Matlab 详解导数及偏导数运算

1、实验3 导数及偏导数运算实验目的：1. 进一步理解导数概念及几何意义；2. 学习Matlab的求导命令与求导法。l学习 Matlab 命令l导数概念l求一元函数的导数l求多元函数的偏导数l求高阶导数或高阶偏导数l求隐函数所确定函数的导数与偏导数实验内容：1. 学习Matlab命令建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：x=sym(x)x=sym(x)建立符号变量 x；symssyms x y z x y z建立多个符号变量 x,y,z；Matlab 求导命令 diffdiff 调用格式：diff(f(x)diff(f(x)，求 的一阶导数 ；)(xf )(xfdiff(f(x),n)

2、diff(f(x),n)，diff(f(xdiff(f(x，y), x)y), x)，求 对 x 的一阶偏导数 ；xf ),(yxf);()()(xfnxfn阶导数阶导数的的求求diff(diff(函数函数f(xf(x，y),y),变量名变量名 x,n)x,n)，求 对 x 的 n 阶偏导数 ；nnxf ),(yxfjacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,zjacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z) )matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用格式： zhyhxhzgygxgzfyfxf2. 导数的概

3、念导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一点处的切线斜率。1). 点导数是一个极限值例1 . ；，用定义计算，用定义计算设函数设函数)0()(fexfx 解：xxfxxfxxfx )()(lim)(0000的导数定义为极限的导数定义为极限在某一点在某一点，输入命令：，输入命令：我们记我们记xh syms h; limit(exp(0+h)-exp(0)/h,h,0)ans=1 。可知结果可知结果1)0( f2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率画出 在x=0处(P(0,1)的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.例2xexf )(解解:在曲线 上另取一点 ，则PM的方程是:xexf )(),(

4、hehM0101 hexyh11 xheyh即取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线.h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x),r);hold onfor i=1:5;plot(h(i),exp(h(i),r.)plot(x,a(i)*x+1)endaxis square作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+xplot(x,x+1,r)从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接近曲线的割线. 3. 求一元函数的导数例3 . 的导数；的导数；求求xxysin 1) y=f(x)的一阶导数解：输入指

5、令syms x;dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果: dy_dxdy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2=cos(x)/x-sin(x)/x2.pretty(dy_dx) cos(x) sin(x) - - - x 2 x的导数；的导数；求求)ln(sin xy 在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。例4解：输入指令syms x;dy_dx=diff(log(sin(x)得结果: dy_dx=cos(x)/sin(xdy_dx=cos(x)/sin(x) ).的的导导数数；求求202)2(xxy 例5解：输入指令syms

6、x;dy_dx=diff(x2+2*x)20)得结果: dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2).lnln;4;2cos2cos;524sin32221xyyxxyxxyx 求求下下列列函函数数的的的的导导数数：例6解：输入指令syms a x;a=diff(sqrt(x2-2*x+5),cos(x2)+2*cos(2*x),4(sin(x),log(log(x)Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。a = 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x2)*x-4*sin(2*x), 4sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x

7、) 解： 输入命令2) 参数方程确定的函数的导数例7 ;)cos1()sin(dxdytayttax求求，设设 dy_dx = sin(t)/(1-cos(t)syms a t;dx_dt=diff(a*(t-sin(t);dy_dt=diff(a*(1-cos(t); dy_dx=dy_dt/dx_dt.syms x y z;du_dx=diff(x2+y2+z2)(1/2),x)du_dy=diff(x2+y2+z2)(1/2),y) du_dz=diff(x2+y2+z2)(1/2),z)a=jacobian(x2+y2+z2)(1/2),x y,z)解：输入命令4. 求多元函数的偏导数

8、的一阶偏导数；的一阶偏导数；，求，求设设uzyxu222 例8du_dx=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x du_dy =1/(x2+y2+z2)(1/2)*y du_dz = 1/(x2+y2+z2)(1/2)*z222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu 解： 输入命令syms x y;diff(atan(y/x),y) ans = -y/x2/(1+y2/x2)syms x y;diff(atan(y/x),x) ans = 1/x/(1+y2/x2)syms x y;Jacobian(atan(y/x),xy,x ,y) ans = -y/x2/(1+y2/x2)

9、, 1/x/(1+y2/x2) xy*y/x, xy*log(x) yzxzyzxzJ22115. 求高阶导数或高阶偏导数;)()()20(22xfexxfx，求求设设 例10syms x ;diff(x2*exp(2*x),x,20)解：输入命令ans = 99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x);,23222222246yxzyzxzyxyxz ，求求设设例11syms x y ;dz_dx=diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x,2)dz_dy=diff(x6-3*y4+2*x2*y2,y,2)dz_dxdy

10、=diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x),y)解：输入命令 dz_dx = 30*x4+4*y2 dz_dy = -36*y2+4*x2 dz_dxdy =8*x*yxyyxzxyyzyxxz8436,43022224 6. 求隐函数所确定函数的导数或偏导数),(),(0),(212121ninjjinxxxfxxxxfxxxxxxf 则则已知隐函数方程已知隐函数方程;lndxdyeexxy，求求设设 例12syms x y ;df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x)df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y)d

11、y_dx=-df_dx/df_dy解：,ln),(yxxyFFeexyxF再求再求先求先求 df_dx = 1/x+y/x2*exp(-y/x)df_dy = -1/x*exp(-y/x)dy_dx = -(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x)yxFFdxdy ;,0)tan()cos()sin(yzxzxzyzxy ，求求设设例13syms x y z;a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(x*z),x,y,z)dz_dx=-a(1)/a(3)dz_dy=-a(2)/a(3)解：),tan()cos()sin(),(xzyzxyzyxF a = cos(x*y)*y+(1+tan(x*z)2)*z, cos(x*y)*x-sin(y*z)*z, -sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*xdz_dx =(-cos(x*y)*y-(1+tan(x*z)2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x)dz_dy =(-cos(x*y)*x+sin(