导数应用八个专题汇总

1、精品文档31欢迎下载题组1:1.求函数f(x)3x22.求函数f(x)3x3.求函数f(x)3x4.求函数f (x)5.求函数f(x)题组2 :1.讨论函数f (x)2.讨论函数f (x)1.导数应用之函数单调性9x 12的单调区间.In x的单调区间.In x的单调区间.1的单调区间.x I n xIn x-In x xx31 33.求函数f (x) mx4.讨论函数f (x)ln( x 1)的单调区间.1 -ax 33224a x a (a 0)的单调区间.3ax2 9x 12的单调区间.(2 m)x2 4x 1 (m 0)的单调递增区间2(a 1)In x ax2 1的单调性.精品文档1

2、1欢迎下载5.讨论函数f (x)In x ax 1-a 1的单调性.x题组3:1. 设函数 f (x)x3 ax2 x 1.(1) 讨论函数f (x)的单调区间；-一 2 1(2) 设函数f(x)在区间(-，-)内是减函数，求a的取值范围.332. (1)已知函数f (x) ax2 x In x在区间(1,3)上单调递增，求实数a的取值范围已知函数f(x) ax2x In x在区间(1,3)上单调递减，求实数a的取值范围3. 已知函数 f(x) (x3 3x2 ax b)e x.(1) 若a b 3,求f(x)的单调区间；(2) 若f (x)在(，),(2,)单调递增，在(,2),(,)单调递

3、减，证明：>6.解：(1 )当 a="b=" -3 时，f (x) =(x+3x-3x-3)e ，故(仝9©三一玄(戈-戈+矿'3分当 x<-3 或 0<x<3 时，/ £殆 >0；当-3<x<0 或 x>3 时，扌嵌 <0,从而f(x)在(-工，-3 ), (0, 3) 上单调递增，在(-3 , 0), (3, +丈)上单调递减6分2)门力=7/与虹磁宁*仪/乂“国f閏+站$_切.7分由条件得=八力-0即丫壬卫-沙-"得X 4 p从耐3-丹捽+ S -14-2因村S二所以 * 土仗

4、一 6聚+ 4 - 2d = (x - 2)( - Gf(z -= (jc -2X r1 一 9 4 砂+钠将右辺展开，与左边比较系数得.茂+沪-二犁之-2. ：1。分故口一m二J(£v莎-即-屈-A口.，伯分忠&一现电乞即呀乂负+妙诃七由此可得a<-6,于是戸->6。12分4. 设函数 f(x) x3 ax2 a2x 1,g(x) ax2 2x 1,(1) 若a 0,求函数f (x)的单调区间；(2) 若f (x)与g(x)在区间(a,a 2)内均为增函数，求a的取值范围.2. 导数应用之极值与最值1.设函数f(x) x2ex 1 ax3 bx2,且x2和x 1

5、均为f (x)的极值点.(1)求a , b的值,并讨论f (x)的单调性;设g(x) 2 x3 x2,试比较f (x)与g(x)的大小.解答： 解;(1) fr (x)二盘住“十以产Uh存十2b沪(卄2)+x(3ax+2b) 5 r f | - ? j=r.由“-2和笑=1为£小的极值点，得(八Iz =0ort f-6a-23 J即<1”3少吃力=0(_ 1解得 33 = -1(2)由(】)得f (Q =x2ex-x3-x2,故f (x) -s (x)=知-2宀2-(討工2) “ W). 令h (x)则h* =ex1-L令h' ( K )二 Cl, X1 .h Cx)

6、、 h 5)随乂的变化情呪如表：X(-«> j 1 )1(1 > +« )( K )-0th ( « 507由上表可知，当炸1时* h (x)取樽核小值，也昱最小值；竝当赛E (-P +« )时，h (T C 1) 也就是恒有h (x) 3山0 I 所以 f ( X ) -g ( X ) BCh哉对任意nW t+°° ) > 'I亘有£ ( s)三毛(X),2.设函数 f(x) x2(x a).(1)若f '(1) 3,求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程;求函数y f (x)

7、在区间0,2上的最大值3. 设函数 f(x) ax3 3x2.(1)若x 2是函数y f (x)的极值点，求a的值；若函数g(x) f (x) f (x), x 0,2,在x 0处取得最大值，求a的取值范围.1324. 已知函数f (x) x3 x22 .3(1)设Sn是正项数列an的前n项和，a1 3,且点(an,a；1 2a. J在函数y f'(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在yf '(x)的图象上； 求函数f (x)在区间(a 1,a)内的极值.5.设函数 f(x) ax3 bx2 3a2x 1 在 x x-i, x x2处取得极值,且 x22 .(1) 若a 1,

8、求b的值，及函数f (x)的单调区间；(2) 若a 0,求实数b的取值范围.解：fJ (x)2分)I )当丑=1 时,£' (x )3；由题意扣F 勺为方程3x2bx-3 = 0的两根，|x-xJ = £E±l&.L £3由 | = 2i 得b=0(4骨)从而£ ( k ) =x£-3k+1 j f? C x ) =3龙亠-(. x+1) ( x- 1 ) +当 xE(-1，1：时，f* U) O；当莖 E C-«* 一1LJ ( b +« )时 丫 £T (k) >0.故f厲)在(

9、-L, 1)单调递减p在(-1 -1)，(b十丹)单调递増.0分)(II)由式及题意知仏，叫为方程322+2bx3a3=0的两根,23所U1 復工 |=d斗"T右口 -从而=?b;=0a2 t 1-a) *1 2加由上式及题惯知UCaWl. (B分)考虑芝(a) =Sa;-9a3,13a-27a2 = 27-).( 10)故)在® 誕调递增，在时1弹调递减，从而g ("在 W 1的极大僖为於尸扌24乂芝心)左(山1上只有一个檢值，所以貞弓=为巨(a) # CD, 1±的最大值，且最小值为&1) =0.所臥 -翠爭(14分)16.设函数f(x)ax

10、3 bx2 (2 b)x 1在捲处取得极大值，在x2处取得极小值，且0捲1 x2 2 .3证明：a 0,并求a 2b的取值范围.(a 1)x 5的一个极值点7.已知x 1是函数f(x) -ax3 x232(1)求函数f (x)的解析式;f (x)的图像与直线y2x m有三个不同的交点求实数m的取值范围8.已知x 3是函数f(x) aln(12x) x10x的一个极值点(1)求f (x)的解析式及其单调区间; 若直线y b与曲线yf (x)有三个交点，求b的取值范围9.设函数 f(x) x4 ax3 2x2 b(x R).(1)若函数f (x)仅在x 0处有极值，求a的取值范围; 若对于任意的a

11、 2,2 ,不等式f(x) 1在 1,上恒成立,求b的取值范围.解；(1)求导函数可得( k) =k (4xJ+3ax+4) ?( 1分)显然h二U不是方的根*为使f 5)仅在囂二D处有根值，必须q如+3住+4$0威立，3分)gQ即有=£于-阴W0,解得-亍3写所力的取值范围是仝，為(盼)"分)(11分】由条件aS -2, 2,可知国以-临4<山从而4s2-+3az-Hl>0(叵成立.k<0时.f1 (x) <C：当K>O0ti f5 Ck) >0.因此函数£心)在-】，叮上的最丈值是f (1)与壬-1两者中前较穴者.为便对任意

12、凶玄匚-2，21,环等式£小 鲨1在-1，叮上恒成立,b<2-n_ 、在a£ '2i 2上恒咸立* b<2-a、治所以bWT因此满足霜件的b的礙值也囤昱C -w ! iQ当且仅当(13分)14 分10.设x 3是函数f(x) (x2 ax b)e3 x的一个极值点(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求函数f(x)的单调区间;2 25设a 0, g(x) (a )ex.若存在為必40,4 ,使| f(xj g(X2) 1总成立，求a的取值范围解：I丁 g)x2+ C3-2)宜+b幻/3由严(3)丸,得护+仏-2) 3+b-a &3 Mi即得b=

13、-卜2s则 f ( x )=【衣亠十(a2 ) u-3-2a-a e2<1<-x"+ ( a-2) x-33a eJ'K=- (x-3)( X + a+1)令£' ( x ) =01 得= 3或x=-a- l j曲干x二j是极值点！所以m+lMh 耶么aHT.当 a<-4Btt xr>3=x.' 则在区间(-«. 3)上* f (x) <0, f Ck)为减函数f在区闾心，-a-U 上，F (k) >0. f (x)为増画数；在区间( a h +«) ±i f Z <0- t h

14、)为减函数，当旦一4时，3K-»则在区间-a-13上.f?5<0- f (x)为减函数：在区间3)上，亡>0, f (K)为増函數；在区何心，+®)上，彰<0, f Cs)为握函数.上单诩谨减.H J由I知，当3>O0t，f (x)在区间(0, 3J上的单调递增，在区间(乳4) 那么f (小 在区间!上的值域是朮讣Cf (。)，f(4), f(3) b而fM =- ( ?a-H3)e 1黑(I )代戈戸灯K址-纽4+1)=-& 庆 (/七* 由题意知 f(iJ =Cs 即得 cx- 2c- ck=0>( * )丁匸HO, Ak*O. F

15、 (左=0|-kz：'-2K+ck = 0J 由韦达定理水口另一个极值点箱xL (或x = c )<0i f (1) = <2a+l3)a_1>0» f ( 3)a + 6)那么f (灯 在眩间4上的值域是-(2a + 3) & a-HG.1 25 r灭凯町=/+在区间® 4上是增函熱且它左区间0- 4±的值城是B手,Caty) e*,25-11由干(玄“*)-(a4C ) =a"-a+y= ( df-) L C>442所以只须仅须(a却孚-心十G弋1且玄山斗解得D V3故渔的取值范围是(小$kx 111.已知函数

16、f(x) 二 -(c 0且c 1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c(1)求函数f (x)的另一个极值点； 求函数f (x)的极大值M和极小值m,并求M m 1时k的取值范围.精品文档(II )由(：O式得上二 占，即亡=1一右当 c>lBts k>0；当 DVt?Vl 时，k<-2-CiD当k>0时，f (Q在(岀，-c)和(1, +«)內是减函數，在1內是增函數. Jt-1 jt、'/cc+1_. _'*=人 1 ''= =可 > (h m j(c i = i = W ''J ju+l -

17、f +c 2(Jt+2)L-.2l由口-和=->lk>0,解得k>Si.2 2(k-2Cii)当k<-2Bt1 i Cx)往-*,)和(1* w)内是増函数，在 Os n内是颯函数*.-M=f亡)=>o,桶=ai)=<o.w-j»= -Q -§= i一鱼工if土 1 怛成立.2(如2)12Ct4-2) 1肋 2综上可知，所求k的取值范围対(-H, -2U J2, +=)-3212.设函数f(x) ax bx ex d的图像上有两个极值点P,Q ,其中P为坐标原点(1)当点Q的坐标为(1,2)时,求f(x)的解析式； 当点Q在线段x y 5

18、 0 (1 x 3)上时，求曲线的切线斜率的最大值.3. 导数应用之函数的零点题组1:1. 函数f(x) 3x x2在区间1,0内有没有零点？为什么？2. 函数f(x) 23x的零点所在的一个区间是【】.A. ( 2, 1)B.(1,0) C.(0,1)D.(1,2)3.函数f (x)的零点与g(x)4x 2x 2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x)可以是【A. f (x)x e1B.C. f (x)(x1)2D.4.若 2 a 3b4,且函数f(x)lOg ax xA. 1B.2C.f (x) 4x 11f (x) ln(x )2b的零点x。 (n,n 1) (n Z),则n【】3

19、D.4217欢迎下载题组2:5.设函数y f (x)的图像在a, b上连续，若满足,则方程f (x)0在a,b上有实根.16.已知Xo是函数f(x) 2x的一个零点.若x! (1,Xo), X2 (Xo,),则【 】1 xA. f(Xi)0, f(X2)0B.f (Xi)0, f(X2)0C. f (x1) 0, f(x2) 0D.f (x1) 0, f(x2) 017. 函数f(X) x 一的零点个数为 .x38. 求证：函数f(x) x22 在区间(0,2)内没有零点.x 1题组3:9. 函数f(x) x log2x在区间(0,1)内是否有零点？为什么？10.求证:函数f(x)4 X2x1

20、在区间1,2内至少有两个零点11.求证:函数f(x)(X3)(x8)1有且只有两个零点.12.求证:函数f(x)ln x2 XX1有且只有两个零点.213. 设函数f(x) ax bx c,若f (1) 0, f(2) 0,则f(x)在区间(1,2)上的零点个数为【】A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个D.一个也没有14. 设m (1,),求证:函数f (x) x ln(x m)有且只有两个零点.215. 判断函数f(x) x lg x在区间(0,10)内的零点个数，并说明理由.题组4:n*16. 设函数 fn(x) x x 1 (n N ,n 2).、 1(1) 证明：fn(x)在

21、区间(一,1)内存在唯一的零点；2(2) 设Xn是fn(X)在,1)内的零点,判断数列X2,X3丄，X.L的增减性.217. 设函数 f (x) x2 (a 2)x a lnx .(2) 若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数 a的值；(3) 若方程f (x) c有两个不等实根x1,x2,求证：f (X1 X2) 0 .218. 设函数f(x) 21 nx mx x2有两个零点x1, x2,求证：f (丕 X2) 0 .219.设函数f(x) In x ax有两个零点 为。2,求证：e .2x x20.记函数 fn(x)1 x 1! 2!nnn!N ),求证:当n为偶数时，方程fn(x)0没

22、有实数根;当n为奇数时，方程fn(x)0有唯一实数根xn,且xn 2 xn.21.设函数fn(x)122232nx2 (x R, n N ), n2(1)证明：对每个n N ,存在唯一的冷2,1,满足仁(冷)0 ；3证明：对任意p N ,由中人构成的数列人满足0 焉Xn p4. 导数应用之图像的切线题组1:1.求平行于直线9xy 10,且与曲线yx3 3x21相切的直线方程2.求垂直于直线 x 3y20,且与曲线yx33x21相切的直线方程3.求与直线3x y 20夹角为45 ,且与抛物线y2x2相切的直线方程4. 设函数f(x) sinx图像上动点P处切线的倾斜角为，求 的取值范围.题组2

23、:5. 求函数f(x) 2x3的图像C在点P(1,2)处的切线I方程，以及曲线C与切线I的所有交点坐标6. 求函数f(x) 2x3的图像经过点 P(1,2)的切线方程.精品文档7. 求函数f(x) 2x3的图像经过点P(1,10)的切线方程.x 98. 求经过坐标原点,且与函数f(x)的图像相切的直线方程x 5b9. 设函数f(x) ax ,曲线C：y f (x)在点(2，f(2)处的切线为7x 4y 120 .x(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 求证:曲线C上任意一点处的切线与直线y x,以及y轴所围成三角形的面积为定值.10. 已知直线2x y 3 ln2 0是函数f (x) ln

24、 x -的图像C的一条切线.x(1) 求f (x)的解析式；(2) 若P(s,t)是曲线C上的动点，求曲线C在点P处的切线纵截距的最小值.题组3:11. 已知直线y x是函数f(x) x3 3x2 ax 1图像的一条切线，求实数a的值.12. 已知a 0,且过点P(a,)可作函数f(x) x3 x图像的三条切线，证明：a f (a).13.设函数f (x)1312x ax32x c (a0)的图像C在点P(0, f(0)处的切线为y 1.(1)确定b,c的值;设曲线C在A%, f(xj), B(X2, f(X2)处的切线都过Q(0,2),证明：若捲 X2,则f'(为)f'(血)

25、； 若过点Q(0,2)可作曲线C的三条不同切线，求a的取值范围.1 3 1 214.已知函数f(x) x ax bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点.3 2(1)求a2 4b的最大值； 当a2 4b 8时，设曲线C: y f(x)在点A(1, f(1)处的切线I穿过曲线C(穿过是指：动点在点A附近沿曲线C运动,当经过点A时,从I的一侧进入另一侧),求f (x)的表达式.15.由坐标原点0(0,0)向曲线y x3 3x2 x引切线，切于不同于点 O的点Pi(xi, yi),再由R引切线切于不同于R的点P2(X2,y2),如此继续下去，得到点Pn(xn,yn)，求人1与X.的关系，及人的

26、表达式巩固练习：1. 求函数f(x) 2x3的图像经过点P(1, 8)的切线方程x 312. 求函数f(x) 飞的图像经过点P(3,-)的切线方程.x2 323. 如图，从点R(0, 0)作x轴的垂线交于曲线 y ex于点QO, 1),曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2 ;再从P2作x轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点：P, Q1,巳，Q2,，巳，Qn,记点 Pk 的坐标为 Pk(Xk, 0) (k 1,2,3,L , n).(1)求 Xk1 与Xk之间的等量关系；(2)求|RQ1P2Q2 |P3Q3. PQn|.5.导数应用之存在与任意1.已知函数f (x) x a

27、b(x 0),其中 a, b R . X(1)若曲线f (x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y 3x 1 ,求函数f(x)的解析式;1若对于任意的a 一 ,2,不等式f(x)210在x ,1恒成立，求b的取值范围.4x 119欠迎下载2. 已知函数 f(x) (1 x)22ln(1 x).(1)求f (X)的单调区间；(2)若 f (X)13.设函数f(x).xl nx(1)求f (x)的单调区间；(2)1若2匚4.已知函数f (X) ln 2(x21) x m对x e 1 1,e 1恒成立，求m的取值范围;aX对X (0,1)恒成立，求a的取值范围精品文档(1)求f (x)的单调区间

28、；1若(1-)ne对 nnN都成立，求的最大值5.设函数 f (x) x(ex 1) ax2.1(1)若a,求f (x)的单调区间；(2)若当x 0时，f(x)0,求a的取值范围.6.设函数 f(x) ex ax2 x.(1)若a 0,求f (x)的最小值；(2)若当x 0时，f(x)1恒成立，求a的取值范围7.设函数f(x) ex ax的图象与y轴交于点A,曲线y f (x)在点A处的切线斜率为1 .(1)求f (x)的极值；证明：当x 0时，X2ex; 证明：对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x x0,恒有x2 cex.8.设函数 f (x) ax cosx,(1)讨论函数f (x)在

29、区间0,内的单调性； 若f (x)1 sin x对x 0,恒成立，求实数a的取值范围.9.设函数f(x)xcosxsinx,x 0,.2(1)求证:f(x)0 ；若asin xxb对x(0, 2)恒成立，求a的最大值与b的最小值10.已知函数 f(x) (a 1)lnx ax21,(1)讨论函数f (x)的单调性；1,且对任意的x1 ,x2(0,),都有 |f(xj g)4区X2 |,求a的取值范围11.已知x 3是函数f(x) (x2ax b)e3 x的一个极值点25欠迎下载 求a与b的关系式(用a表示b),并求函数f(x)的单调区间;25设 a O,g(x) (a2)ex.若存在 x,x2

30、40,4 ,使得f(M)g(x2) 1成立,求a的取值范围12.已知函数f(x)ax31 37-x2 cos2x c的图像过点(1,),且在2,1上递减,在1,)上递增.2 6(1)求f (x)的解析式; 若对任意的X"|, x2m,m 3都有 f(xj45f (x2) 成立,求正实数m的取值范围.113.设函数 f (x)- mx33(2 -)x2 4x21, g(x) mx 5 .(1)当m 0时,求函数f (x)的递增区间;(2)是否存在负实数m ,使得对任意的人,X21,2,都有g(xj f(X2)1 ?若存在,求m的范围；若不存在，请说明理由6. 导数应用之极值点偏移1.(

31、1)设不同的两点 A(x1, y1), B(x2 ,y2)均在二次函数 f (x)ax2bx c ( abc 0)的图像上，记直线 AB的斜率为k,求证：k f'( 一x22(2)设不同的两点A%, yj, B(X22)均在“伪二次函数”g(x)2ax bx cln x ( abc 0)的图像上，记直线AB的斜率为k,试问：k g '(xx2)还成立吗?2.设函数f (x) ax2(1 2a)x In x (a R).(1) 当a 0时,求函数f(x)的单调递增区间；(2) 记函数y f(x)的图像为曲线C ,设A(X1,y1), Bgy)是曲线C上不同的两点，M为线段AB的中

32、点,过点M作x轴的垂线交曲线 C于点N .试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB ?3. 设函数 f(x) x2 (a 2)x alnx .(1)求函数f (x)的单调区间;(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数 a的值；若方程f(x) c有两个不等实根Xi, X2 ,求证：fQ X2)0 .24.设函数 f (x)21nx mx x2.(1)若曲线y f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y 2x n,求实数mn的值； 若m4,求证：当a b 0时，有卫卑 f2(b)2 ；a b 若函数f (x)有两个零点x1, x2 (x1 x2),且Xo是x1,x2的等差中项，求证：f

33、'(x0) 0.5.设函数f(x)26.设函数f(x) ex1n x ax有两个零点 x1, x2,求证:xe .ax a的两个零点为 禺，X2,求证：X1X2 禺 X2 7.设函数f(x)ex ax,其中 a e,(1)求证:函数f (x)有且仅有两个零点x1, x2,且 0x11X2; 对于(1)中的 X1, X2,求证:f '(X1) f '(X2)0.精品文档8.设函数f(x) ex mx的图像在点P(0, f(0)处的切线方程为2x y 1 0 ,求证：对满足a b c的 实数a,b,c,都有f(b) f(a) 加 空成立.bac b7. 导数应用之不等式证明

34、(1)11.证明：对任意的n N ,都有ln( 1)n2.已知m, n N ,且1m n,求证：(1 m)nm(1 n).13.设函数 f(x)- aln(x 1),(1 x)n(1) 当n 2时，求函数f (x)的极值；(2) 当a 1时，证明：对任意的n N ,当x 2时,都有f (x) x 1.4.已知函数f (x) ex aln(x 1) 1在点P(0, f(0)处的切线垂直于 y轴,(1)求函数f (x)的单调区间;#。迎下载精品文档27欠迎下载当 m n 0 时,求证:em n 1 ln(m 1) ln(n 1).x5.设函数 f(x),且 fi(x)f'(x), fn i

35、(x)efn'(x) (n N ).(1)求 fl(X), f2(X), f3(X), fn(x)的解析式; 求证：对任意的实数a,b,以及任意的正整数 n,都有f2n(a)f(n)6.设函数f (x) mx xlnx在x 1处取得极值，数列an满足e 1 a1 1 , an 1(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 求证:对任意的n N *,都有e 1 an 1 ；(3) 求证:对任意的n N ,都有an 2 an2an 1.f(an) (n N ).xx27.记函数fn(x)1-1! 2!xn(n N ),求证:当n为偶数时，方程fn(x) n!0没有实数根；当n为奇数时，方程fn(X) 0有唯一实数根xn ,且Xn 2 xn.精品文档2x x3x ,nx z、1 .2 22 L(x R, n N ),1 23n8