参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)精品资料

1、J3 参数方程和极坐标系一、知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y 都是某个变数xf (t )t 的函数，即f (t )y并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（ x， y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、 y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：xx0t cos（ t 为参数）1过定点（ x0 ，y0 ），倾角为 的直线：y0t siny其中参数 t 是以定点 P（ x0，y0 ）为起点，对应于t 点 M（ x， y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点 M 间的有

2、向距离根据 t 的几何意义，有以下结论1设 A、B是 直 线 上 任 意 两 点 ， 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 tA 和 tB ， 则 AB t Bt A (t B t A ) 2 4t At At Bt B 2 线段 AB 的中点所对应的参数值等于22中心在（ x0， y0），半径等于 r 的圆：xx0r cos（为参数）yy0r sin3中心在原点，焦点在xa cosxb cosx 轴（或 y 轴）上的椭圆：b sin（为参数）（或a sin）yy中心在点（ x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程xx0a cos ,yy0( 为参数）b sin .4中心在原

3、点，焦点在x 轴（或 y 轴）上的双曲线：xa secxbtgybtg（为参数）（或asec）y5顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：x2 pt2（ t 为参数， p 0）y2 pt直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P（ x0， y0），倾斜角为的直线的参数方程是xx0t cos（t为参数）yy0t sinJ3.2 极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一M个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段 OM的长度， 表示从 Ox 到 OM的角， 叫做点 M的极径， 叫做点 MOx的极角，有序数对 ( , )

4、 就叫做点 M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。图12、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P( ， )，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一 一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P( ，) （极点除外）的全部坐标为(, 2k )或（， (2k1)）， ( kZ)极点的极径为0，而极角任意取若对、 的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0 ，0 2或<0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，

5、点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：0M （ ，）MMacos0aOxaOaOcos图1图2图3a0aasincoscosasinM （ ，）MaaON ( a ,cos()aa)OMOp图4图5a图6asinasincos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0) ：a2a cos2a cos2asin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOxa图3图1图22a cosa2 a cosMOxMaMa(a ,)aOx图5Ox图4图62asin2a sin2a cos()5、极坐标与直角坐标互化公式：

6、y( , )NxMyxcosOHx2 y22ysintany(x 0)x（直极互化图）例题（ j3.1 参数方程）例 1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点M 1 x1 , y1 、 M 2 x2 , y2 ，以分点 M（ x，y）分 M 1 M 2 所成的比为参数，写出参数方程。x33 t2、直线21 ty12(t 为参数 )的倾斜角是B52A CD6363x1t cos为参数）表示的曲线是()3、方程3（t 为非零常数，yt sinA 直线B 圆C椭圆D 双曲线x5cos为参数） ，则椭圆上一点P (5 ，2 3 ) 的离心角可以是4 、已知椭圆的参数方程是（y4 sin2A 245B

7、CD3333x v0 cost ,(1)例 2把弹道曲线的参数方程1 gt 2 ,v0 sin t化成普通方程y( 2)2例 3.将下列数方程化成普通方程 x 2t y 2tx2x1t 2x12t 21t 2a(t)xmy1，1，t，y2t2ty1ymx1t 2y1t 2b(t)1txa cos ,为参数xcos26(, a b 0) 7sin yb sin . y例 4. 直线 3x 2y 6=0，令 y = tx 6（ t 为参数）求直线的参数方程例 5.已知圆锥曲线方程是x3t 5cos1y6t 24 sin5（ 1）若 t 为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；（

8、 2）若 为参数， t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例 6. 在圆 x2 2x y2=0 上求一点，使它到直线2x3y 5=0 的距离最大例 7. 在椭圆 4x2 9y2=36 上求一点P，使它到直线x 2y18=0 的距离最短（或最长） 例 8.已知直线； l ：x13t与双曲线 （y-2）2-x2= 1 相交于 A 、 B 两点， P 点坐标 P(-1， 2)。求：y24t（1） |PA|.|PB|的值；（ 2）弦长 |AB|;弦 AB中点 M 与点 P 的距离。例 9.已知 A （ 2,0） ,点 B,C 在圆 x2+y 2=4 上移动，且有 BAC2求 ABC 重心

9、G 的轨迹方程。3例 10.已知椭圆 x2y 21和圆 x22在椭圆上求一点P1,在圆上求一点使 |P328+(y-6)=5,P2,1P2|达到最大值，并求出此最大值。例 11.已知直线l 过定点 P(-2,0), 与抛物线2C: x + y-8=0 相交于 A 、B 两点。（ 1）若 P 为线段 AB 的中点，求直线l 的方程；（ 2）若 l 绕 P 点转动，求 AB的中点 M 的方程 .例 12.椭圆 x2y21(a b 0) 上是否存在点 P，使得由 P 点向圆 x2+y2=b2 所引的两条切线互相垂直？若存a2b2在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。例题（ J3.2 极坐标系）

10、例 1 讨论下列问题：1在同一极坐标系中与极坐标M（ 2, 40°）表示同一点的极坐标是（）（ A）（ 2, 220°） （B） ( 2, 140° )（C） (2,140° )（ D） (2, 40° )2已知 ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(4， 0° ), B( 4, 120° ), C(23 2, 30° )，则 ABC 为 ()。（ A）正三角形（ B）等腰直角三角形（ C）直角非等腰三角形（ D）等腰非直角三角形例 2.把点 A(5,), B(3,) 的极坐标化为直角坐标。64例3.把点M(3,1)

11、, N(0,3), P(2,0)的直角坐标化为极坐标。例 4.已知正三角形ABC 中，顶点 A 、 B 的极坐标分别为A(1,0), B( 3,) ，试求顶点 C 的极坐标。x2+y 2-2ax=0 为极坐标方程。2例 5.化圆的直角方程例 6.化圆锥曲线的极坐标方程ep为直角坐标方程。iecos例 7.讨论下列问题：1在极坐标系里，过点 M（ 4， 30°）而平行于极轴的直线的方程是（）（ A） sin2 （B）sin 2（C）cos2 （D）cos23.已知 P 点的极坐标是 (1, )，则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）。（ A） =1（B） cos （ C） c

12、os = 1（D ） cos =14. 若 >0, 则下列极坐标方程中，表示直线的是（）。（ A） =（ B） cos=3（ C） tg=1（D ）sin =1(0 )(0 )325.若点 A( 4,7 ) 与 B 关于直线 =对称，在 >0, < 条件下， B 的极坐标是。636.直线 cos( )=1 与极轴所成的角是。47. 直线 cos( )=1 与直线 sin( )=1 的位置关系是。8. 直线 y=kx 1 (k<0 且 k 1 )与曲线 2 sin sin2 0 的公共点的个数是（）。2（ A）0 （B）1 （C） 2 （D）3例 8.讨论下列问题；1.圆

13、的半径是 1，圆心的极坐标是 (1,0)，则这个圆的极坐标方程是（）。（ A） cos（ B） sin（ C） 2cos （D ） 2sin2.极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是（）。2（A）2（B）2（C）1（D）23. 在极坐标系中和圆 =4sin 相切的一条直线方程是（）（ A） sin =2 （B） cos=2 （ C） sin =4 （ D） cos =44圆 Dcos Esin 与极轴相切的充分必要条件是（）（ A）D·E0 （B） D2E20 （C）D0，E 0 （D）D0，E05圆2 3 sin 2cos 的圆心的极坐标为。6.若圆的极坐标方程为 =6cos ，则这个圆的面积是。7.若圆的极坐标方程为 =4sin ，则这个圆的直角坐标方程为。8. 设有半径为 4 的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(4, 0)，则这个圆的极坐标方程为。例 9.当 a、 b、 c 满足什么条件时，直线1与圆2c cos相切？a cosb sin例 10.试把极坐标方程23 sin 26cos 0 化为直角坐标方程，并就m 值的变化m cos讨论曲线的形状。例 11.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 且倾