导数及其应用专题

1、导数及其应用专题一、要点精讲1.导数的概念函数y=f（x）,如果自变量x在x0处有增量lx，那么函数y相应地有增量=y=f（x0 + LX） f f x 0 ）,比值二丫叫做函数y=f f x ）在x 0到x 0 + . x之间的平均变化率，即 也y f（X。+X） f（X。）lxlx如果当=Xr 0时，一y有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极也X限叫做f f X）在点x0处的导数，记作f （x0）或y' x/ .yf （Xo. ：x） - f（X。）即f纸）=呱=啊说明:（1）函数f fX）在点x0处可导，是指.IX； 0时,-y有极限。如果一y不存在极限，二

2、XLX10就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）歆是自变量x在x0处的改变量，=x北0时,而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知,求函数 y=f f x）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）(i)求函数的增量y =f fx°+ 咲)f fX0)；(2)求平均变化率yf(X。：x) - f(X。).= .二 XLX(3)取极限，得导数f仗。）=.讥于函数y=f f x）在点的切线的斜率。也就是说,2导数的几何意义x0处的导数的几何意义是曲线y=f fx）在点p f x 0, f f x0）处曲线 y=f f x）在点p f x0 , f fx0）处的切线的斜率是f&

3、quot;（x。）.相应地，切线方程为 y y0= f （Xd） f3常见函数的导数公式:(1)(C) 0 (C为常数)(2)(xn) =nn 1x -(3)(sin x)二 cosx(4)(cosx)二:sin x(5 )1(In x)(6 )(log a X)二1口(a - 0且a = 1)xxln a(7 )xx(e )二 e(8 )xx(a )二 aIn a(a 0)4两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差),即：(u _v)' = u _v'.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加

4、上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)u'v uv'.若C为常数，则(Cu)c'u Cu' = 0 CuCu'.即常数与函数的积的导数等于常数 乘以函数的导数：(Cu)'二Cu .法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：(u)' = u，v -uv'(v=0)。v v形如y=f:(x) 1的函数称为复合函数。复合函数的求导步骤：分解一一求导一一回代。 法则：y/ | x = y / 丨 u uz I X5.导数的应用(1) 一般地，设函数 y = f(x)在某个区间

5、可导，如果 f'(x)，则f (x)在该区间 为增函数；如果f' (x) : 0 ,贝y f (x)在该区间为减函数；如果在某区间内恒有 f ' (x) = 0 , 则f (x)为常数；(2) 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3) 般地，在区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值。求函 数？(x)在(a, b)内的极值；求函数？ (x)在区间端点的函数值？ (a)、？(b)；将函数？(x)的 各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最

6、大值，其中最小的是最小值。二、典例解析题型1：导数的概念设函数f(x)可导，且f(1)=2，则limf (1. ：x) _ f (1)3Ax题型2:导数的几何意义 例2 运用导数求切线，包括由切点求切线，由经过点求切线.1(1) 直线y x b是曲线y=ln x(x 0)的一条切线，则实数 b= l n 2 1(2) 过原点作曲线y= ex的切线，则切点的坐标为(1, e) 1 2(3) 曲线y 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是x3 ；4(4)二次函数y二f (x)的图象过原点且它的导函数 y二f'(x)的 图象是如图所示的一条直线，则 y二f (x)图象的顶

7、点在第 一象限.yA. 4x-y-3=0 Bx 4y-5=0 C . 4x-y 3 = 0(5)若曲线y =x4的一条切线丨与直线x，4y-8 = 0垂直,(6)过点(一1, 0)作抛物线y = x2 X 1的切线，则其中一条切线为( D );(A) 2x y 2=0(B) 3xy 3 = 0(C) x y1 = 0(D) xy1 = 0题型3:借助导数处理单调性、极值和最值例3. (1)已知函数f(x) =x12x 8在区间1-3,31上的最大值与最小值分别为M , m ,则 M m =_32_.(2) f(x)二 ax3 -3x 1 对于1,11 总有 f (x)_0成立，则 a = 4

8、.(3) 已知二次函数f (x) = ax2 bx c的导数为f (x), f (0) 0 ,对于任意实数x,有f (x) > 0 ,则丄的最小值为2_ f (0)3 1(4) 已知 f(x)=ex+ cosx ,g(x)= X,若存在 X1,X2 0,畑)，使 f(x1)=g(x2)成立，则关于 X2-X14 4的说法正确的是A. X2-X1 的最大值是7B. x2-x1的最小值是 7C. X2-X1无最大值也无最小值D.以上说法都不对2(5)函数f(x)=3X - -m的一个零点在区间(1, 2)内，则实数 m的取值范围是 xA.(1,8)B.(1,9)C.(2,8)D.(2,9)2

9、(6) .设函数f(x)=x -2x+1+alnx有两个极值点 xi,X2，且xi< X2,贝1+21 n21 -2l n21+21 n21 -2l n2A.f(X 2)<B. f(X2)<C. f(X2)>D. f(x 2) >4444(7) 对于R上可导的任意函数f (x),若满足(x- 1) f ( X)凶，则必有()A . f ( 0)+ f (2)：:2f(1)B. f(0)+ f (2)<2f(1)C. f (0)+ f (2)_2f(1)D. f(0)+ f (2)2f(1)题型4:主动构造函数解题.例4.(1)已知函数f(X),XR满足f (

10、2) =3，且f(x)在R上的导数满足f/(X)- 1 ：: 0 ,则不等式f(x2)cx2+1的解集为 (一°°,0 斤 2十血_ .(构造函数 g(x) = f (x) - x)3JT(2)函数 f (x) = x3 x,x R，当 0 岂二岂?时，f (msin R f (1 - m) 0 恒成立，则 实数m的取值范围是(-：,1).题型5：导数综合题例5已知函数f(x)=x3，mx2, nx-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x) = f(x)，6x的 图象关于y轴对称.(I )求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(n )若a> 0，求函数y=f(

11、x)在区间(a-1,a+1 )内的极值.解：(1)由函数f(x)图象过点(一1, - 6),得m_n=-3,由 f(x)=x3+mx2+ nx-2，得 f (x) =3x2+2mx+ n,则 g(x)=fz (x)+6x=3x2+(2m+6)x+ n;而g(x)图象关于y轴对称，所以一 2m 6 = 0,所以m=-3,2汉3代入得n=0.于是 f' (x) = 3x2-6x=3x(x-2).由 f' (x)>得 x>2 或 x<0,故f(x)的单调递增区间是(30), (2,+);由 f' (x)<0 得 0<x<2,故f(x)的单调

12、递减区间是(0, 2).(n )由(1)得 f' (x)= 3x(x-2),令 f' (x)= 0 得 x=0 或 x=2.当x变化时，f'(X)、f(x)的变化情况如下表：X(-3.0)0(0,2)2(2,+ )f' (x)+00+f(x)增极大值减极小值增由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=_2,无极小值；当a=1时，f(x)在(a-1,a+1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2) = - 6，无极大值；当a> 3时，f(x)在(a-1,a+1 )内无极值

13、.综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值6,无极大 值；当a=1或a>3时，f(x)无极值.例6已知x =3是函数f x二aln 1 x x2-10x的一个极值点。(i)求 a；(n)求函数f x的单调区间；(川)若直线y =b与函数y = f x的图象有3个交点，求b的取值范围。a解：(I)因为 f x2x -101 +xa所以 f 136-10=0x f 4因此a =16(n)由(i)知，2fx=16l n1xx-10：x - 1,22 x- 4(3f x 1 +x当 1,13,：时，f' x 0当 x

14、1,3 时，f' x ：0所以f x的单调增区间是-1,1 , 3,-f x的单调减区间是 1,3(川)由(n)知， f x在-1,1内单调增加，在 1,3内单调减少，在3,匸：上单调增加，且当x =1或x =3时，f' xi；=0所以f x的极大值为f 1 =161 n2-9，极小值为f 3 =321 n2-21因此 f 16 =162 TO 16 16ln2 -9 二 f 1f e? 1 ： 3 21 1 = -2 1 f 3所以在f x的三个单调区间-1,1 , 1,3 , 3, ：直线y =b有y = f x的图象各有个交点，当且仅当f 3 : b ：. f 1因此，b

15、的取值范围为32ln2 -21,161 n2 -9 。例7 设函数f (x) =-X3 3x 2分别在x1> x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A B的坐标分别为(x!, f (x1) > (x2, f (x2)，该平面上动点 P满足PA?PB=4,点Q是点P 关于直线y =2(x4)的对称点.求(I) 求点A、B的坐标；(II) 求动点Q的轨迹方程解析：(I)令 f (x)二(-x3 3x 2) = -3x2 3 = 0解得 x = 1 或x = -1 ；当 x :： -1 时,f (x) :：: 0 ,当 一1 ：x ：1 时,f (x) 0，当 x 1 时，f (x)

16、：0。所以,函数在X = -1处取得极小值,在X = 1取得极大值,故X1 = -1,X2 = 1, f (-1) = 0, f (1) = 4。所以，点A、B的坐标为A(-1,0), B(1,4)。(n)设 p(m, n) , Q(x, y), 2 2PA PB = -1 - m, -n 1 - m,4 - n = m -1 n -4n=4 ,ynx 一 m又PQ的中点在y =2(x -4)上，所以'x + n=2 I 2消去m,n得(x-8f +(y+2f =9。例8.已知函数f ( x)= x si nx,数列 an 满足：Ocq灯日时二彳©),n=1,2,3.证1 3

17、明：(i ) 0 ： an 1 ： an ： 1 ； (ii) an 1 ： an 。6证明：(I).先用数学归纳法证明 0canc1 , n= 1,2,3,(i). 当n=1时，由已知显然结论成立。(ii).假设当n=k时结论成立，即0 ： a 1 0因为0<x<1时，f'(x) =1C0SX 0,所以f(x)在(0,1)上是增函数。又 f(x)在0,1上连续，从而 f (0) ： f (aj ： f(1), 即0 : ak i 1 -sin1 ：1 .故 n=k+i 时, 结论成立。由(i)、(ii)可知，0：an ：1对一切正整数都成立。又因为 0 ：；an：1 时，

18、an.一an=an-sin a.-a.=-sin an ：0，所以an：an，综上所述 0 : an 1 : an ：1。13(II).设函数 g(x)=sinxx+x , 0cxc1 ,由(I)知，当 0 : x ：1 时，sin x ： x ,2 2 2xx xxx从而 g(x)=cosx1+ =2sin2-+> 一2()2 + = 0.所以 g (x)在(0,1)上是22222增函数。又g (x)在0,1上连续，且g (0)=0 ,所以当0 : x ：1时，g (x)>0成立。1 3 1 3 于是 g(an) 0,即 si nan-a*an 0 .故 an 1a*。6 6例 9.已知函数 f(x)=ax+blnx+c(a,b,c ：= Q )在 x=e 处的切线为(e-1) x+ey-e=0.(1)求常数a,b,c的值。2 若函数g(x)=x +mf(x) (m R)在区间(1, 3)内