l第十三章实数教材分析新

1、 一、本章的地位和作用一、本章的地位和作用 二、本章课时安排二、本章课时安排 三、本章内容和课程学习目标三、本章内容和课程学习目标 四、几个值得关注的问题四、几个值得关注的问题 五、具体教学建议五、具体教学建议 六、好题推荐六、好题推荐 从从数学课程标准数学课程标准看，关于数的内容，看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数数与代数”领域的重要内容。对于有理领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教材安排数和实数，本套教材安排3章内容，分别是章内容，分别是7年级上册第年级上册第1章章“有理数有理数”，8年级上册年级上册第第13章章“实数实

2、数”和和9年级上册第年级上册第21章章“二二次根式次根式”。本章是在有理数的基础上认识。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要实数，对于实数的学习，除本章外，还要在在“二次根式二次根式”一章中通过研究二次根式一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。的运算，进一步认识实数的运算。 本章的主要内容是平方根、立方根的概念本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算通过本和求法，实数的有关概念和运算通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内范围扩大到实数范围，本章之前的数学内

3、容都是在有理数范围内讨论的，学习本章容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题虽然本之后，将在实数范围内研究问题虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备作好准备本章教学时间约需本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：课时，具体分配如下

4、（仅供参考）： 101平方根平方根 3(4)课课时时102 立方根立方根 2(1)课时课时 103实数实数 2 课时课时数学活动与数学活动与 小结小结 1 课时课时（一）本章主要内容包括算术平方根、平方（一）本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算根、立方根以及实数的有关概念和运算（二）本章知识结构框图（二）本章知识结构框图1本章知识的内在结构如下图所示：本章知识的内在结构如下图所示：重点重点:算术平方根和平方根的概念和求法算术平方根和平方根的概念和求法难点难点: 平方根和实数的概念平方根和实数的概念 1了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会了解算术平方根、平方根、

5、立方根的概念，会 用根号表示数的平方根、立方根；用根号表示数的平方根、立方根；2了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；立方根，会用计算器求平方根和立方根；3了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化；

6、概念、运算等的一致性及其发展变化；4能用有理数估计一个无理数的大致范围能用有理数估计一个无理数的大致范围（一）把握教学要求（一）把握教学要求本册书对于某些内容采用提前渗透、逐本册书对于某些内容采用提前渗透、逐步提高的编写方式例如，对于平面直角步提高的编写方式例如，对于平面直角坐标系，在第坐标系，在第6章章“平面直角坐标系平面直角坐标系”中研中研究了点与有序数对的对应关系，其中点的究了点与有序数对的对应关系，其中点的坐标都是整数，在本章将把点的坐标由整坐标都是整数，在本章将把点的坐标由整数的情形扩展到实数范围，并建立点与有数的情形扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函序

7、实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等数的图象、函数与方程和不等式的关系等打下基础打下基础 对于平移变换，教课书在第对于平移变换，教课书在第5章章“相交线与相交线与平行线平行线”中安排了一节中安排了一节“平移平移”，探讨得，探讨得出出“平移前后的两个图形的对应点的连线平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等平行且相等”等平移变换的基本性质，又等平移变换的基本性质，又在第在第6章章“平面直角坐标系平面直角坐标系”中安排了用坐中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换，这时平移中遇到的坐一步认识平移变换，这

8、时平移中遇到的坐标都是整数的情况在本章，由于建立了标都是整数的情况在本章，由于建立了点与有序实数对的一一对应关系，本章又点与有序实数对的一一对应关系，本章又在实数范围内研究平移的内容，为后续学在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础等）进行图案设计等打下基础 本章还通过一个例题学习了实数的简单本章还通过一个例题学习了实数的简单运算，安排这个例题的目的是要说明有理运算，安排这个例题的目的是要说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围

9、内数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，关于实数的运算在后面的仍然成立，关于实数的运算在后面的“二二次根式次根式”一章中还要继续研究一章中还要继续研究 85页页 另外，本章也提前渗透了一些数学思想和另外，本章也提前渗透了一些数学思想和方法比如，本章的数学活动方法比如，本章的数学活动1，涉及到勾，涉及到勾股定理的内容，让学生利用勾股定理，在股定理的内容，让学生利用勾股定理，在数轴上画出表示几个无理数的点这里只数轴上画出表示几个无理数的点这里只是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股定理以后还要进行专门的研究综上所述，定理以后还要进行专门的研究综上所述，本章

10、教学时要注意把握教学要求，以一种本章教学时要注意把握教学要求，以一种发展的、动态的观点看待教学要求，不能发展的、动态的观点看待教学要求，不能要求一次到位要求一次到位 使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力提倡使用计算器进有实际应用价值的运算能力提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求个教学要

11、求 76页页12题题 任意找一个正数，比如任意找一个正数，比如1234，利用计算器对，利用计算器对它进行开平（它进行开平（立立）方，在对得到的平（）方，在对得到的平（立立）方根进行开）方根进行开（立立）方）方如此进行下去，你有什么发现？如此进行下去，你有什么发现？ 81页页10题题（一）让学生体会和理解算术平方根的意义让学生体会和理解算术平方根的意义 32 = ？ （ ？正数？正数 ）2 = 9正方形的面积19164/25边长1.求算术平方根表示形式：（求算术平方根表示形式：（1）9的算术平方根的算术平方根 （2）若）若x2=9 (x0) , 求求x （3） 2符号的意义：符号的意义：提供了一

12、种方便表示算术平方根的方法；提供了一种方便表示算术平方根的方法； 因为因为2不是完全平方数，所以它的算术平方根只能用根不是完全平方数，所以它的算术平方根只能用根的符号即来表示的符号即来表示同时也表示一种运算，即对非负数进行算术平方根运算同时也表示一种运算，即对非负数进行算术平方根运算. 93.平方根符号的演变形成公元2世纪,罗马数学家尼普萨斯用拉丁语Latus(意思为正方形的边)记平方根,后来L成为欧洲一个常用的平方根符号；16世纪德国数学家鲁多尔夫和比利时的数学家斯蒂文使用表示平方根，1637年笛卡尔使用 作为平方根的符号；1647年英国数学家奥特雷德用r表示平方根。1721年哈顿用3 表示

13、立方根， 4 表示4次方根。1732年卢贝尔用 表示25的3次方根。后来各次方根都采用了这种形式，一直沿用至今。325 的两个非负：（的两个非负：（1）被开方数）被开方数 （2）例例1. 中的中的x取值范围为取值范围为例例2.已知已知 求求a,b 的值的值例例3.已知已知 求求x+y值值例例4.已知已知 求求a的取值范围的取值范围例例5.求求 的最小值的最小值a0a 0a 04y) 3x(2, 23a2223a4b, 1a) 1(a22x-1221xxx问题：怎样用两个面积为问题：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个的正方形拼成一个面积为面积为2的大正方形？的大正方形？拼法拼法教材给出的方法：教

14、材给出的方法：可根据情况介绍其它拼法：可根据情况介绍其它拼法： 教材给出了两种求教材给出了两种求 的方法，一种是估算，一的方法，一种是估算，一种是使用计算器。估算是一种具有实际应用价值种是使用计算器。估算是一种具有实际应用价值的方法，提倡使用计算器进行复杂运算，加强估的方法，提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、估算和计算器等培养学生的算，综合运用笔算、估算和计算器等培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求运算能力，是本章的一个教学要求.建议教学中老师应带领学生经历估算的过程，建议教学中老师应带领学生经历估算的过程，使学生了解用夹逼法估算无理数的方法，感受使学生了解用夹逼法估算无

15、理数的方法，感受 是无限不循环小数这个事实；是无限不循环小数这个事实；有些学生可能已经知道有些学生可能已经知道 ,不妨让学生估算不妨让学生估算常用的几个无理数的近似值建议让学生记住：常用的几个无理数的近似值建议让学生记住： 23,2221.需向学生解释需向学生解释 的意义；的意义；2.给出了一种常见的用有理数估算无理数的方法（用给出了一种常见的用有理数估算无理数的方法（用与被开方数最接近的完全平方数来估算它的算术平与被开方数最接近的完全平方数来估算它的算术平方根，即当含有根式的数比较大小时，可先比较它方根，即当含有根式的数比较大小时，可先比较它们的平方数），应使学生掌握，并感受估算能力是们的平

16、方数），应使学生掌握，并感受估算能力是生活中需要的一种能力。生活中需要的一种能力。3.归纳比大小常用的方法：近似估值法，比平方（立归纳比大小常用的方法：近似估值法，比平方（立方），作差等方），作差等 例：比较大小例：比较大小 ，与，与，与，与，与7173112.59121402425335034.例例3的延伸与开拓的延伸与开拓小丽想用一块面积为小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，的正方形纸片，沿着边的方向沿着边的方向裁出一块面积为裁出一块面积为300cm2的长方的长方形纸片，使它的长宽之比为形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否，不知能否裁出来？裁出来？ 若把此问题中的条件若把此问题

17、中的条件“沿着边的方向裁出沿着边的方向裁出”改改为为“要剪拼出一块面积并且使剪裁的块数尽量要剪拼出一块面积并且使剪裁的块数尽量少少”，问是否可裁出？，问是否可裁出？ 方法一 方法二 方法三1.本套教材是在算术平方根的基础上展开了对平方本套教材是在算术平方根的基础上展开了对平方根的讨论和学习，介绍了根的讨论和学习，介绍了利用乘方和开方互为逆利用乘方和开方互为逆运算来求平方根运算来求平方根的方法。并用的方法。并用73页的图页的图13. 1-2直观地描述了乘方与开方互为逆运算的关系，揭直观地描述了乘方与开方互为逆运算的关系，揭示了开平方运算的本质。示了开平方运算的本质。2.让学生从宏观上把握开方，理

18、解开方是乘方的逆运算让学生从宏观上把握开方，理解开方是乘方的逆运算 a2 = N (3)2 = ？ （ ? ）2 = 9（2）联系加减、乘除、乘方与开方互为逆运算，联系加减、乘除、乘方与开方互为逆运算， 使学生在六种运算的整体中认识开方运算；使学生在六种运算的整体中认识开方运算；（3）给出具体的例子正确区分）给出具体的例子正确区分 的含义；的含义； 是省略是省略+的写法的写法 需加强此方面的训练和理解，需加强此方面的训练和理解， a,aa39, 393,9a,a,a412,4125,169,16.0,43,121322221.此题设置的目的是让学生通过一些具体的例子了此题设置的目的是让学生通过

19、一些具体的例子了解二次根式的两个行性质；解二次根式的两个行性质；2.教学要求教学要求 了解，有所感受为以后学习做准备。老师可根据了解，有所感受为以后学习做准备。老师可根据情况来把握要求。情况来把握要求。 具体数的计算应该掌握。具体数的计算应该掌握。 例如例如 运算从乘方与开平方互为逆从算术平方根的角度a)a( a a222)22（,)4( ,6-22）（1.平方根：（平方根：（1）9的平方根的平方根 （2） （3）若）若 ，求，求2.算术平方根：（算术平方根：（1）9的算术平方根的算术平方根 （2） （3）若）若 求求 例：解方程：例：解方程：99x2x9),0 x(9x2x0121) 13x

20、)(3(50) 1x(49)2(2516(1)x222常用完全平方数：常用完全平方数：289172561622515196141691314412121112222222361193241822(一)对于立方根，教材采用了类似平方根的方法讨对于立方根，教材采用了类似平方根的方法讨 论。首先也是从典型的实际问题（已知立方体的论。首先也是从典型的实际问题（已知立方体的 体积求边长）出发，引出立方根的概念，介绍了体积求边长）出发，引出立方根的概念，介绍了利用乘方与开方互为逆运算求立方根的方法，探利用乘方与开方互为逆运算求立方根的方法，探讨了立方根的特征，最后学习使用计算器求立方讨了立方根的特征，最后

21、学习使用计算器求立方根。根。(二二)在立方根的教学中，可对比平方根进行，分析在立方根的教学中，可对比平方根进行，分析它们的区别与联系，加强新旧知识的联系，既巩它们的区别与联系，加强新旧知识的联系，既巩固复习了平方根的知识，又利于立方根知识的理固复习了平方根的知识，又利于立方根知识的理解与掌握。解与掌握。1.提出问题提出问题:为什么开立方时是一对一，而开平方时为什么开立方时是一对一，而开平方时一对二？一对二？2.推广与延伸推广与延伸 平方根是偶次方根的典型代表，立方根是奇平方根是偶次方根的典型代表，立方根是奇次方根的典型代表；偶次方根、奇次方根次方根的典型代表；偶次方根、奇次方根具有与它们类似的

22、性质与特征具有与它们类似的性质与特征 例：例：(1)16的的4次方根是（次方根是（ ） （2）-32的的5次方根是（次方根是（ ）1.让学生熟悉常用的立方数让学生熟悉常用的立方数2.理解立方根的三种的表现形式理解立方根的三种的表现形式 8的立方根的立方根 ； ； 若若 ，求，求 会利用立方根定义解相关方程，比如会利用立方根定义解相关方程，比如729951283437216612556442738233333333388x3x064)2x(278) 1x(333. 81页第页第9题通过具体的计算让学生体题通过具体的计算让学生体会和发现立方根的两个性质让学生掌握并会和发现立方根的两个性质让学生掌握

23、并会运用来进行具体数的计算。会运用来进行具体数的计算。a)a(aa33331.平方根与立方根的特征平方根与立方根的特征 （1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；负数没有平方根；数；负数没有平方根；0只有一个平方根，它只有一个平方根，它是是0本身本身（2）一个正数有一个正立方根；一个负数有一）一个正数有一个正立方根；一个负数有一个负的立方根；个负的立方根； 0的立方根是的立方根是0本身；本身；2.0a, 0aa (a, 0aa33可为正数、负数，为任意实数）隐含3. 平方根与立方根的性质平方根与立方根的性质4. 一般地，求一个数的平方根、立方根都有两种

24、方法一般地，求一个数的平方根、立方根都有两种方法（1）根据开方与乘方互为逆运算）根据开方与乘方互为逆运算 （2）用计算器求）用计算器求) 0a (aa),0a (aa(aaa) 1 (22）（为任意实数）为任意实数）a (aa-a,a(,)2(333333 aa(一)本节内容简介 本节采用与有理数对照的方法引入了无理数的概念，本节采用与有理数对照的方法引入了无理数的概念，并给出了实数的概念与分类。接着通过探究在数轴并给出了实数的概念与分类。接着通过探究在数轴上画出表示上画出表示 和和 的点，说明了无理数也可以的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出数轴上的点与实数是用数轴上的点来表示

25、，并指出数轴上的点与实数是一一对应的，平面上的点与有序实数对是一一对应一一对应的，平面上的点与有序实数对是一一对应的。接下来结合具体的例子说明随着无理数的引入，的。接下来结合具体的例子说明随着无理数的引入，数域扩展到实数后，在有理数范围内成立的一些概数域扩展到实数后，在有理数范围内成立的一些概念和运算在实数范围内仍然成立。念和运算在实数范围内仍然成立。2(二)实数的概念与分类1. 无限不循环小数又叫无理数；有限小数无限不循环小数又叫无理数；有限小数或无限不循环小数是有理数。或无限不循环小数是有理数。2.分数与小数的互化分数与小数的互化 所有的分数都可化为有限小数或无限循环所有的分数都可化为有限

26、小数或无限循环小数。小数。3. 初中阶段常见的无理数初中阶段常见的无理数（1）开方开不尽开方开不尽的数的数 （2）含）含 的式子的式子 （3）本身就写）本身就写成了无限不循环小数的成了无限不循环小数的 （4）三角函数）三角函数 有理数有理数rational number（可写成两个整（可写成两个整数比的数）数比的数） 无理数无理数irrational number（不能可写成（不能可写成两个整数比的数）两个整数比的数） 徐光启在译成中文时，因为中文中没有现成徐光启在译成中文时，因为中文中没有现成的、可对照的词，理是比的意思。的、可对照的词，理是比的意思。 教参拓展资源中有介绍。教参拓展资源中有

27、介绍。 在在83页的探究活动中用滚动圆和画正方形的方页的探究活动中用滚动圆和画正方形的方 法介绍了在数轴上画出法介绍了在数轴上画出 的点的方法。的点的方法。 建议老师把教材建议老师把教材89页的数学活动提到此节后讲。页的数学活动提到此节后讲。 数学活动数学活动1 介绍了利用勾股定理在数轴上作出一介绍了利用勾股定理在数轴上作出一 些表示无理数的点。勾股定理以后还要专门研些表示无理数的点。勾股定理以后还要专门研 究，本节课只需让学生知道勾股定理的结论并会究，本节课只需让学生知道勾股定理的结论并会运用作出斜边为运用作出斜边为 等的直角等的直角三角形即可。三角形即可。2,10,6,5, 3,2（1）引

28、入无理数后当数从有理数的范围扩充到实）引入无理数后当数从有理数的范围扩充到实数范围后，相反数、绝对值的意义同样适用，有数范围后，相反数、绝对值的意义同样适用，有理数的运算律和运算性质仍然成立；理数的运算律和运算性质仍然成立； 使得原有的规律在更大的范围继续成立这是数学使得原有的规律在更大的范围继续成立这是数学推广的一个特征推广的一个特征（2）涉及无理数的计算，可以通过取近似值转化）涉及无理数的计算，可以通过取近似值转化为有理数的计算。为有理数的计算。 例如例如 （精确到（精确到0.01） 在教学中老师需指出并强调：在计算过程中取的在教学中老师需指出并强调：在计算过程中取的近似值要比结果的要求要

29、多取一位小数。比如此近似值要比结果的要求要多取一位小数。比如此题结果要求精确到百分位，在计算过程中就要取题结果要求精确到百分位，在计算过程中就要取到千分位。到千分位。5 1.在在 中，其中：中，其中： 整数有整数有 ； 分数有分数有 ； 正有理数有正有理数有 ； 无理数有无理数有 ; 负实数有负实数有 .14,25, 2-0,114,. 3,161, 2,3,1752.如图所示，如图所示，B,C到到A的距离相等，的距离相等，A,B在数轴上表在数轴上表示的数分别为示的数分别为1， ，设，设C点表示的数为点表示的数为x， 求求 的值的值 C A B x 1 CA=CB -1=1-x x=2-222

30、3x 2223.阅读下面的文字，解答问题阅读下面的文字，解答问题. 大家知道大家知道 是无理数，而无理数是无限不循是无理数，而无理数是无限不循 环小数，因此环小数，因此 的小数部分我们不可能全部的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用地写出来，于是小明用 来表示的小数部来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分差就是小数部分. 请解答：已知请解答：已知 ，其中，其中 是整数，是整数，且且 ，求，求 的相反数和绝对值的相反数和