导数的不等式恒成立问题教学内容

1、学习资料导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问 题例 1】 设 a 为实数，函数 f(x) = ex- 2x+ 2a, x R.(1) 求f(x)的单调区间与极值；(2) 求证：当 a>ln 2 1 且 x>0 时，ex>x2 2ax+ 1.(1)解 由 f(x)= ex 2x+ 2a, x R 知f' (x) = ex 2, x R.令 f' (x) = 0，得 x = In 2 ,于是当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：x(8, In 2)In 2(In 2 , + 8)f' (x)0+f(x)单调递减

2、2(1 In 2 + a)单调递增/故f(x)的单调递减区间是(一8, In 2，单调递增区间是In 2 , +),f(x)在 x= In 2处取得极小值，极小值为f(ln 2) = eln 2 2ln 2 + 2a= 2(1 In 2 + a).(2)证明设 g(x) = ex x2 + 2ax 1, x R,于是 g' (x) = ex 2x+ 2a, x R.由(1)知当a>ln 2 1时，g' (x)的最小值为g' (In 2) = 2(1 In 2 + a)>0.于是对任意x R，都有g ' (x)>0,所以g(x)在R上是增加的.于

3、是当a>ln 2 1时，对任意x (0, + 8)，都有g(x)>g(0).而 g(0)= 0，从而对任意 x (0, + 8), g(x)>0.即 exx2 + 2ax 1>0,故 ex>x2 2ax + 1.MJ 已知 f(x) = xln x. (1)求 g(x)= f x + % R)的单调区间； (2)证明：当 x> 1 时，2x e< f(x)恒成立.xk解：(1)g(x)= In x + -，x令 g' (x) = x-"2k= 0 得 x= k.x/ x>0 ,当 k< 0 时，g ' (x)>

4、;0.函数g(x)的增区间为(0,+8)，无减区间；当 k>0 时 g' (x)>0 得 x>k; g' (x)<0 得 0<x<k,增区间为(k,+ 8)，减区间为(0, k).学习资料(2)证明：设 h(x) = xln x 2x+ e(x> 1), 令 h' (x)= In x 1 = 0 得 x= e, h(x), h' (x)的变化情况如下：x1(1, e)e(e, + g)h' (x)1一0+h(x)e 20故 h(x)> 0.即 f(x)2x e.题型二利用导数研究恒成立问题a【例2】 已知函

5、数f(x) = In x-x'若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；3若f(x)在 1 , e上的最小值为2求a的值；若f(x)</在(1，+m )上恒成立，求a的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+),且 f' (x) = 1 + x2 = .T a>0, f' (x)>0 , 故f(x)在(0,+)上是增加的.x+ a(2) 由(1)可知，f' (x)=. 若 a> 1，则 x + a> 0,即 f' (x) >0 在1 , e上恒成立, 此时f(x)在1 , e上是增加的，33-f(x

6、)min = f(1) = a=，a = $舍去). 若 a< e,则 x+ a< 0, 即卩 f' (x)< 0在1 , e上恒成立, 此时f(x)在1, e上是减少的，- f(x)min = f(e)= 1 - = 3, a= e(舍去).e 22 若一e<a< 1，令 f' (x) = 0 得 x = a,当 1<x< a 时，f' (x)<0 , f(x)在(1, a)上是减少的； 当一a<x<e 时，f' (x)>0, f(x)在 ( a, e)上是增加的,f(x)min = f( a)

7、 = ln( a) + 1 = 2,a= 一 e.综上所述，a = e.(3) T f(x)<x2, - In x a<x2.学习资料又 x>0, / a>xln x x3.令 g(x)= xln x x3, h(x)= g' (x) = 1 + In x 3x2,(x) = - 6x= x/ x (1,+ g)时，h' (x)<0 , h(x)在(1, + g)上是减少的. h(x)<h(1) = 2<0,即即 g ' (x)<0, g(x)在(1, + g)上也是减少的.g(x)<g(i) = 1,当 a>

8、 1 时，f(x)<x2在(1 , + g)上恒成立.变武训练2已知函数f(x)= ax3 3x+1对x (0,1总有f(x)> 0成立，则实数a的取值范围是 答案 4 ,+g )解析 当x (0,1时不等式ax3 3x+ 1> 0可化为3x 13x 1a>一，设 g(x)= 亍,x (0,1,xx-3x3 3x 1 3x26 x 2g' (x) =6=4，xxg' (x)与g(x)随x的变化情况如下表：x10, 2122 1g' (x)+0一g(x)4、因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是4 ,+g).导数与不等式的综合问题典例：(1

9、2分)(2011辽宁)设函数f(x)= x+ ax2 + bln x,曲线y= f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为 2.(1) 求a, b的值；(2) 证明：f(x) w 2x 2.(1)解 f' (x) = 1+ 2ax+ x.1 分f 1 = 0,1 + a = 0,由已知条件得即f'1 = 2,1 + 2a+ b = 2.a= 1,解得4分b= 3.(2)证明因为f(x)的定义域为(0,+g),由(1)知 f(x)= x x2 + 3ln x.各种学习资料，仅供学习与交流学习资料设 g(x)= f(x) (2x 2)= 2-x x2+ 3ln x,3x 1 2

10、x+ 3则 g (x)= 1 2x+ -= x .8 分x当 0<x<1 时，g' (x)>0,当 x>1 时，g' (x)<0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1, +)上是减少的.10分而 g(1)= 0，故当 x>0 时，g(x)< 0,即 f(x) < 2x 2.12 分A . ( 1,2)B.(汽一3) U (6,+ )C. ( 3,6)D .(汽一1) U (2,答案 B解析 t f' (x)= 3x2 + 2ax+ (a + 6),由已知可得f' (x)= 0有两个不相等的实根.= 4a2 4

11、 x 3(a + 6)>0，即卩 a2 3a 18>0.-a>6 或 a< 3.2.曲线y = f(x) = ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2D.?9 2A.qe2B. 2e2C. e2各种学习资料，仅供学习与交流答案解析点(2, e2)在曲线上，切线的斜率k= f' (2) = e2,切线的方程为 y = e2(x 2)，即 e2x y e2= 0.与两坐标轴的交点坐标为(0, e2), (1,0),1 e2- S = ；x 1 x e2 2 2'3.已知函数f(x)= x2 + mx+ ln x是单调递增函数，则 m的取值

12、范围是A . m> 2 .2B. m> 2 2C. m<2 2D. mW 2 , 2答案 B解析 依题意知，x>0 , f' (x)= 2x +严+ 1,令 g(x)= 2x2 + mx+ 1, x (0, +),当-0 时，g(0) = 1>0 恒成立，二 m> 0 成立,学习资料当一m>0 时，贝V = m2 8< 0,2 2< m<0,综上，m的取值范围是一2 24. 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入 R与年产400x x20 w xW 400 ,量x的年关

13、系是R= R(x)=2贝U总利润最大时，每年生产的产品是80 000 x>400 ,()A. 100B. 150C. 200D. 300答案 D解析 由题意得，总成本函数为C= C(x)= 20 000 + 100x,x2300x M 20 0000W x< 400 ,总利润P(x)=260 000 100x x>400 ,300 x 0W x< 400 ,又 P' (x) = 100 x>400 ,令P' (x) = 0,得x= 300,易知x= 300时，总利润 P(x)最大.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 设P为曲线C: y= f(x

14、)= x2 x+ 1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范围是 .3答案3, 3解析 设 P(a, a2 a + 1)，贝U f' (x)= 2a 1 1,3,13 0w aw 2.而 g(a)= a2 a+ 1 = a 2+ 4，3,g(a)min = 4.当 a = 2 时，g(a)max= 3,3故p点纵坐标的取值范围是4, 3 .(强度与bh2成正比,h为矩形的长，b为矩形的宽).6. 在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为 其中解析截面如图所示，设抗弯强度系数为k,强度为3,答案则 3= kbh2,又 h2= d

15、2 b2, 3= kb(d2 b2) = kb3+ kd2b, 3' = 3kb2 + kd2, 令3' = 0，得b2=牛,3学习资料二 b= 或 b = d(舍去). h=.Jd2 b2 = -36d.7. 已知函数f(x)= x3 + ax2 4在x= 2处取得极值，若m、n 1,1，贝V f(m) + f' (n)的最小值是 答案 -13解析 对函数f(x)求导得f' (x)= 3x2+ 2ax,由函数f(x)在x= 2处取得极值知f' (2)= 0,即一3X 4+ 2a X 2 = 0, - a = 3.由此可得 f(x) = x3 + 3x2

16、 4, f' (x) = 3x2 + 6x,易知f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，-当 m 1,1时，f(m) min = f(0) = 一 4.又T f' (x) = 3x2 + 6x的图像开口向下，且对称轴为x= 1, 当n 1,1时，f' (n )min = f' ( 1) = 9.故f(m)+ f' (n)的最小值为13.三、解答题(共 22分)8. (10 分)设函数 f(x)= ax3 3x2 (a R),且 x= 2 是 y= f(x)的极值点.(1) 求实数a的值，并求函数的单调区间；(2) 求函数g(x) = ex (x)的单调区间.解 (1)f' (x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2),因为 x= 2是函数 y= f(x)的极值点，所以 f' (2) = 0,即卩 6(2a 2) = 0, 因此a= 1.经验证，当