历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1、学习资料收集于网络，仅供参考（一）1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球 O 的球面上，且AB6, BC23, 则棱锥OABCD的体积为。3.如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为平行四边形， DAB=60°,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明： PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（一）1.D2.8 33.解：（）因为 DAB 60, AB 2 AD ， 由余弦定理得 BD3AD从而 BD2+AD2= AB2 ，故 BDAD又

2、 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD平面 PAD. 故 PABD（）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- xyz ，则A 1,0,0， B0， 3,0，C1, 3,0， P 0,0,1 。uuuvuuv(0,3,uuuv( 1,0,0)AB ( 1, 3,0), PB1), BCuuur0,n AB设平面 PAB 的法向量为 n=（ x， y， z），则 n PBuuur0,x3y0即3yz0因此可取n= (3,1,3)uuur0,m PB设平面 PBC的法向量为m，则uuur0,m BC可取 m=（ 0， -1，3 ）c

3、os m, n427772故二面角 A-PB-C的余弦值为277学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（二）1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， B B1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为A2326BC3D3332. 已知圆 O的半径为 1， PA、 PB为该圆的两条切线， A、B 为俩切点，那么 PA PB 的最小值为(A)42(B)32 (C)4 22 (D)32 23.已知在半径为2的球面上有A、 B、C、 D 四点，若AB=CD=2,则四面体 ABCD的体积的最大值为23432 3(D)83(A)(B)(C)3334.如图，四棱锥 S-ABCD中，SD 底面 ABCD，AB/

4、DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2， E 为棱 SB上的一点，平面 EDC平面 SBC .（）证明： SE=2EB；（）求二面角A-DE-C 的大小 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（二）1.D2.D3.B4.解法一：( ) 连接 BD,取 DC的中点 G，连接 BG,由此知DGGCBG1,即ABC 为直角三角形，故BCBD .又 SD平面 ABCD, 故 BCSD ,所以， BC平面 BDS,BCDE.作 BKEC,K为垂足，因平面EDC平面 SBC ，故 BK平面 EDC， BKDE , DE 与平面 SBC内的两条相交直线BK、 BC都垂直DE平面 SBC，DE EC,

5、DE SBSBSD2DB26DESD DB2SB3EBDB2- DE26 ,SESB- EB2633所以， SE=2EB() 由 SASD2AD 25, AB1, SE2EB, ABSA, 知22 AB2AE1 SA1,又 AD=1 .33故 ADE 为等腰三角形 .取 ED中点 F,连接 AF ,则 AFDE,AFAD 2DF26.3连接 FG ，则 FG / /EC, FGDE .所 以，AFG 是二面角 ADEC 的平面角 .连接 AG,AG= 2 , FGDG 2DF 26,3学习资料学习资料收集于网络，仅供参考AF 2FG 2AG 21cos AFG2AFFG,2所以，二面角 ADE

6、 C 的大小为 120°.解法二：以 D 为坐标原点，射线DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz ，设 A(1,0,0) ，则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（） SC(0, 2,-2), BC(-1,1,0)设平面 SBC的法向量为n=(a, b, c)由 nSC, nBC ，得 n SC0, n BC0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1，则 b=c,c=1,n=(1,1,1)又设SEEB(0) ，则E(,2)1112 ), DC (0,2,0)DE(,111设平面 CDE的法向量m=(x,y,z)由 m DE , m DC ,

7、得mDE0 ， mDC0故xy2 z0 .110,2 y1令 x 2 ，则 m(2,0,) .由平面 DEC平面 SBC得 m n, m n 0,20,2故 SE=2EB（）由（）知E(2,2,2) ，取 DE的中点 F，则 F (1, 1, 1), FA( 2,1, 1)，333333333故 FA DE 0 ，由此得 FA DE又 EC(2,4, 2)，故 EC DE 0，由此得 EC DE ，3 33向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角ADEC 的平面角学习资料学习资料收集于网络，仅供参考于是FA EC1cos(FA, EC)2| FA |EC |所以，二面角 A DEC 的大小为 1

8、20（三）1.已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（）（ A）3（ B）5（ C）7(D)344442.已知二面角l为 60o，动点 P、 Q分别在面 、 内， P 到 的距离为3 ， Q到 的距离为 2 3 ，则 P、 Q两点之间距离的最小值为（）(A)(B)2(C)2 3 (D)43.直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若ABAC AA1 2,BAC 120 ，则此球的表面积等于。4. 如图，四棱锥SABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面 ABCD ，

9、AD2,DCSD2 ，点 M在侧棱 SC 上， ABM =60°（ I ）证明： M在侧棱 SC的中点（ II ）求二面角 S AM B 的余弦值。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（三）C11.解：设 BC 的中点为D，连结 A1 D，AD，易知A1 AB 即为异面直线AB 与 CC1A1B1所成的角 , 由三角余弦定理， 易知 cosADAD3cos A1 AD cos DABAB.CA1A4DAB故选 D2. 解 : 如图分别作 QA于A, ACl于 C , PB于 B,PDl于 D ，连 CQ, BD则 ACQPBD60 ,AQ2 3,BP3， ACPD2又PQAQ2AP2

10、12AP22 3当且仅当AP 0 ，即 点 A与点 P 重合时取最小值。故答案选C。3. 解:在ABC 中 ABAC2 ,BAC120,可得 BC23 , 由正弦定理 , 可得ABC 外接圆半径 r=2设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径R5 ，故此球的表面积为 4 R220 .解法一：（ I ）作 ME CD 交 SD于点 E，则 ME AB ， ME平面 SAD连接 AE，则四边形 ABME为直角梯形作 MFAB ，垂足为 F，则 AFME为矩形设 MEx ，则 SEx ， AEED 2AD 2(2 x)22MFAE(2 x)22, FB2x由 MFFB ta

11、n60。, 得 (2x)223(2x)解得 x1即 ME1，从而 ME1 DC2所以 M 为侧棱 SC 的中点学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（）MBBC 2MC 22 ，又ABM60 ,AB2,所以ABM为等边三角形，又由（）知M为 SC中点SM2, SA6, AM2 ，故 SA2SM 2AM 2,SMA90取 AM 中点 G，连结BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则 BGAM ,GHAM , 由此知BGH 为二面角SAMB 的平面角连接 BH ，在BGH 中，BG3 AM3, GH1 SM2 ,BHAB 2AH 2222222所以 cosBGHBG 2GH 2BH 262BGGH3

12、解法二 : 以 D 为坐标原点，射线DA为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设 A( 2,0,0)，则 B(2, 2,0), C (0, 2,0), S(0,0, 2)（）设 SMMC (0) ,则M(0, 2,2), MB(2,12,2 )111又 AB(0,2,0), MB , AB60故 MBAB|MB | AB | cos60即4( 2)2(2)2(2 ) 2111解得1，即 SMMC所以 M为侧棱 SC的中点（ II）由 M (0,1,1), A(2,0,0)，得 AM的中点 G (2,1,1)222又 GB( 2,3,1), MS(0,1,1), AM(2,1,1)

13、222GBAM 0, MSAM0所以 GBAM ,MSAM因此 GB, MS 等于二面角 SAMB 的平面角学习资料学习资料收集于网络，仅供参考GBMS6cos GB, MS|MS|3|GB |（四）1已知三棱柱 ABCA1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心， 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）12C32AB3D3332等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D 的余弦值为3 ，M 、N 分别是 AC、3BC的中点，则、AN 所成角的余弦值等于EM3（本小题满分12分）四棱锥 ABCDE 中，

14、底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE ， BC 2 ，CD2， ABAC （）证明：ADCE ；（）设 CE与平面ABE 所成的角为45 ，求二面角 CAD E 的余弦值ABECD学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（四）1.B12.答案： .63解： (I)作 AO BC，垂足为 O，连接 OD，由题设知， AO底面 BCDE，且 O 为 BC 中点，由 OCCD1 知， Rt OCD Rt CDE，CDDE2从而 ODC= CED，于是 CE OD，由三垂线定理知，AD CE（ II）由题意， BE BC，所以 BE侧面 ABC，又 BE 侧面 ABE，所以侧面 ABE侧面

15、 ABC。作 CF AB，垂足为 F，连接 FE，则 CF平面 ABE故 CEF为 CE与平面 ABE所成的角，CEF=45°由CE= 6，得CF= 3又 BC=2，因而 ABC=60°，所以 ABC为等边三角形作 CGAD，垂足为 G，连接 GE。由（ I）知， CE AD，又 CE CG=C，故 AD平面 CGE， AD GE， CGE是二面角 C-AD-E的平面角。ACCD222CG=63ADDEAD2(1DE)22510GE=26,AD6,CE3CG 2GE 2CE 241061033cos CGE=210102CG GE233解法二：（ I）作 AO BC，垂足为 O，则 AO底面 BCDE，且 O 为 BC的中点，以 O 为坐标原点，射线 OC为 x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设 A（0,0,t ），由已知条件有C(1,0,0), D(1,2 ,0), E(-1,2 ,0),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考CE( 2,2 ,0), AD(1,2, t )所以 CEAD0 ，得 AD CE（ II）作 CF AB，垂足为 F，连接 FE，设 F（ x,0,z）则 CF =(x-1,0,z),BE(0,2,0),CF BE0故 CF BE，又 AB BE=B，所以 CF平面 ABE， CEF是 CE与平面 ABE所成的角，