 10复数和复数运算复数和复数运算 复数的平方根sqrt(z) 返回z的平方根例：z=1+2i; rst = sqrt(z) rst = 1.2720 + 0.7862i abs(z) =2.2361； angle(z) =1.1071； abs(rst)=1.4953； angle(rst)=0.5536.系统求

8、平方根默系统求平方根默认返回模开方，认返回模开方，辐角直接除辐角直接除2的的那一个根那一个根2expexp0,1,1nnkzrzrknnii怎么求所有根？怎么求所有根？数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 11复数和复数运算复数和复数运算 复数方程求根 用函数solve求解例：求方程x3+8=0的所有根。solve(x3+8=0);ans = -2 1+i*3(1/2) 1-i*3(1/2) 复数的三角运算 复数的三角运算采用的函数和前面的一样数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 12复数和复数运算复数和复数运算 复数的指数和对数运算ex

9、p(z) 返回复数的以e为底的指数的值log(z) 返回复数的以e为底的对数的值例1：求复数的指数值exp(3+4i)ans = -13.1288 -15.2008i例2：求复数的对数log(-3+4i)ans = 1.6094 + 2.2143iexp 34 i33exp 34e exp 4ecos4sin4-13.1288-15.2008iiiilog34 ilog34log34arg342k iiii求对数时系统默求对数时系统默认返回对数函数认返回对数函数的主值分支的主值分支数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 13复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画

10、复变函数图形命令 CPLXGRID构建极坐标的复数数据网络 Z=CPLXGRID(m) 创建一个(m+1)(2m+1)个网格点的复数极坐标系下的网格源代码：%cplxgrid.mfunction z = cplxgrid(m)r = (0:m)/m;theta = pi*(-m:m)/m;z = r * exp(i*theta);数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 14复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令 CPLXMAP 对复变函数作图 CPLXMAP(z, f(z), (optional bound) 画出复变函数f(z)的图形，opti

11、onal bound为选择变量的范围源代码：function cplxmap(z,w,B)blue = 0.2;x = real(z); y = imag(z); u = real(w); v = imag(w);M = max(max(u); m = min(min(u);axis(-1 1 -1 1 m M); caxis(-1 1); s = ones(size(z);mesh(x,y,m*s,blue*s); hold onsurf(x,y,u,v); hold offcolormap(hsv(64)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 15复变函数的图形复

12、变函数的图形MATLAB画复变函数图形命令例1：绘制幂函数5z, z3的图形z=cplxgrid(30); cplxmap(z,5*z)colorbar(vert) title(z)3z（2）z=cplxgrid(30); cplxmap(z, z.3) colorbar(vert) title(z)-1-0.500.51-1-0.500.51-505z-4-3-2-101234数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 16复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令 CPLXROOT 画复数n次根的函数曲面 CPLXROOT(n, m) 以mm网格画复

13、数的n次方根 不指定m值则缺省为m=20 既不指定m值、也不指定n值，则n值缺省为3源代码：function cplxroot(n,m)r = (0:m)/m; theta = pi*(-n*m:n*m)/m;z = r * exp(i*theta); s = r.(1/n) * exp(i*theta/n);surf(real(z),imag(z),real(s),imag(s);数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 17复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令例2：绘制幂函数z1/2, z1/3的图形(3) z=cplxgrid(30); c

14、plxroot(2) colorbar(vert) title(z1/2)(4) z=cplxgrid(30); cplxroot(3) colorbar(vert) title(z1/3)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 18复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令练习：绘制复变函数1/z的图像z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z, 1./(z+eps*(abs(z)=0), 5*pi)colorbar(vert)title(1/z)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 19复变函数的图形复变函数

15、的图形 MATLAB画复变函数图形命令例3：绘制复变函数1/(1-z)的图像，并验证其泰勒展开和罗朗展开的函数clfz=2*cplxgrid(30);cplxmap(z, 1./(1-z+eps*(abs(z)=1),10*pi)colorbar(vert)title(1/(1-z)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 20复变函数的图形复变函数的图形clfz=2*cplxgrid(30);z1=z;z1(abs(z1)=1)=NaN;w1=1; u1=1;for k=1:100 u1=u1.*z1; w1=w1+u1;endcplxmap(z1,w1)colorb

16、araxis(-1,1,-1,1)01(1)1kkzzz当 时， 的泰勒展开式是 1z 01(1)1kkzzz11z在指令窗口输入如下指令数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 21复变函数的图形复变函数的图形clfz=2*cplxgrid(30);z2=z;z2(abs(z2)figure(1)z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z,exp(z);figure(2)w=1; u=1;for k=1:5 u=u.*z./k; w=w+u;endcplxmap(z, w)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 23复变函数的图形复

17、变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令例5：绘制对数函数lnz的图形，z=cplxgrid(20);w=log(z+eps*(abs(z)=0);for k=0:3subplot(2,2,k+1)w=w+i*2*pi;surf(real(z), imag(z), real(w), imag(w);caxis(0, 8*pi);title(ln z)endcolorbar(2)(0,1,2,3)ikzek数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 24复变函数的图形复变函数的图形z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3w=w+i*2*pi;s

18、urf(real(z), imag(z),imag(w), real(w);hold ontitle(ln z)endcolorbar数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 25复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令例6.1：三角函数sin z的图形z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z, sin(z);colorbar(vert);title(sin(z);数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 26复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令例6.2：三角函数cos z的图形z=5*cp

19、lxgrid(30);cplxmap(z,cos(z);colorbar(vert);title(cos(z);数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 27复变函数的图形复变函数的图形 MATLAB画复变函数图形命令练习：画出复变函数shz( sinh z)和chz( cosh z)的图形数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 28复变函数的极限与导数复变函数的极限与导数 复变函数的极限 limit(F, z, a)复变函数的极限存在的条件是要求复变函数的实部和虚部同时存在极限，可采用以下命令实现：数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计

20、算机辅助设计Page 29复变函数的极限与导数复变函数的极限与导数例1：求极限01 isinsinlim, limxxzzzz syms zf=sin(z)/z;limit(f, z, 0)ans=1limit(f, z, 1+i)ans = 1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 30复变函数的极限与导数复变函数的极限与导数 复变函数的极限例2：若x为实数，求极限syms xf=(1+1/(i*x)(i*x);limit(f,x,+inf)ans = exp(1)i1lim 1ixxx数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计Page 31复变函数的极限与导数复变函数的极限与导数 复变函数的导数 复变函数的导数的求法采用命令 diff(f, z, N)例1：求下列函数导数syms zf1=log(1+si