合理构造函数解导数问题

1、精品文档合理构造函数解导数问题从近几年的高考命题分析， 高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法 . 近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、 方程根的分布、 解析几何中的切线问题等有机的结合在一起， 设计综合试题。 在内容上日趋综合化， 在解题方法上日趋多样化 . 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数 , 以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法， 但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的， 那么怎样合理的构造函数就是问题的关键， 这里我们来一起探讨一下这方面问题。例 1：（ 2009 年宁波市

2、高三第三次模拟试卷22 题）已知函数f xln ax1x3x2ax .(1)若 2为 yf x的极值点，求实数a 的值；3(2)若 yfx 在 1,上增函数，求实数a 的取值范围；(3)若 a1时，方程 f 1 x 1x 3b 有实根，求实数b 的取值范围。x解：（ 1）因为 x2f20 ，进而解得： a0 ，经检验是是函数的一个极值点，所以( )33符合的，所以 a0.（2）显然fxa3 22x,ax10 在 x1,上恒ax1xa结合定义域知道成立，所以 a0且a10。同时 3x22xa 此函数是 x1时递减， x1时递增，ax33故此我们只需要保证f1a32a0，解得：0a15a 1.2（

3、3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于 x0，所以： bx ln xxx 2x ln xx 2x3g xln x 1 2x 3x2g x12 6x6x22x 1xx当 017x0, 所以 gx在0x17上递增；x6时， g6当 x17时， gx0, 所以 gx在 x17上递减；66又 g 1 0,g x00, 0 x0167 .。1欢迎下载精品文档当 0xx0 时， gx0, 所以 g x在 0x x0 上递减；当 x0x1时， gx0, 所以 x0x1上递增；当x时， gx0, 所以 g x 在x1上递减；1又当 x时， gx,g xx ln x x 2x3x ln x x x 2x ln

4、 x14当 x0 时， ln x10, 则 g x0, 且 g 1 04b 的取值范围为,0 .gxgxg x17xx0x1xx1x0060017x6二阶导数草图一阶导数草图原函数草图g x12 6x6x 22x12x ln x x2x3xx，g xln x 1 2x 3x ，g x方法二、构造： G xln xxx 2G x112x2x 2x 12 x2x 12x 1 x 1xxxxx00x1Gx0从而 G x 在0,1 上为增函数；x1,G x0,从而 G x在 1,上为减函数G x G 1 0而 x 0b x G x 0b 0分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造

5、函数上。2欢迎下载精品文档（08、山东、理）已知函数f (x)1 aln(x 1)，其中 nx )n(1是正整数， a 是常数，若 a1时，求证：当 x2 时， f (x)x1证法一：当 a1时， f (x)1n ln(x 1) ，构造函数 F(x)(1x) (x1) f (x) ，下证：当 x2 时，F(x) (x 1) 1n ln(x(1 x)1) 0 恒成立F(x) 1nn 11 x2 (1n n 1( x 2) (1x)x1x1x)若 n 为偶数， x2， x2 0，1x 10，（1 x) n 1 ，x10nn 1 0，x)(11所以：当 x2 时，F(x) 0F(x) min F(2

6、) (2 1) n ln(2（12）11) 0，所以：当 x2，且 n 为偶数时， F(x) (x 1) (1x) n ln(x 1) 0 恒成立若 n 为奇数，要证1nln(x 1) x1，x2，1n(1 x)x)(10，所以只需证：ln(x 1) x1（下略）小结 2：含有正整数 “n”的表达式的符号、数值判断，“对 n 分奇、偶讨论”是一种重要的方法在数列中运用很多证法二：当 x2 时，11，只需要证明1ln(x 1) x)n(1x1构造函数F(x) (x 1) 1 ln(x 1) ，即 F(x) x 2。3欢迎下载精品文档ln(x 1) ，则 F(x) x2 ( 下略 ) x1小结 3

7、：证法一是直接作 “差函数” ( 直接构造新函数 ) ，然后分奇、偶讨论；证法二是先适当放缩，然后构造新函数解题时，要有敏锐的观察力2. 变形与整理直接构造新函数F(x) f (x)g (x) ，来证明函数不等式f (x)g (x) 时，目标是：F(a) min0，从而 F(x) 0，所以： f (x) g (x) 但常常会出现下列几种异常情况： F(x) 的符号无法判断，【F(x) 的符号 F(x) 的单调性 F(x) 的极值】从而 F(x) 的极值无法求出；虽然 F(x) 的极值能够求出，但极值是关于参数 a 的表达式 F(a) ，无法判断极值 F(a) 是大于 0，还是小于 0；直接构造

8、的新函数 F(x) f (x) g (x) ，其导函数 F(x) 非常复杂或根本无法求出出现这种异常情况，表明所构造的新函数F(x) ，不适当这时，需要对“函数不等式”重新整理后，再构造新函数F(x), 如题 2注意下面的题目的求解方法那么怎样合理构造函数呢？（1）抓住问题的实质，化简函数1、已知 fx 是二次函数， 不等式fx0 的解集是0,5 ，且 fx 在区间1,4 上的最大值 12.（1）求 fx 的解析式；。4欢迎下载精品文档（2）是否存在自然数m ，使得方程 f x370 在区间m , m1 内有且只有两个不等x的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。解：（ 1）

9、y2 x 210 x xR（ 2）假设满足要求的实数m 存在，则 fx370 ，即有： 2x 210 x370xx2x 310 x 2370，即有： 2x 310x 237 0x构造函数 h x2x 310x 237画图分析：hx 6x220 x6x( x10 )y3yhxh xx10x010330进而检验，知10)0, (4) 0 , 所以存在实数使得37在区间h(3) 0, h(3hm 3f x0x3,4 内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数h x2x310x2 37 ，舍弃了原函数中分母x, 问题得到了简化。变式练习： 设函数 f xx 36 x5, xR ，求已知当

10、x 1,时， fx k x 1恒成立，求实数k 的取值范围。124已知函数 f (x)x2a ln x(aR ).（）求函数 f ( x) 的单调区间；。5欢迎下载精品文档（）求证： x1时,1x 2ln x2x 3 .23a , 当 a0 时， f (x) 的解：（）依题意，函数的定义域为x 0.Qf ' (x)xx单调递增区间为 (0,) .当 a0时，f'( x)a ( xa)( xa )令'(x) 0，Qxx,fx有 xa ; 所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (a ,); 令 f '(x) 0，有 0xa. 所以函数 f (x) 的单调递减区间为

11、 (0, a ).（）设 g ( x)2 x31 x2ln x,g ' ( x)2x2x1 .32xQ当 x 1时，g ' ( x)( x 1)(2 x2x1)0,xg( x)在（ 1， + ）上是增函数，g(x)g(1)1 当x 1 时，0.1 x22 x3 。6ln x2334已知函数 f (x)1 ax2ln x .2（）当 a1 时，求函数 f ( x) 在 1, e上的最大、最小值；（）求 f (x) 的单调增区间；（）求证：图象的下方 .解：（ I ）当a1 时，在区间 1 ，+ ) 上，函数 f ( x) 的图象总在函数 g( x)2 x3 的3a1时， f (

12、x)x1 ， x1, e 时， f ( x) 0 ，故 f(x)在1 ， ex上是增函数 . f (x ) max = f (e ) =1 e2 + 1 ；f (x ) min = f (1 ) =1 .22（II） 函数 f ( x)的定义域为0，由 f ( x)0, ax 210 ， a0时 ，增区x间为；a<0 时，增区间为(0,1 ) 。（0， ）a（ III）设 F (x ) = 1 x2 + lnx 2 x3，则 F (x ) = x +1 2x2= (1 x)(1 x2x 2 ) . 23xx。6欢迎下载精品文档x1，F (x ) 0，故 F (x )在1 ，+ 上是减函数

13、，又 F (1) = 1 0， 在1 ，6+ 上，有 F (x )0，即 1 x2 + lnx 2 x3， 故函数 f (x )的图象在函数 g( x) = 2 x3 的233图象的下方 .（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：例： 已知函数 fxnln x 的图像在点 P(m, fm ) 处的切线方程为y x,设 g xmxn2 ln x.x（1）求证：当 x 1时， g x0 恒成立；（2）试讨论关于 x 的方程mxng xx3ex2tx根的个数。x2解证：（ 1） mn 1（ 2）方程 mxngxx32ex2tx , 从而2ln xx32ex2txx2 ln x因为 x0,所以方

14、程可变为x22ext.x令 L x2 ln x ,Hxx22ext ，得： L x2 1ln x .xx 2当 x0, e 时， Lx0, Lx在 0, e上为增函数；y当 xe,时， Lx0, L x 在 xe,上为减函数；当 xe时， L x maxL(e)2 ,e2又 H xx22ex tx e 2t e2,e所以函数 L x , Hx 在同一坐标系的大致图像如图所示0e 当 te22, 即 te22时，方程无解；ee 当 te22, 即 te22时，方程一解；ee 当 te22, 即 te22时，方程有2 个根。ee分析点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，

15、绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配。7欢迎下载精品文档就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。vv1 ,3 ).已知平面向量 a =(3 ,-1). b =(22vv(1) 证明 a b ；vv2-3)v uvv v v uv(2) 若存在不同时为零的实数 k 和 t ，使 x = a +(tb ， y =-k a +t b ， x y ，试求函数关系式 k=f(t)；(3) 据(2) 的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况 .vv3×1 +(-1)× 3=0vv解答： (1) ab= a

16、 b .22v uvvuvvvvv(2) x y ， xy =0 即 a +(t 2-3)b ·(-ka +t b )=0.整理后得 -kv2+t-k(t2-3)vv2-3)v2=0aab + t(t·bv vv2v2 a b=0， a =4， b =1，上式化为 -4k+t(t2-3)=0 ，即 k= 1 t(t 2-3)4(3) 讨论方程 1 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线 f(t)= 1 t(t 2-3)与直线 y=k的交点个数 .44于是 f123(t)=(t-1)=(t+1)(t-1).44令 f (t)=0,解得 t 1 =-1,t 2=1. 当

17、 t 变化时， f (t) 、f(t)的变化情况如下表：t(- ,-1)-1(-1,1)1(1,+ )+0-0+f (t)F(t)极大值极小值当 t=-1时，f(t)有极大值， f(t)极大值=1 .2当 t=1时，f(t)有极小值， f(t)极小值=- 1 .1 t(t2函数 f(t)=2-3) 的图象如图 13 21 所示，4可观察出：(1) 当 k 1 或 k- 1 时, 方程 f(t)-k=0有且只有一解；22(2) 当 k= 1 或 k=- 1 时, 方程 f(t)-k=0有两解；22。8欢迎下载精品文档(3)当- 1 k 1 时, 方程 f(t)-k=0有三解 .22【点晴】 导数

18、的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数 fx1 x42 x 3ax22x2 在区间1,1上单调递减， 在区间 1,2 上43单调递增。（1）求实数 a 的值 .（2）若关于 x 的方程 f 2xm 有 3 个不同的实数解，求实数m 的取值范围 .（3）若函数 ylog 2f xp的图像与坐标轴无交点，求实数p 的取值范围。解：（ 1）利用 f10得： a1 .2（ 2）因为 fx1 x 42 x3 1 x22x 2432得f xx32x2x2(x1)( x 1)( x2) 列表得x,111,111,222,fx000fx增5减37增8减12123因此