北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

1、1 等腰三角形知识点 1等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角 )用符号语言表示为：如图1 1 所示，在 ABC 中， AB AC， B C定理的证明：取 BC 的中点 D，连接 ADAB AC (已知 ), BDCD (中点定 义 )， ABD ACD(SSS)ADAD (公共 边)， B C(全等三角形的对应角相等 )定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形还具有其他性质(1) 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°(2) 等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角(3) 等腰三角

2、形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 b a2(4) 等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为 B， C，则 A 180° B C 180° 2 B180° 2C知识点 2等腰三角形的性质定理的推论推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)(1)用符号语言表示为：如图13 所示，在 ABC 中， AB AC， 1 2， AD BCBD DC ；在 ABC 中， AB AC， AD BC， 1 2，BD DC ；在 ABC 中， AB AC， BD DC ， 1 2， AD BC(2)推论 1 的证明在 ABC 中，

3、AB AC， 1 2， AD AD， ABD ACD(SAS) BD DC， ADB ADC 90° AD BC在 ABC 中， AD BC， ADB ADC 90° AB AC， B C又 AD AD ， RtADB RtADC (AAS) 1 2， BD CD在 ABC 中， AB AC， AD AD， BDCD ， ABD ACD(SSS) 1 2， ADB ADC 90°， AD BC.(3)推论 1 的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论 2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°(1)用符号语言表示为：如图14 所示，在 ABC

4、中， AB BCAC ， A B C60°(2)推论 2 的证明： AB AC， B C AB BC， A C A B C又 A+ B+ C 180°，即 3 A 180°， A B C 60°知识点 3等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)用符号语言表示为：如图1 6 所示，在 ABC 中， B C， AB AC判定定理的证明：如图1 6 所示过 A 作 AD BC 于 D，则 ADB ADC 90° B C， AD AD， ABD ACD (AAS) ， AB AC判定定理的作用：证明

5、同一个三角形中的边相等拓展如图 16 所示，在 ABC 中，(1)如果 AD BC， 1 2，那么 AB AC；(2)如果 AD BC， BD DC，那么 AB AC；(3)如果 1 2， BD DC，那么 AB AC知识点 4等腰三角形的判定定理的推论推论 1(1)推论 1 的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为： 如图 18 所示，在 ABC 中， AB AC， A 60° (或 B 60°或 C 60° )， AB AC BC(3)推论 1 的证明：在 ABC 中， AB AC， B C0又 A 60°，

6、 B C 180A 60°2 AB AC BC(或 B60°， A 180° 2 B 60° AB ACBC 或 C 60°， A180° 2C 60° AB ACBC )推论 2(1)推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图18 所示，在 ABC 中， A B C， AB AC BC(3)推论 2 的证明：在 ABC 中， A B， BC AC(等角对等边 )又 B C， AB AC(等角对等边 ) AB ACBC(4)推论 1 和推论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形拓展判定一

7、个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；(3)根据推论2，证明三个角都相等推论 3(1)推论 3 的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于。30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半(2)用符号语言表示为：如图19 所示，在 Rt ABC 中， C 90°， A 30°， BC 1AB2(3) 推论 3 的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2 倍知识点 5反证法先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证

8、明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法拓展反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1) 假设命题不成立；(2) 从假设出发推导出矛盾；(3) 否定假设，从而肯定命题的结论规律方法小结1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习3用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况探究交流想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析有，作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD ，如图 1 2 所示 .ABAC (已知 ),12(

9、角平分线定义),ADAD (公共边 ), ABD ACD(SAS). B C(全等三角形的对应角相等 )课堂检测1、如图 1 10 所示，在 ABC 中， AB AC， AD22AC，AE AB 求证 BD CE332、如图 1 12 所示，已知点D ，E 在 ABC 的边 BC 上， AB AC， AD AE求证 BD CE3、如图 1 13 所示，已知 CAE 是 ABC 的一个外角， 1 2， AD BC，求证 ABC 是等腰三角形4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC 的 A等于 30°，求其余两角同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和 120°”王华同学说： “其余两角是 75°和 75°”还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在课堂上，你的意见如何 ?为什么 ?5、已知等边三角形ABC 和点 P，设点 P 到 ABC 三边 AB，AC，BC 的距离分别是h1，h2，h3， ABC的高为 h，若点 P 在边 BC 上，如图1 17(1) 所示，此时h3