向量题型分析难题集

1、.向量题型分析，难题集一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式例 1 向量法证明两角差的余弦公式cos()coscossinsin析：教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过程十分简洁！例 2证明：对于任意的 a,b,c,dR ，恒有不等式ac bd 2a2b 2 c 2d 2 .证明：设 ua,b , vc, d ,u vuvacbda2b2c2d 2即 ac bd 2a 2b 2 c 2d 2例 3向量法证明勾股定理。Bab ,cab,22222ab b 222证明：如图，cca baab即 c 2a2b2AC利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如

2、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。例 4在 ABC内求一点 P，使 AP 2BP 2CP 2 的值最小。解：如图，设 CA = a ， CB = b ， CP = x ， AP = x a ， BP = x b 。 AP2BP 2CP 22A= (x a) 2 + ( x b) 2 + x222=3 x 2（ a +b ） x +a +b=3 x1 (ab) 2 + a221 (ab) 2 。+bP33根据向量运算的意义，知C当 x1 rr2BP2CP2有最小值。B(ab) 时， AP3rr设 M为 AB的中点，易

3、知 ab = 2CM ，即当 x1rruuur2 uuuur3(ab) 时， CPCM ，此时 P 为三角形的重心。3二、向量法解决代数中的最值问题例 5 x2y23, a2b24.( x, y, a, bR) 求 axby 的最值 .解：构造向量 mx, y .na,b .因为 ax by m n m nx2y 2a2b22 3所以 axby2 3;.评：向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易，获得新颖、快捷的解法。例 2： 求函数 y32x45x 的最大值。解：因为2 x 4 0 ；5 x 0所以2x5y 3 2x 45 x 3 2 x 25 x设

4、p3 2,1 , qx2, 5x则 p19, q7, yp qp . q133当且仅当 p 与 q 平行且方向相同时不等式取等号即，32 5xx 2解之得，当 x1988 时， ymax133三向量的线性运算，面积结论，三角形几个心问题ABCuuuruuuruuurr，则 O是已知 O是所在平面内的一点，内角A,B,C 所对应的边长分别为a,b, c，若aOAbOBcOC01.ABC 的A. 外心B.内心C.重心D. 垂心2已 知O是ABC所在平面内的一点 ， A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满 足uuuruuuruuuruuur0,ABCOPOAACAB ,则动点 P 的轨迹一定通过A

5、. 外心B.内心C.重心D. 垂心3已 知O是ABC所在平面内的一点 ， A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满 足uuuruuuruuuruuurABAC,0,则动点 P 的轨迹一定通过ABCOPOAuuuruuurABACA. 外心B.内心C.重心D. 垂心4已 知O是ABC所在平面内的一点 ， A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满 足uuuruuuruuuruuuruuurABuuurAC,0,则动点 P 的轨迹一定通过ABCOPOAAB cos BAC cosCA. 外心B.内心C.重心D. 垂心;.5ABC的 外接 园的 园心为 O， P是ABC所在 平面 上的 一点，若uuu

6、ruuuruuuruuur1- l )OA + 1- l )OB + 1+ 2l )OCOP=(3(l ? R)，则 P 必过三角形的()( A)外心(B)内心(C) 重心(D)垂心uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2ABC （6若定点 O满足OA+BC =OB +CA =OC +AB ，则 O是）( A)外心(B)内心(C) 重心(D)垂心7 设uuuruuuruuuruuuruuur uuurO(0,0), A(1,0), B(0,1),点 P 是线段 AB 上的一个动点 , APAB ,若 OPABPA PB ,则实数的取值范围是11B. 121 C.

7、112212A.22D.122228uuur2uuur1uuur uuur2uuur如图,设P,Q为ABC 内的两点 , 且 APABAC , AQAB uuur5531ABP 的面积与ABQ 的面积之比为 ()4AC,则CQ1411A.B.C.D.5543PAB9 如图，已知C为 AB上一点， P为 AB 外一点，满足|PA|PB|=2 ，|PA PB| 25 ，PA PCPB PC， I 为 PC 上一点，且有 BIACAPBIBA|PA|PB |BA ()(0) ，则的值|AC|AP| BA|为（ ）A 1B 2C 5+1D 5110 若向量 a 与 b 不共线， a ? b0，且 c

8、a( a? a ) b ，则向量 a 与 c 的夹角为a? b（ ）（A）0（ B ）（ C ）3（ D ）622211 在直角三角形PAPBABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则2=PC;.A 2B 4C 5D 1012 如图所示， 直线 x2 与双曲线 C : x2y21 的渐近线交于E1, E2 两点， 记4uuuuruv uuuuruuv，任取双曲线上的点 P，若uuuruuuvuuuv、，则OE1e1, OE2e2OPae1 ,be2(a b R)a,b 满足的一个等式是_13 已知 O 为锐角ABC 的外心，AB16, AC102 ，若 AOx

9、AByAC ，且 32x25y25 ，则 AO14,B,P 是直线 l 上不同的三点，点 O 直线 l 外，若 OP m APPB2m 3 OB ，则PA115.各棱长都等于 2 的四面体 ABCD 中，设 G 为 BC 的中点， E 为ABC 内动点，且 GE / 面 ABD ，若AE BD2 ，CE3则216平面上 O,A,B 三点不共线，设 OA=a , OBb ，则 OAB的面积等于（ c ）(A)|a |2 | b |2(a b) 2(B)|a |2| b |2( ab)2(C)1|a |2 | b |2(a b) 2(D)1|a |2 |b |2( ab)22217 设 A1， A

10、2， A3， A4uuuuvuuuuvuuuuvuuuuv是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1 A3A1 A2( R)， A1 A4A1 A2 ( R) ，且 11则称 A3，A4调和分割 A1 ，A2已知点， 调和分割点，2 ,C(co),D(dO) (cR)A(00)B(10)d则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB的中点(B)D 可能是线段AB的中点(C)C ， D 可能同时在线段AB上(D) C ， D不可能同时在线段AB 的延长线上;.18AB BCBC CACA ABAB , CA , BC 的大小 _已知 A, B,C 不共线，且有33,则请比较1219 设 o 是 AB

11、C 内的一点，求 OA2OB 2OC 2 的最小值20r r rrrr r1rr rr= 600ra b c|=|b |=1, a b =,c的最大值等于设向量、满足 |a，ac, bc，则2B(A)2(B) 3(c)2(D)1ACuuuruuuruuurD21 在 ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 中点 .P 为 EF 上任一点 ,实数 x，y 满足 PA +x PB +y PC =0.设 ABC， PBC ， PCA， PAB 的面积分别为S， S1，S2， S3，记 S11, S22,S33 ,则2 g 3 取最大值时，SSS2x+y 的值为A. -1B. 1C. -3D.3222

12、2定义域为 a,b 的函数 yf ( x) 图像的两个端点为A、 B， M （ x,y）是 f ( x) 图象上任意一点，其中xa(1uuuruuur(1uuuruuuur)b a, b ,已知向量 ONOA)OB ，若不等式 | MN | k 恒成立，则称函数f ( x)在 a, b 上 “k阶线性近似 ”。若函数 yx1 在 1， 2上 “k阶线性近似 ”，则实数 k 的取值范围为B1,)C3xD 3A 0,)2,)2, )122223 给定两个长度均为2 的平面向量向量 OA,OB ，它们的夹角为150。，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动 .若OC3yOB ，则 xy 的最大值

13、是xOA324 在平面直角坐标系中点A 5,0.对于某个正实数 k ，存在函数 f xax 2 a 0OAOQ，使得 OP,其中OAOQ点 P, Q 的坐标分别为 1, f 1, k, fk ，则 k 的取值范围是;.25 如图 1： OM AB，点 P 由射线 OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界） .且 OPxOAyOB ，则实数对（ x,y）可以是A(1,3)B. ( 2,2)4433C. ( 1,3)D.(1,7)445526 设 P 是 ABC 内任意一点， S ABC 表示 ABC 的面积， 1S PBC， 2S PCA， 3SS ABcS ABCSPA

14、B ，定义 f(P)=(ABC1,2 , 3),若 G 是 ABC 的重心， f(Q) （1， 1， 1），则（）236A点 Q 在GAB 内B点 Q 在 GBC 内C点 Q 在 GCA 内D点 Q与点 G重合27设 D123P0123是 正PPP及其内部的点构成的集合，点是PP P的中心，若集合S P|PD ,| PP0 | | PPi|, i 1,2,3 ，则集合 S 表示的平面区域是()A 三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域28 对任意两个非零的平面向量和，定义o. 若两个非零的平面向量a ， b 满足 a 与 b 的夹角, ，且 a ob 和 b oa 都在集合4253A.B.C.122n nZ中，则 a ob21D.229 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足uuur uuuruuur uuuruuur uuurOAgOBOBgOCOC gOA ，则点 O 是ABC 的（）（ A ）三个内角的角平分线的交点( B）三条边的垂直平分线的交点(C ）三条中线的交点（ D）三条高的交点30M ( 1,0), N (1,0),Puuur uuuur uuuur uuur uuuur uuurP已知两点且点ggg的轨迹表示使 MP MN,PM