十字相乘法进行因式分解(详案)名师制作优质教学资料

1、十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（ 1）理解二次三项式的意义；（ 2）理解十字相乘法的根据；（ 3）能用十字相乘法分解二次三项式；（ 4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1 的二次三项式的十字相乘法【重点难点解析】1二次三项式多项式 ax 2bxc ，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax 2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项例如， x22 x3 和 x25x6 都是关于 x 的二次三项式在多项式 x26xy8 y2 中，如果把 y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式在多项式 2a2b27ab3 中，把 ab 看作一个整

2、体， 即 2(ab) 27( ab) 3 ，就是关于 ab 的二次三项式 同样，多项式(xy27(xy) 12，把 xy 看作一个整体，就是关于x y 的二次三项式)十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法2十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax b)(cx d)竖式乘法法则它的一般规律是：（ 1）对于二次项系数为1 的二次三项式x2pxq ，如果能把常数项q 分解成两个因数a，b 的积， 并且 a b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2(ab)xab( xa)( xb)分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的x 可以表示单项式，也可以表示

3、多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同（ 2）对于二次项系数不是1 的二次三项式 ax2bx c (a，b，c 都是整数且 a 0)来说，如果存在四个整数a1, a2 , c1, c2 ，使 a1 a2a ， c1c2 c ，且 a1c2a2c1b ，那么 ax 2bx ca1 a2 x2( a1c2 a2c1 )xc1c2(a1x c1 )(a2 x c2 ) 它的特征是 “拆两头， 凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1 的情况

4、复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地 验证交叉相 乘的两 个积 的和是否等 于一次项系 数；二是由 十字相乘写 出的因式漏 写字母如 ：5x26xy8y 2( x2)(5x4)3因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步

5、骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”【典型热点考题】例 1把下列各式分解因式：（ 1） x22x15 ；（ 2） x25xy6 y2 点悟：（1）常数项 15 可分为 3 ×( 5)，且 3 (5) 2 恰为一次项系数；（ 2）将 y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项6y 2 可分为 (2y)( 3y)，而 ( 2y) ( 3y) (5y) 恰为一次项系数解：

6、（ 1） x22x15( x3)( x5) ；（ 2）x25xy6y2(x2y)(x3 )y例 2把下列各式分解因式：（ 1） 2x25x3 ；（ 2） 3x28x3 点悟： 我们要把多项式ax2bxc 分解成形如 (ax1 c1 )(ax2c2 ) 的形式，这里 a1a2 a ， c1c2c 而a1c2 a2c1b 解：（ 1） 2x25x 3(2x1)( x3) ；（ 2） 3x 28x 3 ( 3x 1)( x 3 ) 点拨：二次项系数不等于1 的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验

7、，才能提高速度和准确性例 3把下列各式分解因式：（ 1） x4 10x2 9 ；（ 2） 7( x y) 35( xy)22( x y) ；(28 )222(28) 120（ 3）aaaa点悟：（ 1）把 x2 看作一整体，从而转化为关于x2 的二次三项式；（ 2）提取公因式 (x y)后，原式可转化为关于 (x y)的二次三项式；（ 3）以 (a2 8a) 为整体，转化为关于 (a2 8a) 的二次三项式解：（ 1）x 410x29(x21)( x29) (x 1)(x 1)(x 3)(x 3)（ 2）7()35()22()xyxyxy(x y) 7( x y) 25( x y) 2 (x

8、y)( xy) 17( xy) 2 (x y)(x y 1)(7x 7y2) （ 3）(a28 )222(a28) 120aa(a28a12)(a 28a10)(a2)(a6)(a28a10)点拨： 要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止例 4分解因式：(x22x3)( x22x24)90 点悟： 把 x22x 看作一个变量，利用换元法解之解： 设 x22xy ，则原式 (y3)(y24) 90y227 y162 (y 18)(y 9)( x

9、22x18)( x22x9) 点拨： 本题中将x 22 x 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，y227 y162( y18)( y9) 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解例 5分解因式 6x45x338 x25x6点悟： 可考虑换元法及变形降次来解之解： 原式x2 6( x212 )5( x1) 38xxx2 6( x1 ) 25(x1 )50 ，xx1y ，则令 xx原式 x2 (6y25 y50)x2 (2y5)(3y10)x2 ( 2x25)(3x3 10)xx(2x25x2)(3x210x3)(x2)( 2x1)( x 3)(3x1) 点拨： 本题连

10、续应用了 “十字相乘法” 分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙， 令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节例 6 分解因式222556 xxyyxy点悟： 方法 1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy)的二次三项式方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式解法 1： x22xy y25x5y6( x22xyy 2 )( 5x5 y)6( xy) 25( xy)6( xy1)( xy6) 解法 2：x22xyy25x5y6x2(2 y5) xy25 y6x2(2 y5) x( y6)( y1) x( y6 ) x( y1) (x y 6)(x y1)例 7 分解因式： ca(c a) bc(b c) ab(ab)点悟： 先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组解： ca(c a)bc(b c) ab(a b)ac2a2 cb2 c bc2ab(ab)c2 (ab)c(a2b2 )ab(ab)