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1、八年级数学上册复习提纲第 11 章 数的开方 §11.1 平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。（也叫做二次方根）即：若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数； （2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。2、算术平方根的性质： （1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a 0。三、平方根和算术平方根是记号：

2、平方根± a （读作：正负根号 a）；算术平方根 a （读作根号 a）即：“± a ”表示 a 的平方根，或者表示求 a 的平方根；“ a ”表示 a 的算术平方根，或者表示求 a 的算术平方根。其中 a 叫做被开方数。 负数没有平方根， 被开方数 a 必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。（也叫做三次方根）即：若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负

3、数的立方根为负；（3）零的立方根是零。3、立方根的记号： 3 a （读作：三次根号 a），a 称为被开方数，“3”称为根指数。3 a 中的被开方数 a 的取值范围是： a 为全体实数。六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“ 3 a ”的实质意义：“±a ”问：哪个数的平方是a；“ a ”问：哪个非负数的平方是 a；“ 3 a ”问：哪个数的立方是 a。2、注意a 和 3 a 中的 a 的取值范围的应用。如：若x 3 有意义，则 x 取值范围是。（ x-3 0， x3）（填： x3）

4、3、 3若 3x 2009 有意义，则 x 取值范围是。（填：全体实数）a3 a 。如： 3273， 3273， 3273 274、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如： 10 7 6 5 2 等。2 3 和 3 2 怎么比较大小？ （你知道吗？不知道就问！）5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定 7 的取值范围。4 79 ，2 7 3。6、几个常见的算数平方根的值：21.414 ， 31.732 ， 52.236 ， 62.449 ，7 2.646 。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义：形如a （

5、a0）的式子，叫做二次根式。a （ 2、二次根式的性质： (1)abab （a 0，b0）；(2)a，bba 0b0）；(a ) 2a （ ）；a 2| a |(3)(4)a03、二次根式的乘除法：（1）乘法： abab （a0，b0）；（2）除法：a a （a0，b0）bb§11.2 实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：10，7，6，5，2 ， 2 10，7 1，62，3 52 等。（2）“ ”类的数。如： ， 1，2等。3（ 3）无限不循环小数。如： 2.1010010001， -0.234242242224

6、，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（ 1）相反数：实数 a 的相反数为 - a。若实数 a、b 互为相反数，则 a+b=0。（2）倒数：非零实数 a 的倒数为 1（a0）。若实数 a、b 互为倒数，则ab=1。aa( a0)（3）绝对值：实数 a 的绝对值为： | a | 0(a0)a(a0)3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（ 1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（ 2）按照定义分为：25、几个“非负数”：（1）a 0；（2）| a| 0；（3）a 0。第 12 章 整式的乘除§ 12.1

7、 幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则： am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：(（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：2·3·4=2+3+4=9； (-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-2 5；2 ) 3·(2 ) 4=(2 ) 3+4=(2 ) 7；( a+b) 3·( a+b) 4·( a+b)= ( a+b) 3+4+1=( a+b) 8（ 2）一定要“同底数幂” “相乘”时，才能把指数相加。（ 3）如果

8、是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方m nmnm n psmn p s1、法则： ( a ) =a （m、n 均为正整数）。推广：( a ) =a文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如： ( 2) 3= 2×3= 6；( 2 ) 3 4=( 2 ) 3×4=(2 ) 12；( a-b) 2 4= ( a-b) 2×4=( a-b) 8（ 2）运用时注意符号的变化。（ 3）注意该法则的逆应用，即： amn= ( am) n，如： a15= ( a3) 5= ( a5) 3三、积的乘方1、法则：

9、( ab) n=anbn（n 为正整数）。推广： ( acde) n=ancndnen文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。322222如：(2) =2=4；(2×3) =(2) ×(3 ) 2=2×3=6；(-2abc) 3=(-2)3a3b3c3=- 8a3b3c3；(a+b)(a- b)2=( a+b) 2( a- b) 2（ 2）运用时注意符号的变化。（ 3）注意该法则的逆应用，即： anbn =( ab) n；如： 23×33= (2 ×3) 3=63

10、， ( x+y) 2( x- y) 2=( x+y)( x- y) 2四、同底数幂的除法1、法则： am÷an=am-n（m、n 均为正整数， mn，a0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如： 4÷ 3=4-3 = ；(-2) 5÷(-2) 3=(-2) 5-3 =(-2) 2=4；( 2)6÷( 2)4=(2 ) 6-4 =( 2 ) 2=2；( a+b) 16÷( a+b) 14= ( a+b) 16-14 =( a+b) 2=a2+2ab +b2（ 2）注意 a0 这个条件。（

11、 3）注意该法则的逆应用， 即：am-n = am÷an；如：ax-y = ax÷ay ，( x+y) 2a-3 =( x+y) 2a÷ ( x+y) 3§12.2整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2) ·(-4b2c) ·(-3 ab)=(-5)×(-4)×(-3 )·( a2·a) ·( b2·b2) ·c22=-30 a3b4c二、单项式与多项式相

12、乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如： ( 3x2 )( x2 2x 1) (-3 x2) ·(- x2)+(-3 x2) ·2 x 一(-3 x2) ·1=3x4 6x3 3x2 三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如： ( m+n)( a+b)= ma+mb+nanb(2) 把其中一个多项式看成一个整体（单项式） ，去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如： ( m+n)( a+b)= ( m+ n)

13、 a+( m+ n) b= ma+ na+mbnb§12.3乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式： ( a+b)( a-b)= a2- b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=10 2-9 2=100-81=19；(2 xy+a)(2 xy-a )=(2 xy) 2- a2=4 x2y2- a2； ( a+b+ )( a+b - )=(2 xy) 2- a2=4 x 2y2- a2；（ 2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（ 3）注意公式的来源还是“多项式×

14、;多项式” 。二、完全平方公式1、公式： ( a±b) 2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：(2 +3) 2=(2 ) 2 +2×2 ×3+32=2+62 +9=11+6 2 ；( mn-a) 2=( mn) 2-2 mn·a+2222a = m n -2mna+ a；(a+b -)2=(a+b) 2-2(a+b)+2=a2+22-2 -b+2；a b+ba（ 2）注意公式运用时的对位“套用” ；（ 3）注意公式中“中间的乘积项的符号” 。3、补充公式： ( a+ b+ c

15、 ) 2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是： “一看二套三计算”。§12.4整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如： -21 a2b3c÷3ab=(-21 ÷3) ·a2-1 ·b3-1 ·c =-7 ab2c（2x2y）3·（-7xy 2）÷14x4y3 =8x6y3·（-7xy 2）÷14x4y3=8 

16、5;（-7 ） ·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2424-2222225（2a+b）÷（2a+b）=（5÷1）（2a+b） =5（2a+bz =5（4a +4ab+b）=20a +20ab+5b二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如： (21x 4y3-35x 3y2+7x2y2) ÷(-7x 2y)=21x 4 y3÷ (-7x 2y)-35x 3y2÷(-7x 2y)+ 7x 2y2÷ (-7x 2y)=-3x 2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y) ÷(2x-y)= 4y(2x-y) ÷(2x-y)-2x(2x-y) ÷ (2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方） ，再乘除，最后加减，括号优先。§12.5因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称