半角的正弦、余弦和正切

1、.半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学教者 王春雷点评 凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、 掌握半角公式及推导方法。2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。3、 能熟练、合理地运用公式。二、重点、难点分析1、 重点： S， C， T公式的推导、识记及熟练运用。2222、 难点： S， C公式中双重符号的选择、T 三个公式的灵活运用。222三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。四、教学过程设计（一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：sin 22sin coscos 2cos2s

2、in 22 cos21 1 2sin 2tan 22 tan（师生合作回答，然后用投影显示）1 tan2评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。下面，我们一起来看一道习题：cos24 ,(0,) ，求 cos 4和 cos2的值。54（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。师：那好，下面我们就一起来完成这道题：cos 4cos2(2)2 cos2 212 (4)2175425119c o s2212cos252 c o scos22103cos1010;.3cos10（生集体回答，师板书）10评：这道习题的设计， 既起到了巩固旧知， 又蕴含着准备将新知转

3、化为旧知去研究的作用。师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。现在，我们再来看另一道习题，已知：cos4 ,(0,) ，求 cos的值。522（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。生：不能。师：但如果我们把看成上题的2角，那角就变成了上题的什么角？2生：角。师：所以， cos的值是（稍作停顿）2生：310。10师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的2角换成角

4、，把公式中的角换成角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师板书课题）2评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先探讨如何将公式变形得出 sin与角的三角函数关系。2生：由 sin2 sincos2sin 1sin 2 ，从中解出 sin。22222师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出sin，能否用更简洁的方法来求解呢？2生：可以利用 cos12sin 2得出 sin21cos，从而 sin1cos22222师：（板书）对，但公式中“±

5、”号的确定是关键，是不是两个都要呢？生：（稍作讨论后回答）不是，应根据角所在的范围中正弦的符号来选取。2师：具体的说，就是角在第一、二象限时取（稍作停顿）2;.生：“ +”号。师：当角在第三、四象限时取（稍作停顿）2生：“ - ”号。师：如果没有指明角的范围呢？2生：“±”号都要。评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。师：很好。下面我们接着来研究角的余弦。2生：利用cos2cos21得出 cos21 cos1 cos22，从而 cos。222师：（板书）这里又出现

6、了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。生：当角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“- ”；如果没有指明角的22范围时，“±”号两个都要。评：有了“半角正弦”的推导作样板， “半角余弦”的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？sin1cos1cos生：能。由商数关系得： tan221cos1cos2cos22评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？生：不能。师：那么又如何理解结果中的“

7、7;”号呢？生：是分子、分母的“±”号搭配的结果当分子、分母同号时取“ +”，分子、分母异号时取“ - ”。师：由这一搭配的结果，你能根据角所在的范围说出如何选取正切符号吗？2生：能。当角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“- ”；当没有指明角22的取值范围时，应该同时取“±”号。师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论）评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。;.sin师：我们能不能利用乘除符号性质来判断2 与 sin cos 是同号还是异号呢？22cos2生：能，是同号。师：那么 tan2与 sin呢？生：也是同号。

8、师：根据这种思路， 下面我们进一步来研究tan的公式， 使它变得更简单， 更便于使用。2sin2 ，将sin由于 tan22 的分子、分母同时乘以 2 sin或 2 cos，使 sincoscos2222变成 sin2，那么会得到什么结果呢？sinsin2 cossin生： tan2222coscos2 cos1cos222sinsin2 sin21cos或 tan222coscos2 sinsin222（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。 （投影显示公式）sin1cosS22 （2 ）cos1co

9、s （ C）。222tan1cos（ T）1cos22sin1cos1cos（ T） sin2师：首先明确公式成立的条件，即角的取值范围，先看、。生：公式、的条件是R 。师：再看公式、。;.生：对于公式、，需满足左、右两式均有意义，即：k，且 1cos0 ，22所以(2k1) , kZ 。师：那么公式的条件呢？生：k，且 sin0 ，即：(2k1), kZ ，且k，所以2 2k Z 。sin师：公式、都是从式子tan2 推出的，为什么成立的条件不相同呢？2cos2k ，生：（稍作议论后回答）因为同乘以2 sin时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的2等价性，需添上条件k，即2k，所以增加了公

10、式的使用条件。2师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。（投影显示图表）公式左端取值右端取值从左到右范围范围取值变化sin1cosRR未变22cos1cosRR未变22tan1cossin(2k1)(2k1)未变1cos1cos21cos变小 ,缩小范tan(2k1)k围为 2k2sin师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子， 1sin， 1sin，cos， cos（投影显示）进行判断，coscos1sin1sin是否是 tan公式的表达式？2生：都不是。师：对，在tan的表达式中，只含有三种不同的式子：1cos，

11、1cos和 sin，2而 1 cos 若出现一定会在分母上， 如、；若 1 cos 出现则一定出现出分子上，如、；而、两个公式， 一旦分子或分母确定下来， 另一个位置肯定就是 sin 。;.sin同时，根据 tan2 的性质，我们就可以很容易地建立起1 cos 与 sin2cos2 ，21cos与 cos的联系。当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并2掌握下来。评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解

12、题，看投影：例：已知 sin4costan 的值。，根据下列条件求 sin52 ，2 ，2(3,2) ； 为第四象限的角。2师：我们应该用什么方法来解这道题呢？生：用半角公式。师：还需要什么条件吗？生：还需要知道cos和角的范围。2师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下。生：（板书）解：( 3,2)22(3,) ， cos34531cos15sin5222531cos12 5cos52225sin1tan222cos2师：做得很好。 特别值得肯定的是对角范围的指出， 因为公式中 “±” 号的选择要看22角的范围。评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评

13、价，非常重要，;.可使学生感受成功的乐趣。师：下面，我们来做。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。生：为第四象限，2k2k ，即 k4k , (k Z) 。22当 k 为偶数时，为第四象限的角；当k 为奇数时，为第二象限的角。2当为第二象限时，cos2当为第四象限时，cos22为正， sin为正， cos为负， tan为负。222为正， sin为负， cos为正， tan为负。222师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？生：中的(3 ,2 ) 是第四象限的角，中的角也是第四象限的角，为什么只2有一组解，而却有两组解呢？师：问题提得好。这是因为中的角是

14、区间角，只是第四象限角中的一部分，角只2有一种可能；而中的是象限角，角有两种可能。所以我们要在解题时一定要2注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式” ，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点： 半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。 对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来进行。 要处理好公式中双重符号的选择。（投影显示以上三点）至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程

15、的强化。（四）布置作业：课本题 P224 1、 2、 3 题五、课堂设计说明本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。六、板书设计§3.3 半角的正弦、余弦、正切;.1、 二倍角公式（略）倍角公式复习题半角公式推导例题2、 半角公式（略）（略）作业： P224 1、 2、 3总评：本课教者从与新知相关的旧知“二倍角公式”复习入手，设计了两道习题作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识规律，又为探求新知起到前期测诊及扫清障碍的作用。在讲授中，采用师生对话、合作讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层探索，逐步展开，充分显示了教师的主导作用